人教版新课标普通高中◎数学⑤必修
3.2 一元二次不等式及其解法
教案 A
第1课时
教学目标
一、知识与技能
1. 正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系.
2. 熟练掌握一元二次不等式的解法.
二、过程与方法
1.通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力.
2.通过对问题的思考、探究、交流，培养学生良好的数学交流能力，增强其数形结合的思维意识.
3.在教学中渗透由具体到抽象，由特殊到一般、类比猜想、等价转化的数学思想方法.
三、情感、态度与价值观
1. 通过具体情境，使学生体验数学与实践的紧密联系，激发学生学习研究一元二次不等式的积极性和对数学的情感，使学生充分体验获取知识的成功感受.
2.在探究、讨论、交流过程中培养学生的合作意识和团队精神，使其养成严谨的治学态度和良好的思维习惯.
教学重点和难点
教学重点：一元二次不等式的解法.
教学难点：一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系.
教学关键：使学生明白三个二次之间的关系，规范学生解题的步骤.
教学突破方法：采用表格的形式，把“三个二次”关系表制成幻灯片，答案逐个播放，把节省大量的板书时间转化成学生的思考时间；在引导学生结合图象写解集时用白板笔做标记帮助学生分析，突破难点.例题讲解、方法总结环节中，白板演示例题、黑板板书步骤，黑板、白板交替使用既节省了板书例题时间又起到了规范解题步骤的作用，也符合学生接受新事物时的心理.教学小结环节展示整节课的教学导图.
教法与学法导航
教学方法：选择观察、探究、发现、类比、总结的教学模式.重点以引导学生为主，让他们能积极、主动的进行探索，获取知识.
学习方法：结合本节内容和学生实际，适当引入研究性学习，采用讲练结合方法，通过阅读发现问题，分析探索，合作交流最终形成技能.使学生在观察、思考、交流中体验数学学习的乐趣.
教学准备
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2
教师准备：把书上的引例、发现“三个一次”联系的过程及教材第77页“三个二 次”关系、第78页程序框图制成课件.
学生准备：完成预习作业（用不等式表是引例中的不等关系），复习一元二次函数的图象和一元二次方程的解. 教学过程
一、创设情境，导入新课
引例: 某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司（网络服务公司）可供选择，公司A 每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B 的收费原则是：在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）.
分析：一般说来，一次上网时间不会超过17小时，所以不妨假设一次上网时间总小于17小时. 此时比较一次上网在多长时间内能够保证选择公司A 的上网费用小于或等于选择公司B 所需费用.
假设一次上网x 小时，则公司A 收取的费用为1.5x （元）， 公司B 收取的费用为
元）
(20
)
35(x x -. 如果能够保证选择公司A 比选择公司B 所需费用少，则
x x x 5.120
)
35(≥-.
整理得 052
≤-x x
这是一个关于x 的一元二次不等式，只要求出满足这个不等式的解集，就可以得到问题的答案.
按照我们的命名习惯这个不等式应该叫什么不等式？依据是什么？
学生得出一元二次不等式定义.求出不等式中x 的范围，问题就迎刃而解了，一元二次不等式如何解呢？这节课我们将学习如何解一元二次不等式.
板书课题：一元二次不等式及其解法. 二、主题探究，合作交流
以前解过一次不等式， （1）2x-5>0的解是什么？
（2）根据图象回答.
不等式2x-7>0的解集为：{x | x >2.5}；
不等式2x-7<0的解集为：{x | x <2.5}； 不等式2x-7≥0的解集为：{x | x ≥2.5}； 不等式2x-7≤0的解集为：{x | x ≤2.5}.
