第二章数据的表示-2.2.2

2带符号整数的表示
• [例2-17]求+0和-0在8位机中的补码形式。
– 解：[+0]补=00000000B
–
[-0]补=10000000+1=00000000B
• 0的补码只有一种形式，就是n个0，这叫做零元素的唯一
性。
• [例2-18]求-1在n位机中的补码形式。
– 解：[-1]补=2n-|-1|=2n-1=11…111（n个1）
当X > 0
[X] = 补
1X1X2X3... Xn-1 +1
当X < 0
业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随
2带符号整数的表示
• （2）补码 • 采用补码编码方式表示数据的机器称为补码机。一个字长
为n位的补码机中，数据的表示范围为 • -2n-1≤X≤2n-1-1
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• 计算机中能并行传送的最大二进制数位数称为字长，这是 由计算机的硬件长度决定的。因为计算机字长有限，所以 能够表示的数据大小也是有一定的限制范围的。
• 对于一个n+1位的二进制的定点整数X=X0X1X2…Xn，其中 Xi=0或1，0≤i≤n。
• 这个数代表的数值是X02n+x12n-1+…+xn-121+xn20 • 可表示的数值范围是0≤x≤2n+1-1。 • 在n+1位机中，可表示的无符号数据个数是2n+1个，也就
•
[-0]原=10000000
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2带符号整数的表示
• （2）补码 • 计算机中一般用补码实现加减运算。补码是根据模概念和数的互补关
系引出的一种表示方法，这些概念我们用时钟来说明。
– 在时钟面上只有1~12个数，超过12的数不再累计，时钟的模就是12。1点、13 点、25点都是等价的1点。在一定数值范围内的运算称为模运算，用MOD表示。 在模运算系统中，一个数与它除以模后得到的余数是等价的。假定钟表时针指 向10点，若顺时针拨动8格，时针指向6点；若逆时针拨4格，时针也指向6点。
（1）浮点数表示法
• 对任意一个二进制数X，可以表示成X=（-1）S×M×RE。
– 其中S为数符符号位，0表示正数，1表示负数，表示整个数据的 正负；
– M为尾数，是一个二进制定点小数，可以采用原码或补码编码方 式；
– E为阶码，是一个二进制定点整数，是指数部分的编码，代表小数 点的位置，常用移码或补码表示；
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定点数编码
• [例2-22] 求8位机中X=-0.1011010B的补码。 • 解：
（2）定点小数表示范围
• 在字长n位的计算机中，定点原码小数的表示范围是
– -（1-2-（n-1））≤X≤（1-2-（n-1））
• 在原码表示中，正数和负数表示的个数一样多，零有两个 编码。
计算机，共能表示2n个数据，运算x+2n=x mod (2n)，因此， 计算机中进行的运算是有模运算，模是2n。 • 补码正是按补数概念对数据编码的，这样可以用加法实现 减法运算。将加减法运算统一起来后，就不必象原码那样 考虑符号的异同和数值的绝对值大小问题了。 • 设一个字长为n的带符号数X的补码定义为：
• 可以看到，正数的补码就是该数的原码；负数的补码符号 位为1，数值部分为真值按位取反后加1。这种表示方法可 以用比较简单的电路实现。
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2带符号整数的表示
• （2）补码 • 设一个字长为n位的带符号数X的原码为 • [X]原=xsx1x2x3…xn-1
{ 0X1X2X3... Xn-1
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3带符号纯小数的表示
• 所谓定点数，就是小数点位置在机器数中固定不变的数。 使用定点数的计算机称为定点机。小数点在数中的位置是 隐含约定的，并不占位空间。
• 小数点的位置可以设置在任何数位，但通常采用两种类型 的定点数表示。
– 一种是把小数点约定在最低位的右面，这样机器数表示的就是定 点整数。
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1无符号整数的表示
• 无符号整数的每一位都是数值位，只能表示正数和零。计 算机中表示无符号整数就直接用这个数的二进制表示作为 数据的编码（机器数）。
• [例2-13]在8位寄存器中表示数据5。 • 解：5D=00000101B
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1无符号整数的表示
• 在十进制数的表示方法中，有一种科学计数法，可用来表 示数值很大或很小的数，也可以用来表示既有整数又有小 数的数，即实数。例如，123.456=0.123456*103。计算机 中也引入类似的表示方法来表示实数，称为浮点数表示法， 在这种表示法中，小数点的位置是不固定的。
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• （1）原码
• [例2-14] 求X1=+1011010B，X2=-1011010B在8位寄存器 中的原码表示形式。
• 解：[X1]原= [+1011010B]原=01011010
•
[X2]原= [-1011010B]原=11011010
• [例2-15]求+0和-0在8位原码机中的表示形式。
• 解：[+0]原=00000000
• 可以看出，原码的表示是对称的，补码的表示不对称。补 码比原码的表示范围多一个最小负数。
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2带符号整数的表示
• （3）变形补码 • 为了判断补码数据运算结果是否溢出，某些计算机中还采
用变形补码表示方式，也称为模4补码，因为它相当于数 据对4取模的结果。
• 变形补码也可以看作是补码的符号位用2位表示
• 在字长n位的计算机中，定点补码小数的表示范围是
– -1≤X≤（1-2-（n-1））。
• 在补码表示中，负数比正数多表示一个，零有唯一的编码， 即000…0。
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4实数的表示
• 定点数的表示比较单一，要么纯整数，要么纯小数，而且 表示数的范围比较小，运算过程中很容易发生溢出。
– [X]补=2n+X
• 若X>0，则模作为超出部分被舍弃，正数的补码就是其本 身。若X<0 ，则等于模与该数绝对值之差。
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2带符号整数的表示
