函数的奇偶性复习优秀课件

若f（-x）=_-_f_（__x_）_，则f（x ）为奇函数； 若f （-x ）=__f_（__x_）__，则f （x ）为偶函数； 若f（-x）=_-_f_（__x_）_且f（-x ）=__f（__x__）__,则f(x )既是 奇函数又是偶函数； 若f （-x ）≠-f （x ）且f （-x ）≠f （x ），则f （x ）既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数 .
基础自测
1.对任意实数x ,下列函数为奇函数的是
A.y =2x -3
B. y=-3x2
（C ）
C.y=ln 5x
D.y=-|x|cos x
解析 A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函
数.设y=f(x)=ln 5x=xln 5,∴f（-x）=-xln 5=
-f （x ）.
2.（2008·全国Ⅱ理）函数 f (x) ? 1 ? x 的图象关于 x （C）
探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备 条件: 一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题 是有利的; 二是判断f (x )与f (-x )是否具有等量关系 .在判断奇偶 性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式(f (x )+f (-x )=0(奇函数)或f (x )-f (-x )=0(偶函数)) 是否成立.
4.已知f(x）=ax 2+bx是定义在[ a-1，2a]上的偶函数,
那么a+b的值是
A. ? 1 B. 1
C. 1
3
3
2
D. ? 1 2
（B ）
解析
依题意得
?a ?1? ??b ? 0
? 2a ,?
? ?
a
?
?
??b ?
1 3, 0
? a? b? 1? 0? 1. 33
5.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sin x+1 (x∈R),
若f（a）=2，则f（-a）的值为
（B ）
A.3 B.0 C.-1 D.-2
解析 设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数.
∴f （x ）=g（x ）+1.∵f （a）=g（a）+1=2，
∴g（a）=1，
∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.
题型分类 深度剖析
4? x2 ;
| x? 3| ?3
?x? 2 (2) f (x) ? ???0
? ??? x ? 2
(x ? ? 1) (| x |? 1) . ( x ? 1)
解
(1)∵
??4 ?
?
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x2
?
0 ,
∴ -2≤x ≤2且x ≠0,
??| x ? 3 |? 3
∴函数f (x )的定义域关于原点对称 .
f (x) ?
题型一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x) ? lg 1? x ;
1? x
(2)f (x) ? (x ? 1)
1?
x ;
1? x
(3)f
(x)
?
?? x2
? ??
x
2
? ?
x x
(x (x
? ?
0), 0).
思维启迪 判断函数的奇偶性,应先检查定义域是
否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x )之间是否
相等或相反.
解 (1) 1? x ? 0 ? ? 1 ? x ? 1, 定义域关于原点对称. 1? x
又f (? x) ? lg 1? x ? lg(1? x )?1 1? x 1? x
? ? lg 1? x ? ? f (x), 1? x
故原函数是奇函数. (2) 1? x ≥0且1-x≠0 ? -1≤x<1,
1? x 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.
(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 定义域关于原点对称, 又当x>0时,f(x )=x2+x,则当x<0时,-x>0, 故f (-x )=x 2-x =f (x ); 当x <0时,f (x )=x 2-x ,则当x >0时,-x <0, 故f (-x )=x 2+x =f (x ), 故原函数是偶函数.
分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的 函数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x <0来 寻找等式f (-x )=f (x )或f (-x )=-f (x )成立,只有当对称 的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确 定的奇偶性.
知能迁移1 判断下列函数的奇偶性:
(1) f (x) ?
4 ? x2 ?
4 ? x2 .
x? 3? 3 x
又f (? x) ?
4 ? (? x)2 ??
4? x2 ,
?x
x
∴f (-x )=-f (x ),即函数f (x )是奇函数.
3.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 __相__同__, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 _相__反___(填 “相同”、“相反”）. (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是__奇__函__数__,两个奇函数的积是偶 函数； ②两个偶函数的和、积是__偶__函__数___； ③一个奇函数，一个偶函数的积是__奇__函__数___.
§2.4函数的奇偶性 基础知识自主学习
要点梳f（理-x ）=f （x ） f（-x ）=-f （x ）
1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是:
（1）考查定义域是否关于__原__点__对__称____； （2）考查表达式f （-x ）是否等于f （x ）或-f （x ）：
A.y轴对称
B.直线y =-x 对称
C.坐标原点对称
D.直线y=x 对称
解析 ∵ f (x) ? 1 ? x, x
1
1
? f (? x) ? ? ? x ? ? ( ? x) ? ? f (x).
x
x
∴f （x ）是奇函数.∴f （x ）的图象关于原点对称 .
3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减
的函数是（ D） A.f(x)=sin x B.f (x )=-|x -1| C.f (x) ? 1 (ax ? a? x )
2 D.f (x) ? ln 2 ? x
2? x 解析 ∵函数是奇函数,排除B、C（B中函数是非奇
非偶函数，C中是偶函数），
∵［-1，1］ [? ? , ? ],
22 ∴f（x）=sin x在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D.