新人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷及答案-百度文库
一、压轴题
1.小刚运用本学期的知识,设计了一个数学探究活动.如图1,数轴上的点M ,N 所表示的数分别为0,12.将一枚棋子放置在点M 处,让这枚棋子沿数轴在线段MN 上往复运动(即棋子从点M 出发沿数轴向右运动,当运动到点N 处,随即沿数轴向左运动,当运动到点M 处,随即沿数轴向右运动,如此反复?).并且规定棋子按照如下的步骤运动:第1步,从点M 开始运动t 个单位长度至点1Q 处;第2步,从点1Q 继续运动2t 单位长度至点
2Q 处;第3步,从点2Q 继续运动3t 个单位长度至点3Q 处…例如:当3t =时,点1Q 、2Q 、3Q 的位置如图2所示.
解决如下问题:
(1)如果4t =,那么线段13Q Q =______;
(2)如果4t <,且点3Q 表示的数为3,那么t =______; (3)如果2t ≤,且线段242Q Q =,那么请你求出t 的值. 2.借助一副三角板,可以得到一些平面图形
(1)如图1,∠AOC = 度.由射线OA ,OB ,OC 组成的所有小于平角的和是多少度?
(2)如图2,∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°,求∠2的度数;
(3)利用图3,反向延长射线OA 到M ,OE 平分∠BOM ,OF 平分∠COM ,请按题意补全图(3),并求出∠EOF 的度数.
3.综合试一试
(1)下列整数可写成三个非0整数的立方和:45=_____;2=______.
(2)对于有理数a ,b ,规定一种运算:2a b a ab ?=-.如2121121?=-?=-,则计算()()532-??-=????______.
(3)a 是不为1的有理数,我们把
11a
-称为a 的差倒数.如:2的差倒数是
1
112=--,1-的差倒数是()
11
112=--.已知12a =,2a 是1a 的差倒数,3a 是2a 的差倒数,4a 是3
a 的差倒数,……,以此类推,122500a a a ++???+=______.
(4)10位裁判给一位运动员打分,每个人给的分数都是整数,去掉一个最高分,再去掉一个最低分,其余得分的平均数为该运动员的得分.若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位,该运动员得9.4分,如果精确到百分位,该运动员得分应当是_____分. (5)在数1.2.3...2019前添加“+”,“-”并依次计算,所得结果可能的最小非负数是______
(6)早上8点钟,甲、乙、丙三人从东往西直行,乙在甲前400米,丙在乙前400米,甲、乙、丙三人速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟,问:______分钟后甲和乙、丙的距离相等.
4.如图,从左到右依次在每个小方格中填入一个数,使得其中任意三个相邻方格中所填数之和都相等. 6
a
b
x
-1
-2 ...
(1)可求得 x =______,第 2021 个格子中的数为______; (2)若前 k 个格子中所填数之和为 2019,求 k 的值;
(3)如果m ,n 为前三个格子中的任意两个数,那么所有的|m -n | 的和可以通过计算|6-a |+|6-b|+|a -b|+|a -6| +|b -6|+|b -a| 得到.若m ,n 为前8个格子中的任意两个数,求所有的|m-n|的和.
5.已知多项式3x 6﹣2x 2﹣4的常数项为a ,次数为b .
(1)设a 与b 分别对应数轴上的点A 、点B ,请直接写出a = ,b = ,并在数轴上确定点A 、点B 的位置;
(2)在(1)的条件下,点P 以每秒2个单位长度的速度从点A 向B 运动,运动时间为t 秒:
①若PA ﹣PB =6,求t 的值,并写出此时点P 所表示的数;
②若点P 从点A 出发,到达点B 后再以相同的速度返回点A ,在返回过程中,求当OP =3时,t 为何值?
6.已知数轴上有A 、B 、C 三个点对应的数分别是a 、b 、c ,且满足|a +24|+|b +10|+(c -10)2=0;动点P 从A 出发,以每秒1个单位的速度向终点C 移动,设移动时间为t 秒.
(1)求a 、b 、c 的值;
(2)若点P 到A 点距离是到B 点距离的2倍,求点P 的对应的数;
(3)当点P 运动到B 点时,点Q 从A 点出发,以每秒2个单位的速度向C 点运动,Q 点
到达C 点后.再立即以同样的速度返回,运动到终点A ,在点Q 开始运动后第几秒时,P 、Q 两点之间的距离为8?请说明理由.
