5、4年级奥数_等差数列求和(一)

练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第 21项是多少?（2）这串数共有多少个？
2、一串数：2、4、6、8、……2008。（1）它的第25 项是多少?（2）这串数共有多少个？
3、一串数：101、102、103、104、……199。（1） 它的第30项是多少?（2）这串数共有多少个？
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
练习
1、计算 （1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99
4、一串数：7、12、17、22……。（1）它的第60项 是多少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？
练习答案：
1、它的第21项=1+2×（21-1）=41； 这个数列的项数= （49-1）÷2+1=25；
2、它的第25项=2+2×（25-1）=50； 这个数列的项数= （2008-2）÷2+1=1004；
规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到 这个数列的项数。
等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）÷公差 + 1
这个数列的项数= （302-2）÷3+1=101
小结：
等差数列项的有关规律
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
3、它的第30项=101+1×（30-1）=130； 这个数列的项数= （199-101）÷1+1=99
4、它的第60项=7+5×（60-1）=302； 这个数列各项被5除有相同的余数。 （提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相 同。）
二、等差数列的和
例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38
分析：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4
原数列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 倒过来的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6
44 44 44 44 44 44 44 44 44 两数列之和=（6+38）×9
项
首项
末项
（二）等差数列的基本知识
（1）1、2、3、4、5、6…… （2）2、4、6、8、10、12…… （3）5、10、15、20、25、30
（公差=1） （公差=2） （公差=5）
通过观察，我们可以发现上面的每一 个数列中，从第一项开始，后项与前项 的差都相等的，具有这样特征的数列称 为等差数列，这个差称为这个数列的公 差。
等差数列的通项公式： 等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的末项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的首项=末项-公差×（项数-1） 适用条件：该数列一定要为等差数列
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）
例1 已知数列2、5、8、11、14…… 求：（1）它的第10项是多少？
（2）它的第98项是多少？ （3）这个数列各项被几除有相同的余数？
练习答案：
解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，公差=3, 项数=（37-7）÷3+1=11 和=（7+37）×11÷2=242
（2）这是一个等差数列；首项=7，末项=403，公差=4， 项数=（403-7）÷4+1=100 和=（7+403）×100÷2=20500
（3）这是一个等差数列；首项=9，末项=99，公差=10， 项数=（99-9）÷10+1=10 和=（9+99）×10÷2=540
一、等差数列的基本知识
什么是数列？
按一定规律排列的数 是一列数，可以有限，可以无限 1）1、2、3、4、5、6…… （2）2、4、6、8、10、12…… （3）5、10、15、20、25、30
认识数列
• 观察：1，3，5，7，9，……，19
第 第 第 第第
第
项数
一 二 三 四五
十
项 项 项 项项
（4）这是一个等差数列；首项=1，末项=99，公差=2， 项数=（99-1）÷2+1=50 和=（1+99）×50÷2=2500
例 1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+…… 198+197-196-195
规律： 等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相
对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。
这个数列每1项除以3都余2。
等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。
答：这个数列第10项是29；第98项是293；这个数列
各项除以3余数相பைடு நூலகம்。
例2 已知数列2、5、8、11、14、17……302，这 个数列有多少项。 分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个 公差，第4项比首项多3个公差……，那第n项比首项 多（n-1)个公差。
分析：首项=2 公差=3
解：（1）第10项： （2）第98项：
2+3 ×（10-1）=29 2+3 ×（98-1）=293
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）
例1 已知数列2、5、8、11、14…… 求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？
分析：
被除数=余数+除数×商
等差数列的某一项= 2+ 3×（项数-1）
二、等差数列的项
数列：1、3、5、7、9、11……
第2项： 3=1+2 第3项： 5=1+2 ×2 第4项： 7=1+2 ×3 第5项： 9=1+2 ×4 第6项： 11=1+2 ×5
首项+公差×1（2-1） 首项+公差×2（3-1） 首项+公差×3（4-1） 首项+公差×4（5-1） 首项+公差×5（6-1）