题目：已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B ＋∠D ＋∠F ＝∠E ＋∠G.
题型：解答题 难度：4.0
方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题
思路启发：这里出现了平行线间的“拐点”，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线，利用平行线的性质可证得结论.
解答过程：证明：如图，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线EH 、FM 、GN ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥EH ∥FM ∥GN ∥CD ，
∴∠B ＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D ，
∴∠B ＋∠D ＋∠3＋∠4＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6，
即∠B ＋∠D ＋∠EFG ＝∠BEF ＋∠FGD.
答案：略 归纳总结：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，解题的方法是利用经过平行线间的“拐点”，作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论.
题目：如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN.
(1)如图1，连接AB ，则∠CAB ＋∠ABD ＝____；
(2)如图2，点1
P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连接1AP 、1BP .则1CAP 、1
APB 、1PBD 之和是多少？并说明.
(3)如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的点，连接1AP 、12PP 、2P B .试求1CAP ＋∠12APP ＋12PP B ＋2P BD 的度数；
(4)按以上规律，请直接写出1CAP ＋12APP ＋…＋5P BD 的度数(不必写出过程). 题型：解答题 难度：4.2
方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题
思路启发：(1)直接根据“两直线平行，同旁内角互补”得到结论；
(2)过点1P 作1P H CM ∥，然后根据平行的性质得到
11=180180CAP +︒+=︒
∠∠1，∠2∠DBP ，结合图形，根据112APB +=∠∠∠即可得到结论；
(3)利用(2)的方法，分别过“拐点12,P P ”作CM 、CN 的平行线即可得到结论；
(4)用上面题目得到的规律直接写出答案即可.
解答过程：(1)∵CM ∥DN.
∴∠CAB ＋∠ABD ＝180°；
(2)点1
P 作平行于CM 和DN 的平行线1P H ， ∴
11=180180CAP +︒+=︒∠∠1，∠2∠DBP ，
∴1111112180180360CAP APB PBD CAP PBD ；
(3)过点1P 、2
P 作平行于CM 和DN 的平行线， 根据(2)的求解可知，平行线间有一个“拐点”时，内角和的度数为(1+1)×180°，
这里有两个“拐点”，则1
CAP ＋∠12APP ＋12PP B ＋2P BD =3×180°＝540°；
(4)由上可得，1125CAP APP P BD
…＝6×180°＝1080°. 答案：
(1)180°
(2)360°
(3)540°
(4)1080°
归纳总结：对于本题考查了平行线的性质，这里解题的关键是根据题目中有平行线间的“拐点”，那么求解问题的方法就是经过“拐点”作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质，利用“两直线平行，同旁内角互补”求解问题.
题目：如图，直线AB ∥CD ，∠EFA ＝30°，∠FGH ＝90°，∠HMN ＝30°，∠CNP ＝50°.试求∠GHM 的大小.
题型：解答题 难度：4.5
方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题
思路启发：根据AB ∥CD ，利用旋转的思想，得到AB 经过分别以F 、G 、H 、M 、N 为旋转中心，分别旋转得到EG ，GH 、HM 、MN 、CD ，然后根据顺时针旋转的角度=逆时针旋转的角度相等得到关于∠GHM 的方程求解.
解答过程：解：设∠GHM=x ：
∵AB 以点F 为旋转中心顺时针旋转30°得到EG ，
FG 以点G 为旋转中心逆时针旋转90°得到GH ，
HG 以点H 为旋转中心顺时针旋转x 得到HM ，
HM 以点M 为旋转中心逆时针旋转30°得到MN ，
MN 以点N 为旋转中心顺时针旋转50°得到CD ，
又AB ∥CD ，
∴上述旋转过程中顺时针旋转的角度=逆时针旋转的角度，
∴30°+x+50°=90°+30°，解得x=40°，
∴∠GHM=40°.
答案：40°
归纳总结：本题考查了平行线的性质，旋转的定义.要注意区别，这里不是一般的“平行线中间有拐点”的问题.这里可以利用“扭转直线”的方法得到顺时针扭转的角度和=逆时针扭转的角度和来建立方程求解.
