高等数学不定积分优秀课件

9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。

诚毅高数不定积分课件
目录
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的性质和定理 • 不定积分的综合应用 • 习题解答与解析
01
不定积分的概念
不定积分的定义
积分上限函数
不定积分定义为积分上限函数，即一 个函数的不定积分是其原函数在某个 区间上的最大值和最小值之间的差值 。
原函数
不定积分的结果称为原函数，它表示 被积函数的一个可导函数。
要点二
详细描述
积分中值定理的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连 续，则至少存在一点ξ∈[a, b]，使得f(ξ) = ∫(a→b) f(x) dx 。这个定理在解决一些积分问题时非常有用，因为它可以 将一个复杂的积分问题转化为一个简单的求值问题。
牛顿-莱布尼茨定理
总结词
牛顿-莱布尼茨定理是微积分学中一个重要 的基本定理，它给出了定积分的计算方法。
详细描述
积分第二中值定理的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，且同号，那么 存在一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a→b) f(x)g(x) dx = f(ξ)∫(a→b) g(x) dx = g(ξ)∫(a→b)
f(x) dx。这个定理在解决一些涉及两个函数的积分的复杂问题时非常有用。
不定积分在物理学中的应用
总结词
阐述不定积分在物理学中的重要性和实际效果
详细描述
不定积分在物理学中扮演着关键的角色，特别是在解决 与速度和加速度相关的问题时。通过不定积分，我们可 以找到物体的速度和加速度的表达式，进而解决物理问 题。此外，不定积分在电磁学、光学和量子力学等领域 也有广泛的应用。
不定积分在经济学中的应用
04
不定积分的综合应用

2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−

23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！高数—不定积分.讲来自和例题-PPT.56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈

解法一 sin3xcosxdx sin3xdsinx 1 sin4x C 4
解法二
sin3xcosxdx sin2xcosxdcosx cos3x cosx dcosx
1 cos4x 1 cos2x C
4
2
例4.2.12 求 cos4xdx 。
解
cos4
x
1
ln 1
x'
1 ，于是有 1 x
1
1
x
dx
ln
1
x'
dx
ln
1
x
C
思考：当x 1 时，结果如何呢？
例4.1.5 求 x2 dx
1 x
x 1 。
解
x2
1 x
dx
x2 11 1 x
dx
x
1
1 1
x
dx
1 x2 x ln 1 x C 2
例4.1.6 求
1 dx 。 x
解
1 x
解
tanx
dx
sinx cosx
dx
d cosx
cosx
ln
cosx
C
类似地可得
cotxdx ln sinx C
以上这两个结果是常用的积分公式，请读者熟记。
例4.2.6 求
1
1 e
x
dx
。
解法一 利用 ex ' ex 的特点，在被积函数的分子中增、减项，即
1
1 e
x
dx
1 ex ex 1 ex dx
由于 x2 ' x2 2 ' x2 35 ' 2x ，所以 x2、x2 2、x2 35
都为2x的原函数。那么2x 的原函数有多少个呢？

例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2

4
A

4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2

dx.
6x 1
3(2x 1) 4
(2x 1)10 dx (2x 1)10 dx
3
4
( (2x
1)9
(2x
1)10
)dx
1
2
3d(2 (2x
x
1) 1)9
1 2
4d(2x 1) (2 x 1)10
3 ( 1) (2x 1)8 2 ( 1) (2x 1)9 C
例8
计算（5）
2x 1 x2 4 x 5 dx.
例8
计算（6）
6x 1 (2 x 1)10
dx.
例8
计算（7）
1
x
x
dx.
例8
计算（8）
(1
x x)3
dx.
例8
计算（1）
1 x2 a2 dx;
x2
1
a2 dx
1 2a
x
1
a
x
1
a
dx
1 2a
d(x a) xa
d(x a) x a
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
f
(arctan
x)d(arctan
x)
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1
原式
1 x2 dx d(arctan x)
(2
arctan
x)2
tan
x
1
sec
d(tan x
x
sec

如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.

1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )

令u 10x
1 10
sin
udu
1 10
cos
u
C
u回代 1 cos10x C. 10
[ 1 cos10x C] sin10x 说明结果正确 10
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
e3xdx 1
3
e 3 xd(3 x )
令u 3x
1 3
eudu 1 eu C 3
u回代 1 e3x C 3
x
; 6
原式
(x
1 3)( x
2)
dx
1 5
(
x
1
3
x
1
)dx 2
1 5
[
x
1
d(x 3
3)
x
1
2
d(
x
2)]
1 (ln | x 3 | ln | x 2 |) c 1 ln | x 3 | c
5
5 x2
练习
求
dx x2 5x 4 .
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
sin xdx d(cos x);
sec x tan xdx d(sec x); csc x cot xdx d(csc x).
sec2 xdx d(tan x); csc2 xdx d(cot x);
dx d(arcsin x);
1 x2
dx 1 x2 d(arctan x);
第四章 不定积分
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan