【函数极限的综合分析与理解】函数极限定义的理解
函数极限的综合分析与理解
PB08207031 王欣
极限可以与很多的数学问题相联系。例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。其目的在于归纳和解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。
一、函数极限的定义和基本性质
函数极限可以分成x→x0，x→∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知
极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x?x0的极限为例，f?x?在点x0以A极限的定义是：???0,???0,使当0?x?x0??时，有f(x)?A??(A为常数).问题的关键在于找到符合定义要求的?，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。
函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若lim存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明x?x0
""即如果f?xn??A，fxn，f?x?在x0处的极限不存在。?B（n??,xn 和xn?x0）??
则f?x?在x0处的极限不存在。
运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式f?x??P?x?P?x?,Q?x?均为多项式，Q?x??0）。设P?x?的次数为n,Q?x?的Qx次数为m，当x??时，若n?m，则f?x??0;若n?m，则f?x??P?x?与Q?x?的最高次项系数之比；若
当x?x0时,f(x)?P(x0)(Q(x0)?0)。 Q(x0)n?m，则f?x???。
二、运用函数极限的判别定理
最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是
找到极限值相同的函数g?x?与h?x?，并且要满足g?x??f?x??h?x?，从而证明或求得函数f?x?的极限值。
三、应用等价无穷小代换求极限
掌握常用的等价无穷小很重要。等价无穷小代换可以将复杂的极限式变的简单明了，让求解过程变得简明迅速。
1x?0时，sinx与x，tanx与x，arcsinx与x，arctanx与x，1?cosx 与x2，2
xa，ax?1与xlna，?1?a?与ax（a?0）等等可ln?1?x?与x，loga?1?x?与lna
以相互替换。特别需要注意的是，等价无穷小代换只能用于分子、分母中的乘积sinx?x因子，而对于加减法运算则不能运用。例如lim，不能直接把sinx替换x?0x3
sinx?x1??成x，得出极限值为0，实际上lim。 x?0x36
四、运用洛必达法则求函数极限
设函数f?x?，g?x?在点a的某空心邻域可导，且g"(x)?0。当x?a 时，f?x?f"?x?，f?x?和g?x?的极限同时为0或?时才适用?"?A（A为常数或?）gxgx洛必达法则。洛必达法则实际上把求函数极限问题转化为学生较为拿手的求导数
0??、00、1?、?0等类型则需要问题。这使得求解思路简单程序化。而对于???、
0?对式子进行转化，或通分或取倒数或取对数等转化为型，再使用洛必达法0?
则求极限。例如f?x?g?x?的极限转化为求eg?x?lnf?x?的极限等等。然而，对于数列，则必须转化为函数再运用洛必达法则。这是因为如果把数列看作是自变量为n的函数时，它的定义域是一系列孤立的点，不存在导数。这是使用洛必达法则时必须要注意的一点。
五、泰勒公式的运用
对于使用洛必达法则不易求出结果的复杂函数式，可以考虑使用泰勒公式。这样将函数式化为最高次项为相同或相近的式子，这时就变成了求多项式的极限值（接着求值见上文所述方法），使计算一目了然。因此掌握和记忆常用基本初等函数的麦克劳林展开式是十分必
要的。如ex，sinx，cosx，ln?1?x?等等。至于展开式展开多少，则要与题干中的自变量x最高次项保持一致。如limcosx?e
x?0x4?x22利用泰勒公式展开cosx,e?x22，展开到x4即可(原式x最高次项为x4)。
六、利用微分中值定理来求极限
f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?上可导，则至少存在一点???a,b?，使f"(?)?f(b)?f(a)"f(b)?f(a),f(?)即可看成特殊的极限，用来求解。一般需b?ab?a
要函数式可以看成同一函数的区间端点的差，这样可以使用微分中值定理。。
另外，一些重要的结论往往在求极限时可以直接加以引用，例如lim(1?x)?e，limx?01xsinx?
1，?
1，?1等等。 x?0nnx
求极限的方法和技巧更多的在于中的摸索和探讨，上述方法只是笔者在高等数学和练习的一些，求极限的还有很多。
内容仅供参考