（3）思考：一元一次不等式 2x -5>0、一元一次方程 2x -5=0、 一元一次函数 y =2x －5这“三个一次”之间有什么联系？
（4）结论推广：对于一元一次方程 ax +b =0、一元一次函数 y=ax +b 、一元一次不等式ax +b>0，“三个一次”的关系成立吗? -5 2.5
y x o
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观察要解得不等式x 2-5x ≤0，
左边代数式是哪个函数的解析式？
左边代数式的值是0是不等式变成了什么形式？
你能借助由“三个一次”的联系解一次不等式的方法尝试找到“三个二次”的联系，求解一元二次不等式吗？
请同学们自己亲自动手试一试. 三、拓展创新，应用提高
1. 探讨求不等式x 2-5x ≤0的解集. 解：令 f （x ）=x 2-5x ，
方程x 2-5x =0的解为x 1=0，x 2=5. 即函数f （x ）=x 2-5x 与x 轴的交点坐标为（0,0）、（5,0），由于二次项系数大于0，所以二次函数的图象抛物线开口向上.
由图象易知当0≤x ≤5时，函数值f （x ）≤0， 即不等式x 2-5x ≤0的解集为{x |0≤x ≤5}.
点评：显然这里不等式的求解用了一元二次函数、一元二次方程，体现了用函数和方程来求解一元二次不等式解集的思想和方法.
练习：求解 x 2-5x +6>0的解集.
解：不等式的解集为()()+∞?∞-,32,.
2. 讨论一般情况下一元二次不等式的解集.
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
220(0),0(0),ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或
一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2
>0与c bx ax ++2
<0的解集呢？ 从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
（1）抛物线=y c bx ax ++2
与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程
c bx ax ++2=0的根的情况.
（2）抛物线=y c bx ax ++2
的开口方向，由a 的符号确定.
总结：（l ）抛物线 =y c bx ax ++2
（a > 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2
=0的判别式ac b 42
-=?三种取值情况（Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分三种情况讨论
.
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（2）a <0可以转化为a >0.
分△>0，△=0，△<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2
>0与
c bx ax ++2<0的解集.
?=b 2-4ac
0>? 0=? 0
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
一元二次方程 ()的根
00
2>=++a c bx ax
有两相异实根
)(,2121x x x x < 有两相等实根
a
b x x 221-
== 无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}
2
1
x x x x x ><或
????
??-≠a b x x 2
R
的解集)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
? ?
教师多媒体演示表格，白板笔做标记.学生观察、分析、交流、探究.
例1 求不等式 4x 2-4x +1>0 的解集.
解：因为2
10144,0212
===+-=?x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是?
?????≠
21x x . 例2 求不等式－x 2+2x -3>0的解集.
教学安排：学生自主完成，教师巡视指导，纠正错误，最后教师有针对性的演板，规范学生解题格式.
解：先把二次项系数化为正数 x 2-2x +3<0.
因为032,031422
2
=+-
学生总结解不等式的步骤. 随堂练习：
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（1）解不等式x 2-7x +12≥0； 答：(][),34,-∞?+∞ （2）解不等式 -2x 2+x -5<0； 答：R （3）解不等式 4x 2-4x +1<0. 答：? 四、小结
1. 从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；
2. 应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；
3. 解一元二次不等式的步骤：
（1） 将二次项系数化为“+”：A =c bx ax ++2
>0（或<0）（a >0） （2）计算判别式△，分析不等式的解的情况： ①当△>0时，求根1x <2x ，??
?<<<><>.
002121x x x A x x x A ，则若；或，则若
②当△=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，??
?
??=≤∈<≠>.
00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；
，则若φ
③当△<0时，方程无解，??
?∈≤∈>.
00φx A R x A ，则若；，则若
（3）写出解集.
五、课堂作业
教材第80页习题3.2 A 组 第1、2题；第81页 B 组 第1题。
第2课时
教学目标
一、知识与技能
巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；会处理简单的实际问题.
二、过程与方法
培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力. 三、情感、态度与价值观
激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想. 教学重点和难点
教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法.
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教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系，含参数一元二次不等式的解法.
教学关键：掌握一元二次不等式的解题步骤，领会分类讨论的思想.
教学突破方法：通过一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，学习含有参数的一元二次不等式的解法.通过例题的讲解和学生的练习，不断地发现、深入、探究，步步为营、层层铺垫既有利于一元二次不等式解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系等知识的巩固和延伸，更有利于学生的自主学习. 教法与学法导航
教学方法：采用探究与合作相结合的教学方式，进行启发式教学.
学习方法：以学生自主探究为主，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神. 教学准备
教师准备：多媒体及课件. 学生准备：直尺、计算器. 教学过程
一、创设情境，导入新课
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2．一元二次不等式的解法步骤. 二、主题探究，合作交流
例1 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速 x km /h 有如下的关系：
2
1120180
s x x =
+. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的车
速至少是多少（精确到0.01km /h ）？
解：设这辆汽车刹车前的车速至少为x km /h ，根据题意，我们得到
2
1139.520180
x x +> 移项整理得2
971100x x +->
.
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显然△>0，方程2
971100x x +-=有两个实数根，即1288.94,79.94x x ≈-≈.
然后画出二次函数y =x 2+9x －7 110的图象，由图象可知不等式的解集为
{}|88.94,79.94x x x <->或.
在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km /h .
例2 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：
22220y x x =-+.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到
222206000x x -+>.
移项整理，得
211030000x x -+<.
因为?=100>0，所以方程2
11030000x x -+=有两个实数根
1250,60x x ==.
由二次函数y =x 2－110x +3 000的图象，得不等式的解为
50 因为x 只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益. 三、拓展创新，应用提高 教材第80页练习第1、2题. 补充例题： 教师备课系统──多媒体教案 8 1. 已知2{|(1)0}B x x a x a =-++≤，求B ； 解：当1a >时，{|1}B x x a =≤≤； 当1a =时，{1}B =； 当1a <时，{|1}B x a x =≤≤． 2. 已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为11 32{|}x x x <>或，求关于x 的不等 式2 0cx bx a -+>的解集. 解：由解集11 32{|}x x x <>或，得一元二次不等式 )3 1)(21 (-- x x >0. 即 6x 2-5x +1>0 与已知条件对应可变为 -6x 2+5x -1<0, 可取a =-6, b =5,c =-1, 则所求不等式2 0cx bx a -+>为0652 >---x x ， 即 0652 <++x x . 解得 }23|{-<<-x x . 四、小结 1. 进一步熟练掌握一元二次不等式的解法. 2. 一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系. 3. 能用一元二次不等式解决一些综合性问题或实际问题. 五、课堂作业 教材第80页习题3.2 A 组 第3、5题. 教案 B 第1课时 教学目标 1．深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力. 2．通过含参数不等式的探究，正确地对参数分区间进行讨论.由于字母多又要讨论，所以往往成为学生的薄弱环节.要通过借助数轴的直观效果，熟练掌握，并通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观. 3．通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力. 人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 9 教学重点 从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数列结合的思想.熟练地掌握一元二次不等式的解法. 教学难点 深刻理解二次函数，一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系. 课时安排 2课时. 教学过程 一、导入新课，问题情境 让学生阅读课本的上网计时收费问题.某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司可供选择，收费标准不一样.让学生计算并比较两种不同的收费方式，由此抽象出不等关系，引出一元二次不等式的概念，由此引入新课. 提出问题： ①阅读课本回忆并回答怎样从实际问题抽象出不等式？ ②什么是一元二次不等式？ ③可以回忆一元一次方程、一元一次不等式及一次函数三者之间有什么联系？ ④类比“三个一次”之间的关系，怎样探究一元二次不等式的解法？ 可利用多媒体课件，让学生填写相关内容： 0>a 0 一次函数 ) 0(≠+=a b ax y 的图象 x y y=ax+b O x y y=ax+b O 一元一次方程0=+b ax 的解集 一元一次不等式 0>+b ax 的解集 一元一次不等式 0<+b ax 的解集 从以上的回顾我们发现，一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系，利用这种联系（集中反映在图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集. 类比以上，我们来探究一元二次不等式与一元二次方程与二次函数的关系，并从中找出解决一元二次不等式的求解方法. 在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数,52 x x y -=当x 为何 教师备课系统──多媒体教案 10 值时，,0=y 0,0<>y y ？ 二次函数x x y 52 -=的对应表与图象如下： x -1 0 1 2 3 4 5 6 y 6 -4 -6 -6 -4 6 图省略 二、学生活动 如图，观察函数y =x 2-5x 的图象，可以看出，一元二次不等式x 2-5x <0的解集就是二次函数y =x 2-5x 的图象（抛物线）位于x 轴下方的点所对应的x 值的集合．一元二次不等式x 2-5x <0的解集就是二次函数y =x 2-5x 的图象（抛物线）位于x 轴上方的点所对应的x 值的集合． 因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x 轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集． 第一步：解方程052 =-x x ，得,0=x 或5=x ； 第二步：画出抛物线x x y 52 -=的草图； 第三步：根据抛物线的图象，可知052 <-x x 的解集为}50|{< 探究一：a ＞0时2 0ax bx c ++>(或＜0)的解法. 思考1：方程x 2－x －6＝0的根是什么？对于函数y ＝x 2－x －6，x 取何值时，函数值大于0？ x 取何值时，函数值小于0？ 思考2：一元二次不等式x 2－x －6 ＞0的解集是什么? 一元二次不等式x 2－x －6＜0的解集是什么? {x|x ＜－2或x ＞3}；{x |－2＜x ＜3}. 思考3：一般地，当a ＞0时，通过什么手段可以确定一元二次不等式 20ax bx c ++> 与20ax bx c ++<的解集？ 思考4：二次函数2 (0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的相对位置关系有哪几种可能？其判定原理是什么？ 思考5：根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系，将教材第77页表格填充完整. 人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 11 探究二：当a ＜0时，2 0ax bx c ++>(或＜0)的解法. 思考1：二次函数2 (0)y ax bx c a =++<的图象有什么特点？它与x 轴的相对位置关系有哪几种可能？ 思考2：根据二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系，下表中空格内的相应内容分别是什么？ 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 （0a <）的图象 一元二次方程 ()的根 00 2<=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 ()的解集 00 2<>++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? ()的解集 00 2<<++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 思考3：不等式(x ＋2)(x －3)＜0和(x －2)(x ＋3)＞0的解集分别是什么？ 思考4：一般地，若a ＜b ，则不等式(x －a )(x －b )＜0和(x －a )(x －b )＞0的解集分别是什么？ 四、数学运用 例1 解下列不等式： （1） 27120x x -+>； （2） 2 230x x --+≥； （3） 2210x x -+<； （4） 2 220x x -+<． 解：（1）方程2 7120x x -+=的解为123,4x x ==．根据2 712y x x =-+的图象， 可得原不等式2 7120x x -+>的解集是{|34}x x x <>或． （2）不等式两边同乘以1-，原不等式可化为2 230x x +-≤． x y o x 1 x 2 x y o x 1=x 2 x y o 教师备课系统──多媒体教案 12 方程2 230x x +-=的解为123,1x x =-=． 根据2 23y x x =+-的图象，可得原不等式2 230x x --+≥的解集是 {|31}x x -≤≤． （3）方程2 210x x -+=有两个相同的解121x x ==． 根据2 21y x x =-+的图象，可得原不等式2 210x x -+<的解集为?． （4）因为0?<，所以方程2 220x x -+=无实数解，根据2 22y x x =-+的图象， 可得原不等式2 220x x -+<的解集为?． 归纳解一元二次不等式的步骤： （1）二次项系数化为正数； （2）解对应的一元二次方程； （3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图； （4）写出不等式的解集． 思考：（1）求解一元二次不等式2 0(0)ax bx c a ++<>的过程，怎样用流程图来描述？ （2）求解一元二次不等式2 0(0)ax bx c a ++>>的过程，怎样用流程图来描述？ （3）不等式2 0(0)ax bx c a ++<<和2 0(0)ax bx c a ++><的解法？ 说明：对于例1（１），还可将其转化为一次不等式（组）来求解，这种求法不仅体现了化归思想，而且更有一般性． 练习：课本第80页 练习第1、2题． 例2 （补充）（1）解不等式073 <+-x x （若改为307 x x -≤+呢？）； （2）解不等式 23 17 x x -<+； （3）解不等式2202 x x x +-<-（若改为：01122≥---x x x 如何？）． 解:（1）原不等式{{70,70, 30,30.x x x x 或+>+ -<-> 人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 13 {|73}x x ∴-<<（{|73}x x ∴-<≤）. （2） 10 07 x x -<+，即{|710}x x ∴-<<. （3）分析：根据实数运算的符号法则，可以化为不等式组求解. 原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集： ①???>-≥--;01,0122x x x ②? ??<-≤--.01,0122x x x 解①得12x ≥+；解②得12 1.x -≤< 所以原不等式的解集是{|121x x -≤<或12}x ≥+． 说明：本题是将一个比较复杂的不等式转化为不等式组进行求解，在解的过程中应 注意何时取交集，何时取并集．在这里，集合知识得到了进一步应用． 五、回顾小结 1．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法. 2．掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用. 3．掌握将分式不等式转化为一元二次不等式求解． 六、课外作业 教材第80页习题3.2 A 组第1、2、4题； B 组第1题. 第2课时 教学目标 1．深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系，对给定的一元二次不等式，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力. 2．通过含参数不等式的探究，正确地对参数分区间进行讨论.由于字母多又要讨论，所以往往成为学生的薄弱环节.要通过借助数轴的直观效果，熟练掌握，并通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观. 3．通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力. 教学重点 从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数列结合的思想.熟练地掌握一元二次不等式的解法. 教师备课系统──多媒体教案 14 教学难点 深刻理解二次函数，一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系. 教学过程 一、问题情境 1.复习 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2 (0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 0(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系？ 2．归纳解一元二次不等式的步骤： （1）二次项系数化为正数； （2）解对应的一元二次方程； （3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图； （4）写出不等式的解集． 二、数学运用 1．