高等数学不定积分优秀课件

4. 求下列积分:
(1 )x2(1 d xx2);
(2 )s2 ix d n c x2 o x.s
提示:
(1)
x2(11 x2)(1 x2(x12 )x2)x 2
1 x2
11x2
(2) si2n x1 co 2xs ssi2in 2 xn x cco 2 o2xxss se 2xccs 2xc
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定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x)在I
上的不定积分, 记作 f(x)dx, 其中
— 积分号; f (x) — 被积函数;
x— 积分变量; f (x)dx — 被积表达式.
若 F (x)f(x),则
常数C不能丢掉
f(x)dxF(x)C ( C 为任意常数 )
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定理. 若函 f(x数 )在区 I上 间 连 ,则续 f(x)在I上 存在原函数 .
初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数
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定理. 若F(x)是f(x)的一个原, 则 函f (数 x)的所有 原函数都在函数族 F(x)C( C 为任意常数 ) 内 .
5. 求不定积分
e3x ex
1dx 1
.
解：
e3x ex
1dx 1
(ex1)e(ex2 x1ex1)dx
(e2xex1)dx
1e2xexxC 2
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6. 已知
x2 d xA x1x2B d x
1x2
1x2
求A,B.
解: 等式两边对 x 求导, 得
x 2 A 1x2 Ax2 B
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
常用恒等变形方法
分项积分
加项减项
利用三角公式 , 代ຫໍສະໝຸດ Baidu公式 ,
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思考与练习
1. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
x2
C
提示: f(x)(ex)ex f (lnx) elnx 1 x
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例7. 求
1
x4 x2
dx
.
解: 原式 = (x141x)21dx (x211)(xx221)1dx
(x21)dx1 dxx2
1x3xarcxt aC n 3
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表
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例5. 求 tan2xdx. 解: 原式 = (se2xc1)dx
se2xcdxdx ta x x n C
例6. 求
1 x x2 x (1 x2)
dx
.
解: 原式 =
x(1 x2) x(1 x2)
dx
1
1 x2
dx
1 x
dx
arcxtalnnx C
不定积分的几何意义:
f (x) 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线 .
f (x)dx 的图形
y
f (x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
o
x0
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解: y2x
y2xdxx2 C
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
212C C1 因此所求曲线为 yx2 1
y (1, 2)
o
x
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第二节 不定积分的概念与性质
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f
(x)dx
f(x)或
d
f
(x)dx
f(x)d x
(2 )F(x)d x F(x) C或 dF(x)F(x)C
因此问题转化为:
已知
v(t)
Asint
m
,求
m
v(t)?
m
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定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 F(x)f(x)或 d F (x )f(x )d x ,则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 .
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
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2. 若 f (x) 是 e x 的原函数 , 则
f(xl x )n d x 1xC0lnx C
提示: 已知 f(x)ex
f(x) e x C 0 f(lnx)1xC0 f(xlnx)x12Cx0
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3. 若 f (x) 的导函数为 sinx, 则 f (x) 的一个原函数
是( B ).
(A ) 1sixn ; (B ) 1sixn ;
(C ) 1co x;s (D ) 1co x.s
提示: 已知 求 即
f(x)sixn
(? )f(x) (? )sixn
或由题意 f(x ) cx o C 1 s,其原函数为
f (x)dx sx i n C 1 x C 2
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二、 基本积分表 p170-171
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例2. 求
dx x3 x
.
例3. 求 si2 n xco2 xsdx.
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三、不定积分的性质
1. kf(x)dxk f (x)dx (k0) 2.[f(x)g(x)d ]xf(x)dxg(x)dx
高等数学不定积分优秀课件
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力 FAsin t的作 下沿直线运动 , 试求质点的运动速度 v(t).
根据牛顿第二定律, 加速度 a(t) F A sin t
n
推论: 若 f (x)ki fi(x), 则
i1 n
f(x)dxkifi(x)dx i1
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例4. 求 2x(ex5)dx. 解: 原式 = [2 (e)x52x)dx
( 2 e ) x 5 2 x C ln( 2 e ) ln 2
2xlne2x1l5n2C
1 x2
1x2 1 x 2
(AB)2Ax2 1x2
A2AB10