7.已知,如图,A 、B 、C 分别为数轴上的三点,A 点对应的数为60,B 点在A 点的左侧,并且与A 点的距离为30,C 点在B 点左侧,C 点到A 点距离是B 点到A 点距离的4倍.
(1)求出数轴上B 点对应的数及AC 的距离.
(2)点P 从A 点出发,以3单位/秒的速度向终点C 运动,运动时间为t 秒. ①当P 点在AB 之间运动时,则BP = .(用含t 的代数式表示)
②P 点自A 点向C 点运动过程中,何时P ,A ,B 三点中其中一个点是另外两个点的中点?求出相应的时间t .
③当P 点运动到B 点时,另一点Q 以5单位/秒的速度从A 点出发,也向C 点运动,点Q 到达C 点后立即原速返回到A 点,那么Q 点在往返过程中与P 点相遇几次?直.接.写.出.相遇时P 点在数轴上对应的数
8.已知∠AOB 和∠AOC 是同一个平面内的两个角,OD 是∠BOC 的平分线. (1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如图(1),图(2),求∠AOD 的度数;
(2)若∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n <<,<<,<+且m n <,求∠AOD 的度数(结果用含m n 、的代数式表示),请画出图形,直接写出答案.
9.如图,已知数轴上点A 表示的数为10,B 是数轴上位于点A 左侧一点,且AB=30,动点P 从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为秒.
(1)数轴上点B 表示的数是________,点P 表示的数是________(用含的代数式表示); (2)若M 为线段AP 的中点,N 为线段BP 的中点,在点P 运动的过程中,线段MN 的长度会发生变化吗?如果不变,请求出这个长度;如果会变化,请用含的代数式表示这个长度; (3)动点Q 从点B 处出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P 、Q 同时出发,问点P 运动多少秒时与点Q 相距4个单位长度?
10.如图,以长方形OBCD 的顶点O 为坐标原点建立平面直角坐标系,B 点坐标为(0,a ),C 点坐标为(c ,b ),且a 、b 、C 6a +(c ﹣4)2=0.
(1)求B 、C 两点的坐标;
(2)动点P 从点O 出发,沿O→B→C 的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动,设点P 的运动时间为t 秒,DC 上有一点M (4,﹣3),用含t 的式子表示三角形OPM 的面积; (3)当t 为何值时,三角形OPM 的面积是长方形OBCD 面积的1
3
?直接写出此时点P 的坐标.
11.如图,数轴上有A , B 两点,分别表示的数为a ,b ,且()2
25350a b ++-=.点
P 从A 点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,当它到达B 点后立即以相同的速度返回往A 点运动,并持续在A ,B 两点间往返运动.在点P 出发的同时,点Q 从B 点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动,当点Q 达到A 点时,点P ,Q 停止运动. (1)填空:a = ,b = ;
(2)求运动了多长时间后,点P ,Q 第一次相遇,以及相遇点所表示的数; (3)求当点P ,Q 停止运动时,点P 所在的位置表示的数;
(4)在整个运动过程中,点P 和点Q 一共相遇了几次.(直接写出答案)
12.我国著名数学家华罗庚曾经说过,“数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.
观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图:
用含n 的式子表示第n 个图的钢管总数. (分析思路)
图形规律中暗含数字规律,我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律.
如:要解决上面问题,我们不妨先从特例入手: (统一用S表示钢管总数)
(解决问题)
(1)如图,如果把每个图形按照它的行来分割观察,你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.
S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________
(2)其实,对同一个图形,我们的分析眼光可以是不同的.请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线,提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律:
_______ ____________ _______________ _______________
(3)用含n的式子列式,并计算第n个图的钢管总数.
13.如图,P是定长线段AB上一点,C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上,D在线段BP上)
(1)若C、D运动到任一时刻时,总有PD=2AC,请说明P点在线段AB上的位置:
(2)在(1)的条件下,Q是直线AB上一点,且AQ﹣BQ=PQ,求PQ
AB
的值.
(3)在(1)的条件下,若C、D运动5秒后,恰好有
1
CD AB
2
,此时C点停止运动,
D点继续运动(D点在线段PB上),M、N分别是CD、PD的中点,下列结论:①PM﹣PN
的值不变;②MN
AB
的值不变,可以说明,只有一个结论是正确的,请你找出正确的结论并
求值.
14.
阅读下列材料,并解决有关问题:
我们知道,
(0)
0(0)
(0)
x x
x x
x x
>
?
?
==
?
?-<
?
,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子,例如化简式子|1||2|
x x
++-时,可令10
x+=和20
x-=,分别求得1
x=-,2
x=(称1-、2分别为|1|
x+与|2|
x-的零点值).在有理数范围内,零点值1
x=-和2
x=可将全体有理数不重复且不遗漏地分成如下三种情况:
(1)1
x<-;(2)1
-≤2
x<;(3)x≥2.从而化简代数式|1||2|
x x
++-可分为以下3种情况:
(1)当1
x<-时,原式()()
1221
x x x
=-+--=-+;
(2)当1-≤2
x<时,原式()()
123
x x
=+--=;
(3)当x≥2时,原式()()
1221
x x x
=++-=-
综上所述:原式
21(1)
3(12)
21(2)
x x
x
x x
-+<-
?
?
=-≤<
?
?-≥
?
通过以上阅读,请你类比解决以下问题:
(1)填空:|2|
x+与|4|
x-的零点值分别为;
(2)化简式子324
x x
-++.
15.已知:如图,点A、B分别是∠MON的边OM、ON上两点,OC平分∠MON,在
∠CON的内部取一点P(点A、P、B三点不在同一直线上),连接PA、PB.
(1)探索∠APB与∠MON、∠PAO、∠PBO之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)设∠OAP=x°,∠OBP=y°,若∠APB的平分线PQ交OC于点Q,求∠OQP的度数(用含有x、y的代数式表示).
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一、压轴题
1.(1)4;(2)12或72;(3)27或2213
或2 【解析】 【分析】
(1)根据题目得出棋子一共运动了t+2t+3t=6t 个单位长度,当t=4时,6t=24,为MN 长度的整的偶数倍,即棋子回到起点M 处,点3Q 与M 点重合,从而得出13Q Q 的长度.
(2)根据棋子的运动规律可得,到3Q 点时,棋子运动运动的总的单位长度为6t,,因为t<4,由(1)知道,棋子运动的总长度为3或12+9=21,从而得出t 的值.
(3)若t 2,≤则棋子运动的总长度10t 20≤,可知棋子或从M 点未运动到N 点或从N 点返回运动到2Q 的左边或从N 点返回运动到2Q 的右边三种情况可使242Q Q = 【详解】
解:(1)∵t+2t+3t=6t, ∴当t=4时,6t=24, ∵24122=?, ∴点3Q 与M 点重合, ∴134Q Q =
(2)由已知条件得出:6t=3或6t=21, 解得:1t 2=
或7t 2= (3)情况一:3t+4t=2, 解得:2t 7=
情况二:点4Q 在点2Q 右边时:3t+4t+2=2(12-3t) 解得:22t 13
=
情况三:点4Q 在点2Q 左边时:3t+4t-2=2(12-3t) 解得:t=2.
综上所述:t 的值为,2或27或2213
. 【点睛】
本题是一道探索动点的运动规律的题目,考查了学生数形结合的能力,探索规律的能力,用一元一次方程解决问题的能力.最后要注意分多种情况讨论. 2.(1)75°,150°;(2)15°;(3)15°. 【解析】 【分析】
(1)根据三角板的特殊性角的度数,求出∠AOC 即可,把∠AOC 、∠BOC 、∠AOB 相加即可求出射线OA ,OB ,OC 组成的所有小于平角的和;
(2)依题意设∠2=x,列等式,解方程求出即可;
(3)依据题意求出∠BOM,∠COM,再根据角平分线的性质得出∠MOE,∠MOF,即可求出∠EOF.