实际应用： 例1 在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离(m)s 与车速(km /h)x 之间分别有如 下关系：22 0.10.01,0.050.005s x x s x x =+=+乙甲．问：甲、乙两车有无超速现象？ 分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速． 解：由题意知，对于甲车有20.10.0112x x +>，即2 1 01200x x +->，解得30 x >或40x <-（不合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h ．但根据题意刹车 距离略超过12m ，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h ． 对于乙车，有2 0.05 0.00510x x +>，即2 1020000x x +->，解得40x >或 50x <-（不合实际意义，舍去） ，这表明乙车的车速超过40km/h ，超过规定限速． 例2 已知关于x 的不等式2 0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数m n 、之值． 解： 不等式2 0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤， ∴125,1x x =-=是20x mx n -+=的两个实数根， 人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 15 ∴由韦达定理知：5151m n -+=??-?=?，，∴45.m n =-??=-? ， ． 2. 综合提高 例3 已知不等式2 0ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<，求不等式 20cx bx a -+>的解集． 解：由题意 23230b a c a a ?+=-?? ? ?=?? ，，， 即560.b a c a a =-??=?? 代入不等式2 0cx bx a -+>，得： 2 650(0)ax ax a a ++=<． 即2 6510x x ++<，∴所求不等式的解集为11{|}32 x x - <<-． 例4 已知一元二次不等式2 (2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围． 解： 2(2)2(2)4y m x m x =-+-+为二次函数，2m ∴≠. 二次函数的值恒大于零，即2 (2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ． 20,0,m ->?∴?? 2,4(2)16(2)0,m m m >??--- 26, m m >??< 归纳：一元二次不等式恒成立情况小结： 20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立?0,0;a >??? 2 0ax bx c ++<（0a ≠）恒成立?0, 0.a 教师备课系统──多媒体教案 16 例5 若不等式2 210mx x m -+-<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求实数x 的取值范围． 解：已知不等式可化为2 (1)(12)0x m x -+-<． 设2 ()(1)(12)f m x m x =-+-，这是一个关于m 的一次函数（或常数函数），要使 ()0f m <在22m -≤≤时恒成立，其等价条件是： 2 2 (2)2(1)(12)0, (2)2(1)(12)0, f x x f x x ?=-+- 22230,2210.x x x x ?+->??-- 解得171322x -++<< ． 所以，实数x 的取值范围是1713,22?? -++ ? ??? ． 练习 1 已知：{}{} 22|320,|(1)0A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤，求A 、B 的解集 2．若方程()0522 =++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）． A ．4-≤m 或4≥m B ．45-≤<-m C ．45-≤≤-m D ．25-<<-m 3．不等式组?? ?-<>a x a x （R a ?）的解集是（ ）. A ．{} a x a x -<< B ．{} a x a x <<- C ．当0≥a 时，?∈x ；当0 a x a x x -<<∈ D ．当0≥a 时，{}a x a x x x >-<∈或；当0 a x a x x -<<∈ 参考答案： 1. 解：由题意 {|12}A x x =≤≤， 当a ≥1时，{}1x x a ＃ 当a<1时，{}1x a x ＃ 人教版新课标普通高中◎数学⑤必修 2．B 3．C 三、回顾小结 1．有关一元二次不等式的实际问题，在于理清各个量之间的关系，建立数学模型；2．利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式． 四、课外作业 1. 教材第80、81页A组第3、5、6题；B组第4题. 2.教材第103页复习参考题A组第2、3题；第104页B组第3题. 17 §3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售 高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第3课时 一元二次不等式解法（习题课） A 级 基础巩固 一、选择题 1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x ＝－2} D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 解析：(x －1)x ＋2≥0， 所以???x －1≥0，x ＋2≥0 或x ＝－2， ?x ≥1或x ＝－2，故选C. 答案：C 2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝?，则实数a 的值的集合是 ( ) A ．{a |00，Δ≤0????a >0，a 2－4a ≤0 ?0≤a ≤4. 综上知，0≤a ≤4.选D. 答案：D 3．已知集合M ＝???? ??x ???x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．?R(M ∩N ) D ．?R(M ∪N ) 解析：因为M ＝{x |－3 第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系； 2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容； 3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程. 二、教学重点： 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点： 使用不等式（组）正确表示出不等关系. 四、教学过程： （一）导入课题 现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系. 提问： 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于). 2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述） 引入知识点： 1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者a >b ，或者a =b ”，等价于“a 不小于b ，即若a >b 或a =b 之中有一个正确，则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. （1）如果a b -是正数，那么a b >；如果a b -等于零，那么a b =；如果a b -是负数，那么a b <.反之也成立，就是（a b ->0?a >b ；a b -=0?a =b ；a b -<0?a 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明： （1）向量法证明 （2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点： （1） （2） （3） 知识点3 解三角形 1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点： （1） （2） （3） （4） 知识点2 余弦定理的的证明 证法1： 证法2： 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题： （1）已知三边求三角； （2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。 例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c. 1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 （1）仰角和俯角： （2）方位角： 知识点2 解三角形应用题的一般思路 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）合理选择正弦定理和余弦定理求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 （1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。 （2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。 2019-2020年高中数学《 3.4 基本不等式 》教案1 新人教A 版必修5 主备人： 执教者： 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【学习重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明； 【学习难点】基本不等式等号成立条件 【授课类型】 新授课 【学习方法】 讲练结合 【学习过程】 1.课题导入 基本不等式的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有。 2．得到结论：一般的，如果 )""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 当 22,()0,,()0, a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，，即 个性设计 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差：0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b ->>?>时,1a a b b =?=,1a a b b ?<时，,1a a b b =?=,1a a b b 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为0且二次项的系数大于0；②计算相应的判别式；③当0?≥时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于0取两边，小于0取中间）.含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系；③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根，则12,x x 的分布情况列表如下：（画出函数图象并在理解的基础上记忆） 5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将()f x 最高次项的系数化为正数；②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿 又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件；②目标函数：要求最值的关于,x y 的解析式，如：22z x y =+， 一元二次不等式及其解法 [考点梳理] 1．解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是； (2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的； (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．当a ＞0时，解集为_______；当a ＜0时，解集为．若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是_______． 3．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集． (4)一元二次不等式的解： 函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a 无实根 ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 ① ② R ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ? ③ (1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f （x ） g （x ） 的形式． (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f （x ） g （x ）＞0 ? f (x )g (x )＞0；f （x ） g （x ） ＜0 ? f (x )g (x )＜0； f （x ） g （x ）≥0 ? ???f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0；f （x ）g （x ）≤0 ? ???f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. 基本不等式（一） 教学目标： 1． 学会推导并掌握均值不等式定理； 2． 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab 4a ＋b ≥2ab 即 a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而， 此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义 问：a ，b ∈R －？ 例题讲解： 例1 已知x ，y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . （2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14 S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14 S 2. 