第一讲
Ⅰ 授课题目：
§5.1 预备知识：向量的内积 Ⅱ 教学目的与要求：
1.了解向量的内积及正交向量组的概念；
1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；
2.了解正交矩阵概念及性质。
Ⅲ 教学重点与难点：
重点：正交向量组及正交矩阵
难点：施密特正交化方法
Ⅳ 讲授内容：
一、向量的内积
前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算. 定义1 设有n 维向量
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=n
x x x x 2
1，⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=n y y y y 2
1
， 令 []n x y x y x y x +++= 2211,，
[]y x ,称为向量x 与y 的内积.
内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x 与y 都是列向量时，有 []y x y x T
=,.
内积具有下列性质（其中z y x ,,为n 维向量，λ为实数）： ① [][]x y y x ,,=； ② [][]y x y x ,,λλ=； ③ [][][]z x y x z y x ,,,+=+.
例1 设有两个四维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5121α，⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=5603β.求[]βα,及[]αα,.
解 []3425603,-=--+-=βα []3125141,=+++=αα
n 维向量的内积是数量积的一种推广，但n 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹
角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义
n 维向量的长度和夹角： 定义2 令x =
[]2
2221,n
x x x x x ++=
，则x 称为n 维向量x 的长度（或范数）.
向量的长度具有下列性质：
① 非负性 当0≠x 时，0>x ，当0=x 时，0=x ； ② 齐次性 x x λλ=；
③ 三角不等式 y x y x +≤+.
向量的内积满足施瓦兹不等式 [][][]y y x x y x ,,,2
⋅≤
由此可得
[]
1 ,≤y
x y x （当0y ≠x 时）
于是有下面的定义：
当0≠x ，0≠y 时， []
y
,arccos x y x =θ 称为n 维向量的夹角.
二、正交向量组
当[]0,=y x 时，称向量x 与y 正交.显然，若0=x ，则x 与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组.
定理 1 若n 维向量r ααα ,,21是一组两两正交的非零向量组，则r ααα ,,21线性无关.
证明 设有r λλλ ,,21使 02211=+++r r αλαλαλ ，
以T 1α左乘上式两端，得 0111=ααλT
， 因01≠α，故02
11≠=α
ααT
，从而必有01=λ.类似可证0,02==r λλ .于是向
量组r ααα ,,21线性无关.
注 1.该定理的逆定理不成立.
2.这个结论说明：在n 维向量空间中，两两正交的向量不能超过n 个.这个事实的几
何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量；空间中找不到四个两两垂直的非零向量.
正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基.例如n 个两两正交的n 维非零向量，可构成向量空间n R 的一个正交基.
例2 已知3维向量空间3
R 中两个向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1212α正交，试求一个非零向量
3α，使321,,ααα两两正交.
解 记 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12
11112
1T
T
A αα， 3α应满足齐次线性方程0=Ax ，即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-0012
1
111
321x x x ， 由 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-01
101~03
111
~A ，得 ⎩⎨⎧=-=02
3
1x x x ， 从而有基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101，取⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=1013α即合所求.
定义3 设n 维向量r e e e ,,,21 是向量空间)(n
R V V ⊂的一个基，如果r e e e ,,,21 两两正交，且都是单位向量，则称r e e e ,,,21 是V 的一个规范正交基.
若r e e e ,,,21 是V 的一个规范正交基，那么V 中任一向量α应能由r e e e ,,,21 线性表示，设表示式为 r r e e e λλλα+++= 2211.为求其中的系数),1(r i i =λ，可用
T
i e 左乘上式，有 i i T i i T i e e e λλα==，即 []i T
i i e e ,ααλ==.
设r ααα ,,21是向量空间V 的一个基，要求V 的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量r e e e ,,,21 ，使r e e e ,,,21 与r ααα ,,21等价.这样一个问题，称为把r ααα ,,21这个基规范正交化.
以下办法可把r ααα ,,21规范正交化： 取 11α=b ；
[]
[]
1112122,,b b b b b αα-
=；
…… [][][]
[]
[]
[]1
1112
2221111,,,,,,-------
=r r r r r r r r r b b b b b b b b b b b b b αααα
.
容易验证r b b b ,,,21 两两正交，且r b b b ,,,21 与r ααα ,,21等价. 然后只要把它们单位化，即取1
11b b e =
，2
22b b e =
，……，r
r r b b e =
，就得V 的一个规范正交基.上述从
线性无关向量组r ααα ,,21导出正交向量组r b b b ,,,21 的过程称为施密特（Schimidt ）正交化过程.它不仅满足r b b b ,,,21 与r ααα ,,21等价，还满足：对任何)1(r k k ≤≤，向量组k b b b ,,,21 与k ααα ,,21等价.
例3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1312α，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=0143α，试用施密特正交化过程把这组向量规范
正交化.
