测量误差和数据处理

测量误差和数据处理
（一） 测量与误差
１． 测量
在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的。

所谓测量就是将待测物理量与规定作为标准单位的标准物理量通过一定的比较，其倍数即为待测物理量的测量值。

测量按测量方式的不同分为直接测量和间接测量两类： ①直接测量（简单测量）
运用量具或仪表能直接得到物理量的数值，称为直接测量。

例如，用米尺、游标卡尺、千分尺测量长度；用秒表测时间；用电流表测电路中的电流强度等。

它的特点是：测量结果直接得到。

②间接测量（复合测量）
多数物理量，不便或不能直接测量。

但是我们可以先对可直接测量的相关物理量进行测量，然后依据一定的函数关系，计算出待测的物理量，这称为间接测量。

例如，要测量一圆柱体的体积Ｖ，可以先用米尺（或卡尺）对直径d 和高度h 进行直接测量，然后根据公式h d V 24
1π=计算出它的体积。

当然一个物理量应直接测量还是间接测力测量，不使绝对的。

要根据所有的仪器和测量方法来定。

如上例中的圆柱体投入盛有一定量水的量筒中，从液面的上升即可直接得到体积。

２． 真值和近似真值
物质是客观存在的，有各种特性。

反映物质特性的物理量在一定条件下，对应有一个确定的客观真实值。

这个数值就称为真值。

从测量者的主观愿望来说，总想测出物理量的真值。

然而任何实际测量中是在一定环境下，用一定的仪器、一定的方法，由一定的人员完成的，由于周围环境不理想、测量方法不完善、仪器设备不精密，而且受到测量人员技术经验和能力等因素的限制，使任何测量都不会绝对精确。

测量值与真值之间的差别，称为误差。

任何测量都有误差，误差贯穿于测量的全过程。

某一物理量的误差，定义为该量的测量值x 与真值μ之差，即： μδ-=x
由于真值测不出来，误差又不可避免，所以测量的目的硬是：在给定的条件下，求出被测量的最可信赖值，并对它的精确程度给予正确的估计。

在我们的实验中，最可信赖值取多次测量的算术平均值，它是真值得最好近似，也称近似真值。

用公式表示为 ∑==n
i i x n x 1
1 ３． 误差
测量数据的精确程度我们使用误差来描述。

由于前边近似真值是采用多次测量的方法得出的，所以误差我们使用平均绝对误差。

用公式表示为： ∑∑==-=∆=∆n
i i n i i x x n x n x 1
111 至此，测量的结果可表示为 x x x ∆±=
绝对误差反映测量精密度，但它反映不出测量的严重程度。

例如，测量两个物体的长度，结果分别为
cm l cm
l )05.000.1()05.000.100(21±=±=
从绝对误差看，对两者的评价使相同的。

但前者的误差占测量值的0.05％，后者则占5％。

显然前者的相对精密度比后者高得多。

因此，我们有必要引入相对误差：即 100⨯∆=x
x E ％ 因此，我们测量结果的完整、正确表示应为 x x x ∆±=
100⨯∆=x
x E ％ ４． 误差的分类
在物理实验中，我们通常把误差分为系统误差、随机误差和粗大误差３大类。

①系统误差
实验系统的组成包括：实验仪器、环境、实验的理论和方法以及实验人员。

由这四种组成所引起的有规律的误差称之为系统误差。

a.仪器误差：又以其本身的固有缺陷、较正不完善或使用不当引起的。

b.环境误差：仪器所处的外界环境如：温度、湿度、电磁场等环境的变化引发的误差。

c.方法误差：由于计算公式的近似，没有完全满足理论公式所给定的条件。

例如，单摆测重力加速度的实验中，公式g
l T π2=采用了θθ≈sin 的
近似条件。

d.人员误差：由测量者的个人因素造成的误差。

例如：按秒标时总是超前或滞后，读数时头总是向一边偏等。

②随机误差
由某些偶然的、不确定的因素所造成的误差称之为随机误差。

若从一次测量来看，随机误差是随机的，没有确定的规律，也不能预测。

但当测量次数足够多时，随机误差遵从一定的统计分布。

因此，增加测量的次数，可以明显的减少随机误差。

③粗大误差（过失误差）
凡是明显歪曲测量结果，又无法根据测量的客观条件作出合理解释的误差，都称为粗大误差。

产生粗大误差的原因是多方面。

主要原因是观测者的缺乏经验、或过于疲劳而造成的。

测错、读错、计错、算错等测量过失。

此外，外界的突发性干扰使实验条件发生不能容许的偏离而未被发现等。

５． 评价测量的结果
①精密度：表示测量数据的集中程度。

精密度高说明测量数据集中，随机误差小。

②准确度：表示测量值与真值的符合程度。

准确度高说明测量结果的近似真值与真值非常接近，系统误差小。

③精确度：表示测量值与真值的一致程度。

精确度高说明随机误差和系统误差都小。

测量数据集中在真值附近。

数值修约规则
中华人民共和国国家标准
UDC 511.1/2
GB 8170—87
数值修约规则
Rules for rounding off of numberical values
本标准适用于科学技术与生产活动中试验测定和计算得出的各种数值。

需要修约时，除另有规定者外，应按本标准给出的规则进行。

1 术语
1.1 修约间隔
系确定修约保留位数的一种方式。

修约间隔的数值一经确定，修约值即应为该数值的整数倍。

例1：如指定修约间隔为0.1，修约值即应在0.1的整数倍中选取，相当于将数值修约到一位小数。

例2：如指定修约间隔为100，修约值即应在100的整数倍中选取，相当于将数值修约到“百”数位。

1.2 有效位数
对没有小数位且以若干个零结尾的数值，从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数；对其他十进位数，从非零数字最左一位向右数而得到的位数，就是有效位数。