• （2）补码 • [例2-16]在4位二进制中，求数据+5和-5的补码。
– 解：4位二进制中，模是16。 – [+5]补=[+101B]补=16+5=21 mod 16=5=0101 – [-5]补=[-101B]补=16-5=11 mod 16=11=1011
– 正数符号位用00表示，负数符号位用11表示的。若结果出现符号 位为01或10，则结果数据溢出。
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2带符号整数的表示
• [例2-20]已知X=-1011B，求8位机中X的变形补码。
– 解：[X]变补=28+（-1011B）=100000000B-1011B=11110101
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2带符号整数的表示
• （4）反码 • 在补码机中，负数的补码是由原码数值各位变反加1得到
的，那么在数值各位变反还未加1时出现的编码形式，就 称为反码。 • 正数的反码与原码相同，负数的反码为原码数值位逐位取 反，但符号位保持不变。 • 一个字长为n位的机器中，反码的表示范围为-（2n-1-1） ≤X≤（2n-1-1）
– 另一种是把小数点固定在符号位和最高数值位之间，即纯小数表 示，这样表示的机器数称为定点小数。
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（1）定点数表示方法
• 定点纯整数的格式如图2-9。 •
• 定点纯小数的格式如图2-10。 •
– 对于纯小数来说，数值位部分只表示小数点后的尾数部分，小数 点和整数部分的0不表示。书写时为了表示机器数是定点纯小数， 在符号位和数值位之间写一个小数点。
当X > 0 当X < 0
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定点数编码
• [例2-21] 求X1=+0.1011010B，X2=-0.1011010B 在8位机 器中的定点原码表示形式。
• 解：[X1]原=[+0.1011010B]原=0.1011010 • [X2]原=[-0.1011010B]原=1.1011010
– R是基数，可以取值2，4，16等。一台浮点机中基数是固定的， 所以，基数不需要用代码表示。计算机中典型的浮点编码表示
• 数值数据表示在电子元件上，需要解决符号的表示问题、 小数点的表示问题，还要考虑数据位的编码问题和运算方 法，便于计算机内表示的数据运算。下面分别解决无符号 整数、带符号整数、带符号纯小数、实数在机器中的表示 方法。
• 因为计算机内部存储、运算和传送数据的部件位数是有限 的，所以不管采用哪种表示法，都只能表示一定范围内的 有限个数。如果一个数超出了表示的范围，称为“溢出”。 所以研究表示方法时，还要研究这种表示方法的数值表示 范围。
围为：-（27-1）~（27-1）即-127~127。其中负数-127~-1使用 127个编码，+0、-0使用2个编码，+1~+127使用127个编码。一 共256个编码。 – 若采用补码表示法，1位符号位，7位数据位，能够表示的数据范 围为：-27~（27-1）即-128~127。其中负数-128~-1使用128个编 码，+0、-0使用1个编码，+1~+127使用127个编码。一共256个 编码。
• 一个带符号数的编码方法主要有3种：原码、补码、 反码。
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2带符号整数的表示
• （1）原码
• 把一个十进制数转换为二进制数，在最高位加上符号位，
就是原码。字长为n的机器中，表示一个数据
X=XsX1X2X3…Xn-1，其中Xs是+、-符号，其原码的表示形
式是：
{ [X]原=
• 或采用变反加1法求补码：
– [-1]补=1000…1+1=1111…0+1=1111…1（n个1）
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2带符号整数的表示
• [例2-19]在一个8位寄存器中，比较分别采用原码和补码表 示的数据的范围。
– 解：8位寄存器中，编码的个数有28=256个。 – 若采用原码表示法，1位符号位，7位数据位，能够表示的数据范
– （10+8）MOD 12=6 10-4=6 – 所以在模12的系统中，18等价于6。把4称为8对模12的补数，8也称为4对模12
的补数。可以看到在模运算中，减去一个数等于加上这个数对模的补数。
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2带符号整数的表示
• （2）补码 • 计算机中用有限的二进制位来表示数据，对于字长为n的
第二章 数据的表示
2.2.2机器数编码
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2.2.2机器数编码表示
• 计算机内是用具有两个不同稳定状态的元件来表示数据的，数据在计 算机中的表示形式称为机器数。一个机器数所代表的实际数值称为真 值。
• 例如，规定开关闭合为1，断开为0。一个二进制数就可以用一排开关 表示出来。下面图中开关的状态组合就表示一个二进制数101101，为 了方便描述，我们用图2-7的形式来表示机器数。
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定点数编码
• 为了便于运算，定点数的数值位也采用原码、补码等编码 方法。
• 定点小数原码就是小数数值位的绝对值部分。
• 定点纯小数的模是2，所以定点小数X的补码表示为[X]补 =2+X。设一个字长为n的带符号小数X=Xs.X1X2…Xn-1
{ [X]补=
0 X1X2 ... Xn-1 1X1X2 ... Xn-1 +1
0 X1X2X3... Xn -1 当 Xs = + 1 X1X2X3... Xn -1 当 Xs = -
• 采用原码编码方式存储和处理数据的机器称为原码机。字长为n的原 码机中能够表示的数据范围是
• -（2n-1-1）≤ X ≤( 2n-1-1)
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2带符号整数的表示
是n+1个具有两种稳定状态的电子元件上可能出现的状态 组合个数。
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2带符号整数的表示
• 数据的符号只有正、负两种，因此也用两个稳定 状态的物理器件表示，一般规定0表示正号，1表 示负号。
• 在数据表示时，可增加1个符号位来表示正负号， 一般用机器数的最高位表示符号位。但是仅仅增 加符号位还不够，还要考虑数据（尤其是负数） 其余位的编码方法和运算方法，以便于数据计算。