上海市杨浦区2021届新高考数学第四次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．y =
B ．y =±
C ．y x =
D ．2
y x =± 【答案】A
【解析】
【分析】 求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
【详解】
抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，
又e ＝p ，所以e c a
=
=2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝． 故选：A ．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用． 2．已知点2F 为双曲线22
2:1(0)4
x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=
，则2AF B V 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】D
【解析】
【分析】
设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 设1122,AF r AF r ==，得222121242cos 3c r r r r π
=+-，求出12r r 的值，即得解.
【详解】
设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，
由对称性可知四边形AF BF 是平行四边形，
所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π
∠=. 设1122,AF r AF r ==，则222221212121242cos
3c r r r r r r r r π=+-=+-， 又122r r a -=.故212416r r b ==，
所以12121sin 23
AF F S r r π=
=V 故选：D
【点睛】 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥
B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥
C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥
D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.
【详解】
对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；
对于B ，设l αβ=I ，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误；
对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确；
对于D ，设l αβ=I ，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误.
故选：C .
【点睛】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.
4．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）
A ．0
B ．0或3
C ．1
D ．1或3 【答案】B
【解析】
【详解】
因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m m =
. 若3m =，则{1,3,3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.
若m m =，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.
5．设实数x 、y 满足约束条件1024
x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）
A ．2
B ．24
C ．16
D ．14
【答案】D
【解析】
【分析】
做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.
【详解】
做出满足10
24
x y
x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，
根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，
由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42
x y =⎧
⎨=⎩，即(4,2)A ， 所以23z x y =+的最小值为14.
故选：D.
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.
6．已知点P
是双曲线22
22:1(0,0,x y C a b c a b
-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为
214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A
B
C
D ．2 【答案】A
【解析】
【分析】
设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为
214
c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】 设点P 的坐标为(,)m n ，有22
221m n a b
-=，得222222b m a n a b -=. 双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C
的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c
-==+， 所以222214
a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==
，所以e =故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.
7．当输入的实数[]
230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）