【详解】
解:(1)∵∠BOC=30°,∠AOB=45°,
∴∠AOC=75°,
∴∠AOC+∠BOC+∠AOB=150°;
答:由射线OA,OB,OC组成的所有小于平角的和是150°;
故答案为:75;
(2)设∠2=x,则∠1=3x+30°,
∵∠1+∠2=90°,
∴x+3x+30°=90°,
∴x=15°,
∴∠2=15°,
答:∠2的度数是15°;
(3)如图所示,∵∠BOM=180°﹣45°=135°,∠COM=180°﹣15°=165°,
∵OE为∠BOM的平分线,OF为∠COM的平分线,
∴∠MOF=1
2
∠COM=82.5°,∠MOE=
1
2
∠MOB=67.5°,
∴∠EOF=∠MOF﹣∠MOE=15°.
【点睛】
本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用,熟记概念是解题的关键.
3.(1)23+(-3)3+43,73+(-5)3+(-6)3;(2)100;(3)2503
2
;(4)9.38;(5)0;(6)
24或40
【解析】
【分析】
(1)把45分解为2、-3、4三个整数的立方和,2分解为7、-5、-6三个整数的立方和即可的答案;(2)按照新运算法则,根据有理数混合运算法则计算即可得答案;(3)根据差倒数的定义计算出前几项的值,得出规律,计算即可得答案;(4)根据精确到十分位得9.4分可知平均分在9.35到9.44之间,可求出总分的取值范围,根据裁判打分是整数即可求出8个裁判给出的总分,再计算出平均分,精确到百分位即可;(5)由1+2-3=0,连续4个自然数通过加减运算可得0,列式计算即可得答案;(6)根据题意得要使甲和乙、甲
和丙的距离相等就可以得出甲在乙、丙之间,设x 分钟后甲和乙、甲和丙的距离相等,就有甲走的路程-乙走的路程-400=丙走的路程+800-甲走的路程建立方程求出其解,就可以得出结论.当乙追上丙时,甲和乙、丙的距离相等,求出乙追上丙的时间即可.综上即可的答案. 【详解】
(1)45=23+(-3)3+43,2=73+(-5)3+(-6)3, 故答案为23+(-3)3+43,73+(-5)3+(-6)3 (2)∵2a b a ab ?=-,
∴()()532-??-=????(-5)?[32
-3×(-2)]
=(-5)?15 =(-5)2-(-5)×15 =100. (3)∵a 1=2, ∴a 2=1
112
=--, a 3=
11(1)--=1
2
,
41
2
112
a =
=-
a 5=-1 ……
∴从a 1开始,每3个数一循环, ∵2500÷3=833……1, ∴a 2500=a 1=2,
∴122500a a a ++???+=833×(2-1+
1
2)+2=25032
. (4)∵10个裁判打分,去掉一个最高分,再去掉一个最低分, ∴平均分为中间8个分数的平均分, ∵平均分精确到十分位的为9.4, ∴平均分在9.35至9.44之间, 9.35×8=74.8,9.44×8=75.52,
∴8个裁判所给的总分在74.8至75.52之间, ∵打分都是整数, ∴总分也是整数, ∴总分为75,
∴平均分为75÷8=9.375, ∴精确到百分位是9.38. 故答案为9.38
(5)2019÷4=504……3,
∵1+2-3=0,4-5-6+7=0,8-9-10+11=0,……
∴(1+2-3)+(4-5-6+7)+……+(2016-2017-2018+2019)=0
∴所得结果可能的最小非负数是0,
故答案为0
(6)设x分钟后甲和乙、丙的距离相等,
∵乙在甲前400米,丙在乙前400米,速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟,
∴120x-400-100x=90x+800-120x
解得:x=24.
∵当乙追上丙时,甲和乙、丙的距离相等,
∴400÷(100-90)=40(分钟)
∴24分钟或40分钟时甲和乙、丙的距离相等.
故答案为24或40.
【点睛】
本题考查数字类的变化规律、有理数的混合运算、近似数及一元一次方程的应用,熟练掌握相关知识是解题关键.
4.(1)6,-1;(2)2019或2014;(3)234
【解析】
【分析】
(1)根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、x的值,再根据第9个数是-2可得
b=-2,然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环,在用2021除以3,根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解.
(2)可先计算出这三个数的和,再照规律计算.
(3)由于是三个数重复出现,因此可用前三个数的重复多次计算出结果.
