第三章 时间序列预测法

Yt k at bt k
其中 : at 2Y
(1) t

Y
( 2)
t
2 bt (Y (1) t Y ( 2 ) t ) N 1

Yt k 为t k期的预测值,
k为t期开始的预测期数 .
第三节 指数平滑法
• 一、一次指数平滑法 • 1、预测模型
设时间序列为Y1、Y 2、 、Y t， ... 一次指数平滑公式为 : S
2002年 41.79 37.95 41.03 41.64 44.31 41.82 41.87 42.00 42.79 43.16 43.81 45.32
单位:千万元 2003年 2004年 51.23 60.78 47.44 57.00 50.39 59.43 50.67 59.88 54.16 63.28 50.11 58.94 51.09 60.15 50.88 60.26 51.58 61.12 52.04 61.64 53.41 63.13 55.20 65.03
• 三、时序分析 • 1、分析原理 • 时序分析就是通过对社会经济发展变化 过程的分析研究，找出其发展变化的量 变规律性，用以预测未来。 • 时序分析实质上是对时间序列特征的识 别，并在此基础上，建立相应的数学模 型，形成一系列的时间序列预测方法。
• 第一，通过时间序列长期趋势的识别， 可建立各种趋势外推预测方法； • 第二，通过季节变动分析，找出季节变 动的规律，实现时间序列的季节预测； • 第三，通过对不规则变动及循环变动的 分析，采取一定方法可消除它们的影响； • 第四，通过对序列自相关的识别，可建 立随机时间序列预测方法。

Y
t 1
为t 1期的预测值 N为移动期数 ; .
• 二、加权移动平均法
• 设W1、W2、…、WN分别代表Yt、Yt-1、…，
Yt-N+1的权数，则t+1期的预测值为：
W1Yt W2Yt 1 ... WN Yt N 1 Yt 1 W W ... W 1 2 N
时间序列的平稳化处理 月份t yt商品零售总额(万元) 1 50 2 52 3 54 4 55 5 58 6 60 7 62 8 64 9 67 10 69 11 72 12 74 平均 61.4
▽yt 2 2 1 3 2 2 2 3 2 3 2 2.2
▽2yt
0 -1 2 -1 0 0 1 -1 1 -1 0.0
(1) ( 2) bt (S t S t ) 1
t(年) 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
差分算子 yt y1996 y1997 y1998 y1999 y2000 y2001 y2002 y2003 y2004
▽yt --y1997-y1996 y1998-y1997 y1999-y1998 y2000-y1999 y2001-y2000 y2002-y2001 y2003-y2002 y2004-y2003
（3）白噪声序列 • 若一个平稳随机序列{yt}满足下述两个条 件： • ① E（ yt ）=0，t=1，2，… • ② E(yt+k· t)=σe2 δk ，t=1，2，… y • 其中， σe2为非负常数， δk为脉冲函数， 满足：
1 k { 0
当k 0时 当k 0时
• 2、样本序列 • 所谓样本序列，是指对随机序列中每一随机变 量，取其一个变量值（样本值），将这些变量 值按时间先后次序排列起来所形成的序列。 • 若以{Yt}为一随机序列，yt是Yt的一个样本值， 则{yt}就是一个样本序列。 • 例如， {Yt}序列中， yt表示某种商品各月的销 售量，则{yt}为一随机序列： • {yt}：y1 ，y2，… ，yn，… • 如果这种商品某年12个月的销售量为： • {yi}：80，70，60，30，20，3，…， • 这样一个排列就是样本系列。
(1) ( 2)
一次、 二次移动平均值: Yt Yt
(1)
Yt Yt 1 ... Yt N 1 1 N N Yt
(1)
Y
j 0
N 1
t j
( 2)
Y
(1) t 1
... Y N
(1) t N 1
1 N
Y
j 0
N 1
(1) t j
• 则二次移动平均法预测公式为：
• • • • • • • • • •
3、非平稳序列的平稳化 (1)差分算子：▽ 一阶差分：▽Yt=Yt-Yt-1 二阶差分： ▽2Yt=▽(▽Yt)= ▽(Yt-Yt-1 ) =▽Yt -▽Yt-1 …….. =Yt-2Yt- 1+ Yt-2 (2)后移算子：B , 一阶后移： BYt=Y t-1 二阶后移： B2Yt = B(BYt )=B(Yt-1 )=Yt-2 …….
Yt Y 2Y Yt 1 t 1 t 1 其中: 1 Y ( 2Yt 2Yt 1 ... 2Yt N 1 ) t 1 N
2
• 二阶差分—移动平均预测公式适用于呈 非线性发展变化的时间序列。
• （二）二次移动平均法
设时间序列 1、Y 2、 、Y t 呈线性发展， Y ... N为移动跨距 ，Y t 、Y t 分别为t期的
• 3、初始值的确定
什么叫初始值? 在下式中: S
(1) t
Yt (1 ) S
(1) t 1
当t 1时, 公式变为:
( S1(1) Y1 (1 ) S 01) ( 式中, S 01)是第一期的预测值 ,
(1) 即 : Y1 S 0 , 这个值是不能计算出来 , 的 而必须由预测者估计或 指定.
• 2、时序分析的优点和局限性 • （1）优点 • （2）局限性
第二节 移动平均法
• 一、简单移动平均法(一次移动平均法） • 设Y1、Y2、…，Yt为一时间序列，源自文库：
Yt (1) Yt Yt 1 ... Yt N 1 1 N N

Y
j 0
N 1
t j
预测公式为: Y t 1 Yt (1) Yt为t期观察值, Yt (1)为t期的一次移动平均值 ;
• 2、加权系数的选择
预测公式为: Y Y (1 ) Yt t 1 t Y Yt (Yt _ Yt ) t 1
• 加权系数α的选择原则： • （1）如果时间系列波动不大，比较平稳，则α 应取小一点，如（0.1~0.3），以减少修正幅度， 使预测模型能包含较长时间序列的信息； • （2）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾 向，如实际值明显的上升或下降趋势，则α应 取大一点，如（0.6~0.8），使预测模型灵敏度 高些，以便迅速跟上数据的变化。 • （3）在实际中，可多取几个α值进行试算，看 哪个预测误差更小，就采用哪个。
年未人口数(万人) 3261 3282 3299 3316 3410 3440 3466 3488 3511
某市商品销售额的统计资料 月份 1999年 2000年 2001年 1 13.41 21.52 31.34 2 12.02 17.31 27.14 3 13.11 20.64 30.32 4 13.45 21.17 31.12 5 14.03 22.98 33.50 6 14.61 22.87 31.61 7 15.22 23.59 32.39 8 14.11 22.79 32.61 9 14.12 23.40 33.11 10 14.17 23.34 33.80 11 14.22 23.96 34.24 12 15.82 24.91 35.57
• 如果一阶差分序列为平稳发展序列，则 预测公式为：
t
Yt 1 Y
其中 :

Y t 1
1 Y (Yt Yt 1 ... Yt N 1 ) t 1 N
• 一阶差分—移动平均预测公式适用于呈 线性发展变化的时间序列。
• 如果一阶差分序列不平稳，二阶差分序 列呈平稳发展，则预测公式为：
▽2yt ----y1998-2y1997-y1996 y1999-2y1998-y1997 y2000-2y1999-y1998 y2001-2y2000-y1999 y2002-2y2001-y2000 y2003-2y2002-y2001 y2004-2y2003-y2002
后移算子 t(年份) yt财政收入(亿元) 1996 120 1997 135 1998 142 1999 150 2000 153 2001 157 2002 168 2003 172 2004 177

• 三、移动平均法的扩展 • （一）差分—移动平均法 • 如果时间序列具有明显的上升或下降趋势， 可先将时间序列进行一阶或二阶差分，对差 分后的序列再进行移动平均，进行预测。 • 设Y1、Y2、…，Yt为一时间序列，它的一阶 差分、二阶差分序列为： • 一阶差分序列：▽Y2 ，▽Y3，… ，▽Yt • 二阶差分序列：▽2Y3 ，▽2Y4，… ，▽2Yt
• 确定方法： • （1）如果时间序列数据较多，当t≥20时， 可直接用第一期数据的实际值作为初始值； • （2）如果时间序列数据较少，当t＜20时， 可直接用最初几期（如二或三期）数据的实 际值的平均值作为初始值。
• 二、二次指数平滑法
设时间序列为 1、Y 2、 、Y t， Y ... 计算公式为:
第三章 时间序列预测法
第一节 时间序列与时序分析 第二节 移动平均法 第三节 指数平滑法
第一节 时间序列与时序分析
• 一、时间序列的概念 • 所谓时间序列，是指同种社会经济现象 的数量表现依时间先后次序所组成的一 个排列，用以表现其随时间变化的过程。
福建省人口变动情况
年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
• • • • •
时间序列的四种变动特征及其变动原因： 1、长期趋势 2、季节变动 3、循环变动 4、不规则变动: 间歇变动、剩余变动
• 二、时间序列的分类 • （一）确定型时间序列 • （二）随机型时间序列
• 1、平稳随机序列与非平稳随机序列 • （1）平稳随机序列 • 设yt(t=1，2，…）是一个随机序列，简记为 {yt}。对每个固定的t， yt是一个随机变量，如 果yt满足下列条件： • ① E（ yt ）=a，t=1，2，… • ② E[(yt+k-a)(yt –a)]=rk ，t=1，2，… • 则称序列{yt}为平稳随机时间序列，简称为平 稳随机序列。 • （2）非平稳随机序列 • 不同时满足上述两个条件的随机序列称为非平 稳随机序列。
(1) t
Yt (1 ) S
(1) t
(1) t 1
式中，S
(1) t 1
为t期的一次指数平滑值 ，
S 为t 1期的一次指数平滑值 ，
为平滑系数， 且0 1.
预测公式为:

Yt 1 S
(1) t
(1) 则 : Yt 1 Yt (1 ) St 1 (1) 由于Yt St 1， 则 : Yt 1 Yt (1 ) Yt
yt y1996 y1997 y1998 y1999 y2000 y2001 y2002 y2003 y2004
Byt y1995 y1996 y1997 y1998 y1999 y2000 y2001 y2002 y2003
B2yt y1994 y1995 y1996 y1997 y1998 y1999 y2000 y2001 y2002
1) S t(1) Yt (1 ) S t(1
S
( 2) t (1) t
S
(1) t
(1 ) S
( 2) t 1
S 为t期的一次指数平滑值 ， S t( 2 )为t期的二次指数平滑值 。
预测公式为: Y a b k tk t t 其中: at 2 S (1) t S ( 2 ) t