例1：35000，若有两个无效零，则为三位有效位数，应写为350×1022；若有三个无效零，则为两位有效位数，应写为35×103。

例2：3.2，0.32，0.032，0.0032 均为两位有效位数；0.0320为三位有效位数。

例3：12.490为五位有效位数；10.00为四位有效位数。

1.3 0.5 单位修约（半个单位修约)
指修约间隔为指定数位的0.5单位，即修约到指定数位的0.5单位。

例如，将60.28修约到个数位的0.5单位，得60.5(修约方法见本规则5.1)。

1.4 0.2 单位修约
指修约间隔为指定数位的0.2单位，即修约到指定数位的0.2单位。

例如，将832修约到“百”数位的0.2单位，得840(修约方法见本规则5.2)。

2 确定修约位数的表达方式
2.1 指定数位
a. 指定修约间隔为10-n(n为正整数)，或指明将数值修约到n位小数；
b. 指定修约间隔为1，或指明将数值修约到个数位；
c. 指定修约间隔为10n，或指明将数值修约到10n数位(n为正整数)，或指明将数值修约到“十”，“百”，“千”……数位。

2.2 指定将数值修约成n位有效位数。

3 进舍规则
3.1 拟舍弃数字的最左一位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。

例1：将12.1498修约到一位小数，得12.1。

例2：将12.1498修约成两位有效位数，得12。

3.2 拟舍弃数字的最左一位数字大于5，或者是5，而其后跟有并非全部为0 的数字时，则进一，即保留的末位数字加1。

例1：将1268修约到“百”数位，得13×102（特定时可写为1300）。

例2：将1268修约成三位有效位数，得127×10(特定时可写为1270)。

例3：将10.502 修约到个数位，得11。

注：本标准示例中，“特定时”的涵义系指修约间隔或有效位数明确时。

3.3 拟舍弃数字的最左一位数字为5，而右面无数字或皆为0时，若所保留的末位数字为奇数(1,3,5,7,9)则进一，为偶数（2,4,6,8,0）则舍弃。

例1：修约间隔为0.1（或10-1)
拟修约数值修约值
1.050 1.0
0.350 0.4
例2：修约间隔为1000（或103）
拟修约数值修约值
2500 2×103（特定时可写为 2000）
3500 4×103（特定时可写为 4000）
例3：将下列数字修约成两位有效位数
拟修约数值→修约值
0.0325 0.032
32500→→→→ 32×103（特定时可写为32000）
3.4 负数修约时，先将它的绝对值按上述3.1 ～ 3.3规定进行修约，然后在修约值前面加上负号。

例1：将下列数字修约到“十”数位
拟修约数值修约值
- 355 - 36×10（特定时可写为- 360）
- 325 - 32×10（特定时可写为- 320）
例 2：将下列数字修约成两位有效位数
拟修约数值修约值
- 365 - 36×10（特定时可写为- 360）
- 0.0365 - 0.036
4 不许连续修约
4.1 拟修约数字应在确定修约位数后一次修约获得结果，而不得多次按第 3 章规则连续修约。

例如：修约15.4546，修约间隔为1
正确的做法：
15.4546 15
不正确的做法：
15.4546 15.455 15.46 15.5 16
4.2 在具体实施中，有时测试与计算部门先将获得数值按指定的修约位数多一位或几位报出，而后由其他部门判定。

为避免产生连续修约的错误，应按下述步骤进行。

4.2.1 报出数值最右的非零数字为5时，应在数值后面加“( + )”或
“( - )”或不加符号，以分别表明已进行过舍进或未舍未进。

例如：16.50( + )表示实际值大于16.50，经修约舍弃成为 16.50；
16.50( - )表示实际值小于16.50，经修约进一成为16.50。

4.2.2 如果判定报出值需要进行修约，当拟舍弃数字的最左一位数字为5而后面无数字或皆为零时，数值后面有( + )号者进一，数值后面有( - )号者舍去，其他仍按第3章规则进行。

例如：将下列数字修约到个数位后进行判定（报出值多留一位到一位小数）。

实测值报出值修约值
15.4546 15.5( - ) 15
16.5203 16.5( + ) 17
17.5000 17.5 18
___________________- 15.4546 -
(15.5 ( - ) ) - 15
5. 0.5 单位修约与0.2单位修约
必要时，可采用 0.5 单位修约和 0.2 单位修约。

5.1 0.5 单位修约
将拟修约数值乘以2，按指定数位依第3章规则修约，所得数值再除以2。

例如：将下列数字修约到个数位的0.5单位(或修约间隔为0.5)
拟修约数值乘2 2 A 修约值 A 修约值
( A ) ( 2 A ) (修约间隔为1 ) (修约间隔为 0.5 )
60.25 120.50 120 60.0
60.38 120.76 121 60.5
- 60.75 - 121.50 - 122 - 61.0
5.2 0.2单位修约
将拟修约数值乘以5，按指定数位依第3章规则修约，所得数值再除以5。

例如：将下列数字修约到“百”数位的0.2单位(或修约间隔为20)
拟修约数值乘5 5 A 修约值 A 修约值
( A ) ( 5A ) (修约间隔为100) (修约间隔为20)
830 4150 4200 840
842 4210 4200 840
- 930 - 4650 - 4600 - 920
附加说明:
本标准由中国科学院系统科学研究所提出。

本标准由中国科学院系统科学研究所负责起草。

本标准主要起草人吴传义。

本标准委托中国科学院系统科学研究所负责解释。