【详解】
(1)∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,∴6+a+b=a+b+x,解得x=6,a+b+x=b+x-1,∴a=-1,所以数据从左到右依次为6、-1、b、6、-1、b,第9个数与第三个数相同,即b=-2,所以每3个数“6、-1、-2”为一个循环组依次循环.
∵2021÷3=673…2,∴第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同,为-1.
故答案为:6,-1.
(2)∵6+(-1)+(-2)=3,∴2019÷3=673.
∵前k个格子中所填数之和可能为2019,2019=673×3或2019=671×3+6,∴k的值为:673×3=2019或671×3+1=2014.
故答案为:2019或2014.
(3)由于是三个数重复出现,那么前8个格子中,这三个数中,6和-1都出现了3次,-2出现了2次.
故代入式子可得:(|6+2|×2+|6+1|×3)×3+(|-1-6|×3+|-1+2|×2)×3+(|-2-6|×3+|-2+1|×3)×2=234.
【点睛】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用,规律推导的运用,此类题的关键是找出是按什么规律变化的,然后再按规律找出字母所代表的数,再进行进一步的计算.
5.(1)﹣4,6;(2)①4;②1319
,
22
或
【解析】
【分析】
(1)根据多项式的常数项与次数的定义分别求出a,b的值,然后在数轴上表示即可;(2)①根据PA﹣PB=6列出关于t的方程,解方程求出t的值,进而得到点P所表示的数;②在返回过程中,当OP=3时,分两种情况:(Ⅰ)P在原点右边;(Ⅱ)P在原点左边.分别求出点P运动的路程,再除以速度即可.
【详解】
(1)∵多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a,次数为b,
∴a=﹣4,b=6.
如图所示:
故答案为﹣4,6;
(2)①∵PA=2t,AB=6﹣(﹣4)=10,
∴PB=AB﹣PA=10﹣2t.
∵PA﹣PB=6,
∴2t﹣(10﹣2t)=6,解得t=4,
此时点P所表示的数为﹣4+2t=﹣4+2×4=4;
②在返回过程中,当OP=3时,分两种情况:
(Ⅰ)如果P在原点右边,那么AB+BP=10+(6﹣3)=13,t=13
2
;
(Ⅱ)如果P在原点左边,那么AB+BP=10+(6+3)=19,t=19
2
.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,路程、速度与时间关系的应用,数轴以及多项式的有关定义,理解题意利用数形结合是解题的关键.
6.(1) a=-24,b=-10,c=10;(2) 点P的对应的数是-44
3
或4;(3) 当Q点开始运动后第6、
21秒时,P、Q两点之间的距离为8,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24=0,b+10=0,c-10=0,解可得a、b、c的值;
(2)分两种情况讨论可求点P的对应的数;
(3)分类讨论:当P点在Q点的右侧,且Q点还没追上P点时;当P在Q点左侧时,且
Q点追上P点后;当Q点到达C点后,当P点在Q点左侧时;当Q点到达C点后,当P 点在Q点右侧时,根据两点间的距离是8,可得方程,根据解方程,可得答案.
【详解】
(1)∵|a+24|+|b+10|+(c-10)2=0,
∴a+24=0,b+10=0,c-10=0,
解得:a=-24,b=-10,c=10;
(2)-10-(-24)=14,
①点P在AB之间,AP=14×
2
21
=
28
3
,
-24+28
3
=-
44
3
,
点P的对应的数是-44
3
;
②点P在AB的延长线上,AP=14×2=28,
-24+28=4,
点P的对应的数是4;
(3)∵AB=14,BC=20,AC=34,
∴t P=20÷1=20(s),即点P运动时间0≤t≤20,
点Q到点C的时间t1=34÷2=17(s),点C回到终点A时间t2=68÷2=34(s),当P点在Q点的右侧,且Q点还没追上P点时,2t+8=14+t,解得t=6;
当P在Q点左侧时,且Q点追上P点后,2t-8=14+t,解得t=22>17(舍去);
当Q点到达C点后,当P点在Q点左侧时,14+t+8+2t-34=34,t=46
3
<17(舍去);
当Q点到达C点后,当P点在Q点右侧时,14+t-8+2t-34=34,解得t=62
3
>20(舍去),
当点P到达终点C时,点Q到达点D,点Q继续行驶(t-20)s后与点P的距离为8,此时2(t-20)+(2×20-34)=8,
解得t=21;
综上所述:当Q点开始运动后第6、21秒时,P、Q两点之间的距离为8.
