正弦定理ppt

a sin C c 49.57 sin A
13 sin 25.7 30

变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 A 得 sin B a 30 30
C
26
300
30
B
∵a > b
即
a b c sin A sin B sin C
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
a b c 2R 另证1: sin A sin B sin C
（R为△ABC外接圆半径）
证明：作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
' BAC 90 , C C
sin A sin B
b sin A 16 3 sin 30 3 得 sin B a 16 2
16 3
300
16
16
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120° 当 Ｂ＝60°时
C=90°
A
B
B
c 32 .
a sin C c 16 . sin A
当Ｂ＝120°时 C=30°
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
若三角形是锐角三角形, 如图1,
c
A b C
过点A作AD⊥BC于D, 此时有 sin B
AD , sin C c
B

AD b
图1
D
b c , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C a c 同理可得 , sin A sin C
a b c 即： sin A sin B sin C
∴A>B, C=124.30,
三角形中大边对大角
所以Ｂ＝25.70,
a sin C c 49.57 sin A
13 sin 25.7 30

课堂小结
（1）三角形常用公式： A B C

1 1 1 SABC ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2 a b c ＝ 2R 正弦定理： sin A sin B sin C
若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC， 交BC延长线于D, 此时也有 sin B
b
AD c
且 sin （ C） AD sin C
a b c 仿(2)可得 sin A sin B sin C
A c b
B
图2 C
D
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
1、正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边，求其他角和边
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
课堂小结
a b c (1)正弦定理： sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
① ② ＝
2R
已知两角和任意边，求其他两边和一角
已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?
A、等腰三角形 C、等腰直角三角形
B、直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形
5、正弦定理的变形形式
6、正弦定理，可以用来判断三角形的 形状，其主要功能是实现三角形边角关 系的转化
定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
例 1、在△ABC 中，已知c = 10, 。 。 A = 45 , C = 30 ，解三角形 (精确到 0.01）
C b
a
B
A
c
例 2、 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 已知两边和其中一边 解三角形 的对角,求其他边和角 a b 解：由正弦定理 C
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°， 3 求B和c。
正弦定理应用二：
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进
而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）
2、A+B+C=π 3、大角对大边，大边对大角
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
正弦定理 正弦定理
在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一 般记为a，其余类似)的关系:
b a sin B sin A c c c sin C 1
c
不难得到:
b
A
c
a b c sin A sin B sin C
C
a
B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C
b A
c
a
B
B
a O A b C
c
a b 同理 2 R, 2R sin A sin B a b c 2R sin A sin B sin C
c sin C sin C 2R c 2R sin C
'
C/
1 1 1 另证2: S ab sin C bc sin A ac sin B ABC 2 2 2
A
c
B
b
ha
证明： ∵ S ABC
C ∴
1 aha 2
Da
而 h AD c sin B b sin C a
同理
∴
S ABC
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
（2）正弦定理的应用
课后作业
P10 习题1.1A组 1， 2（1）（2）
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
[B=90°，C=60°，c= 13 3 ]
(2) b=40，c=20，C=45°.
无解 注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 A 得 sin B a 30 30
C
26
300
30
B
所以Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 （如图） C=124.30,
自我提高！
练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则 a:b:c＝( )
A、1:2:3
C、1: 3 :2 A、

B、 6
B、3:2:1
D、2:
2 C、 或 3 3
3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝

3
5 D、 或 6 6
ຫໍສະໝຸດ Baidu
登高3、在
a b ABC中， ，则 ABC 的形状是 cos B cos A