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用,关键是正确理解题意,掌握非负数的性质,再结合数轴解决问题.
7.(1)30,120(2)①30﹣3t②5或20③﹣15或﹣483 4
【解析】
【分析】
(1)根据A点对应的数为60,B点在A点的左侧,AB=30求出B点对应的数;根据AC=4AB求出AC的距离;
(2)①当P点在AB之间运动时,根据路程=速度×时间求出AP=3t,根据BP=AB﹣AP
求解;
②分P点是A、B两个点的中点;B点是A、P两个点的中点两种情况讨论即可;
③根据P、Q两点的运动速度与方向可知Q点在往返过程中与P点相遇2次.设Q点在往返过程中经过x秒与P点相遇.第一次相遇是点Q从A点出发,向C点运动的途中.根据AQ ﹣BP=AB列出方程;第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中.根据CQ+BP=BC
列出方程,进而求出P点在数轴上对应的数.
【详解】
(1)∵A点对应的数为60,B点在A点的左侧,并且与A点的距离为30,
∴B点对应的数为60﹣30=30;
∵C点到A点距离是B点到A点距离的4倍,
∴AC=4AB=4×30=120;
(2)①当P点在AB之间运动时,
∵AP=3t,
∴BP=AB﹣AP=30﹣3t.
故答案为30﹣3t;
②当P点是A、B两个点的中点时,AP=1
2
AB=15,
∴3t=15,解得t=5;
当B点是A、P两个点的中点时,AP=2AB=60,
∴3t=60,解得t=20.
故所求时间t的值为5或20;
③相遇2次.设Q点在往返过程中经过x秒与P点相遇.第一次相遇是点Q从A点出发,向C点运动的途中.
∵AQ﹣BP=AB,
∴5x﹣3x=30,
解得x=15,
此时P点在数轴上对应的数是:60﹣5×15=﹣15;
第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中.
∵CQ+BP=BC,
∴5(x﹣24)+3x=90,
解得x=105
4
,
此时P点在数轴上对应的数是:30﹣3×105
4
=﹣48
3
4
.
综上,相遇时P点在数轴上对应的数为﹣15或﹣483
4
.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,行程问题相等关系的应用,线段中点的定义,进行分类讨论是解题的关键.
8.(1)图1中∠AOD=60°;图2中∠AOD=10°; (2)图1中∠AOD=n m 2+;图2中∠AOD=n m
2
-. 【解析】 【分析】
(1)图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=20°,则∠BOD=10°,根据∠AOD=∠AOB+∠BOD 即得解;图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°,则∠BOD=60°,根据∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB 即可得解;
(2)图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m ,则∠BOD=n m
2
﹣,故∠AOD=∠AOB+∠BOD=
n m 2+;图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n ,则∠BOD=n m
2+,故∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m
2
-. 【详解】
解:(1)图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=70°﹣50°=20°, ∵OD 是∠BOC 的平分线, ∴∠BOD=
1
2
∠BOC=10°, ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+10°=60°; 图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°, ∵OD 是∠BOC 的平分线, ∴∠BOD=
1
2
∠BOC=60°, ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=60°﹣50°=10°;
(2)根据题意可知∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n <<,<<,<+且m n <,
如图1中,
∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m , ∵OD 是∠BOC 的平分线,
∴∠BOD=
12∠BOC=n m
2
﹣, ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=n m
2
+;
如图2中,
∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n , ∵OD 是∠BOC 的平分线,
∴∠BOD=
12∠BOC=n m 2
+, ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m
2
-.
【点睛】
本题主要考查角平分线,解此题的关键在于根据题意进行分类讨论,所有情况都要考虑,切勿遗漏.
9.(1)-20,10-5t ;(2)线段MN 的长度不发生变化,都等于15.(3)13秒或17秒 【解析】 【分析】
(1)根据已知可得B 点表示的数为10-30;点P 表示的数为10-5t ;
(2)分类讨论:①当点P 在点A 、B 两点之间运动时,②当点P 运动到点B 的左侧时,利用中点的定义和线段的和差易求出MN .
(3) 分①点P 、Q 相遇之前,②点P 、Q 相遇之后,根据P 、Q 之间的距离恰好等于2列出方程求解即可; 【详解】
解:(1))∵点A 表示的数为10,B 在A 点左边,AB=30, ∴数轴上点B 表示的数为10-30=-20;
∵动点P 从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t (t >0)秒,
∴点P 表示的数为10-5t ; 故答案为-20,10-5t ;
(2)线段MN 的长度不发生变化,都等于15.理由如下: ①当点P 在点A 、B 两点之间运动时,
∵M 为线段AP 的中点,N 为线段BP 的中点, ∴MN=MP+NP=AP+BP=(AP+BP )=AB=15; ②当点P 运动到点B 的左侧时:
∵M 为线段AP 的中点,N 为线段BP 的中点, ∴MN=MP-NP=AP-BP=(AP-BP )=AB=15, ∴综上所述,线段MN 的长度不发生变化,其值为15.
(3)若点P 、Q 同时出发,设点P 运动t 秒时与点Q 距离为4个单位长度. ①点P 、Q 相遇之前,
由题意得4+5t=30+3t ,解得t=13; ②点P 、Q 相遇之后,
由题意得5t-4=30+3t ,解得t=17.
答:若点P 、Q 同时出发,13或17秒时P 、Q 之间的距离恰好等于4; 【点睛】
本题考查了数轴一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离,关键是根据题意画出图形,注意分两种情况进行讨论.
10.(1)B 点坐标为(0,﹣6),C 点坐标为(4,﹣6)(2)S △OPM =4t 或S △OPM =﹣3t+21(3)当t 为2秒或
133秒时,△OPM 的面积是长方形OBCD 面积的1
3
.此时点P 的坐标是(0,﹣4)或(8
3
,﹣6)
【解析】 【分析】
(1)根据绝对值、平方和算术平方根的非负性,求得a ,b ,c 的值,即可得到B 、C 两点的坐标;
(2)分两种情况:①P 在OB 上时,直接根据三角形面积公式可得结论;②P 在BC 上时,根据面积差可得结论;
(3)根据已知条件先计算三角形OPM 的面积为8,根据(2)中的结论分别代入可得对应t 的值,并计算此时点P 的坐标. 【详解】 (1)∵
6a +|2b +12|+(c ﹣4)2=0,∴a +6=0,2b +12=0,c ﹣4=0,∴a =﹣6,b =﹣6,c
=4,∴B 点坐标为(0,﹣6),C 点坐标为(4,﹣6). (2)①当点P 在OB 上时,如图1,OP =2t ,S △OPM 1
2
=?2t ×4=4t ; ②当点P 在BC 上时,如图2,由题意
得:BP =2t ﹣6,CP =BC ﹣BP =4﹣(2t ﹣6)=10﹣2t ,DM =CM =3,S △OPM =S 长方形
OBCD ﹣S △0BP ﹣S △PCM ﹣S △ODM =6×412-
?6×(2t ﹣6)12-?3×(10﹣2t )12
-?4×3=﹣3t +21. (3)由题意得:S △OPM 13=
S 长方形OBCD 1
3
=?(4×6)=8,分两种情况讨论: ①当4t =8时,t =2,此时P (0,﹣4);
②当﹣3t+21=8时,t
13
3
=,PB=2t﹣6
26188
333
=-=,此时P(
8
3
,﹣6).
综上所述:当t为2秒或13
3
秒时,△OPM的面积是长方形OBCD面积的
1
3
.此时点P的
坐标是(0,﹣4)或(8
3
,﹣6).
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标,动点问题,求三角形的面积,还考查了绝对值、平方和算术平方根的非负性、解一元一次方程,分类讨论是解答本题的关键.
11.(1)25
-,35(2)运动时间为4秒,相遇点表示的数字为27 ;(3)5;(4) 一共相遇了7次.
【解析】
【分析】
(1)根据0+0式的定义即可解题;(2)设运动时间为x秒,表示出P,Q的运动路程,利用路程和等于AB长即可解题;(3)根据点Q达到A点时,点P,Q停止运动求出运动时间即可解题;(4)根据第三问点P运动了6个来回后,又运动了30个单位长度即可解题.【详解】
解:(1)25
-,35
(2)设运动时间为x秒
13x2x2535
+=+
解得x4
=
352427
-?=
答:运动时间为4秒,相遇点表示的数字为27
(3)运动总时间:60÷2=30(秒),13×30÷60=6…30即点P运动了6个来回后,又运动了30个单位长度,
∵25305
-+=,
∴点P所在的位置表示的数为5 .
(4)由(3)得:点P运动了6个来回后,又运动了30个单位长度,
∴点P和点Q一共相遇了6+1=7次.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系是解题关键.
12.(1)3456;45678
S S
=+++=++++ ;(2) 方法不唯一,见解析;(3)方法不唯一,见解析
【解析】
【分析】
先找出前几项的钢管数,在推出第n项的钢管数.
【详解】
(1)3456;45678
S S
=+++=++++
(2)方法不唯一,例如:
12
S=+1233
S=+++123444
S=+++++12345555
S=+++++++(3)方法不唯一,例如:
()()
12 (2)
S n n n n
=++++++
()()
()()
=.....12.....
1
11
2
n n n n
n n n n
+++++++
=+++
()
3
1
2
n n
=+
【点睛】
此题主要考察代数式的规律探索及求和,需要仔细分析找到规律.
13.(1)点P在线段AB上的
1
3
处;(2)
1
3
;(3)②MN
AB
的值不变.
【解析】
【分析】
(1)根据C、D的运动速度知BD=2PC,再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP,所以点P在线段AB上的
1
3
处;
(2)由题设画出图示,根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ;然后求得AP=BQ,从而求得PQ 与AB的关系;
(3)当点C停止运动时,有CD=1
2
AB,从而求得CM与AB的数量关系;然后求得以AB 表示的PM与PN的值,所以MN=PN?PM=
1
12
AB.
【详解】
解:(1
)由题意:BD=2PC
∵PD=2AC,
∴BD+PD=2(PC+AC),即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的
1
3
处;
(2)如图:
∵AQ-BQ=PQ,
∴AQ=PQ+BQ,
∵AQ=AP+PQ,
∴AP=BQ,
∴PQ=
1
3
AB,
∴
1
3
PQ
AB
=
(3)②MN
AB
的值不变.
理由:如图,
当点C停止运动时,有CD=
1
2
AB,
∴CM=
1
4
AB,
∴PM=CM-CP=
1
4
AB-5,
∵PD=
2
3
AB-10,
∴PN=
12
23
(AB-10)=
1
3
AB-5,
∴MN=PN-PM=
1
12
AB,
当点C停止运动,D点继续运动时,MN的值不变,
所以
1
1
12
12
AB
MN
AB AB
==.
【点睛】
本题考查了比较线段的长短.利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不
同的情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性.同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.
14.(1) 2x =-和4x = ;(2) 35(4)11(43)35(3)x x x x x x --<-??
+-≤?+≥?
【解析】 【分析】
(1)令x +2=0和x -4=0,求出x 的值即可得出|x +2|和|x -4|的零点值,
(2)零点值x =3和x =-4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:x <-4、-4≤x <3和x ≥3.分该三种情况找出324x x -++的值即可. 【详解】
解:(1)2x =-和4x =,
(2)由30x -=得3,x =由40x +=得4x =-,
①当4x <-时,原式()()32435x x x =---+=--, ②当4-≤3x <时,原式()()32411x x x =--++=+, ③当x ≥3时,原式()()32435x x x =-++=+,
综上所述:原式()35(4)11(43)353x x x x x x ?--<-?
=+-≤?+≥?
,
【点睛】
本题主要考查了绝对值化简方法,解决本题的关键是要熟练掌握绝对值化简方法. 15.(1)见解析;(2)∠OQP=180°+12x°﹣12y°或∠OQP=12x°﹣1
2
y°. 【解析】
【试题分析】(1)分下面两种情况进行说明;
①如图1,点P 在直线AB 的右侧,∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°, ②如图2,点P 在直线AB 的左侧,∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO , (2)分两种情况讨论,如图3和图4. 【试题解析】 (1)分两种情况:
①如图1,点P 在直线AB 的右侧,∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°, 证明:∵四边形AOBP 的内角和为(4﹣2)×180°=360°, ∴∠APB=360°﹣∠MON ﹣∠PAO ﹣∠PBO ;