高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最 小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.] 课题: §3.2一元二次不等式及其解法 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 1.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型： 2 50x x -< (1) 2.讲授新课 1）一元二次不等式的定义 象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2）探究一元二次不等式250x x -<的解集 怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究： （1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x == 二次函数有两个零点：120,5x x == 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集 画出二次函数2 5y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2 50x x ->； 当0 基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式错误!≥错误! （1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）； (3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）； （4)错误!≥（错误!）2。 3．基本不等式求最值 （1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大． （2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D） A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误! C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D. 2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立， 对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2, 所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立． 对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为（A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ,宽为y ， 则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30, 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。 4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1， 当且仅当x ＝－错误!时，等号成立， 所以函数f （x )有最大值，所以选A 。 5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。 因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2）， 所以1a ＋错误!＝1， 所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2,b ＝4时,等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系 下列不等式一定成立的是 课题：基本不等式 一、教材分析： 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学5·必修》（人教A版）中第三章第四节。本节课主要研究基本不等式的几何背景、代数证明和实际生活中的应用。 基本不等式在现实生活中运用比较广泛。本节课通过从生活与几何背景中得到基本不等式、证明不等式与回归生活解决实际问题的思路，体现新课标“数学有用”的理念。同时，运用基本不等式求最值也是数列研究的基本问题。通过对本节的研究，培养学生数形结合的思想方法。 二、学情分析： 在本节课之前学生已经学习了不等关系与不等式和一元二次不等式及其解法，对不等关系的一般性质和不等式的求解证明有了一定的理解，为基本不等式的学习提供了基础。 授课班级为高一（1）班，我班学生整体基础知识一般、部分学生思维较活跃，能够较好的掌握教材上的内容，但处理、分析问题的能力还有待提高。 三、设计思想： 本课为新授课，积极践行新课程“数学有用”理念，倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高数学思维能力，在教与学的和谐统一中体现数学思想和文化价值；注重信息技术与数学课程的整合。 四、教学目标： 1、知识与技能： (1) 师生共同探究基本不等式； (2) 了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明； (3) 会简单运用基本不等式。 2、过程与方法： 通过基本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式，培养学生数形结合的思维能力。 3、情感、态度与价值观： (1)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力； (2) 通过具体的现实问题提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功的快乐。 五、教学重点： （1）用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明； （2）运用基本不等式解决实际问题。 教学难点：基本不等式的运用。 重、难点解决的方法策略： 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象代数的教 3.1不等关系和不等式 （一）教学目标 1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。 2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系； 3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。 （二）教学重、难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 （三）教学设想 [创设问题情境] 问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d ≤AB 。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 分析：若杂志的定价为x 元，则销售的总收入为 2.580.20.1x x -? ?-? ??? 万元。那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式 2.580.20.1x x -? ?-? ?? ?≥20 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm 的钢管x 根，截得600mm 的钢管y 根.. 根据题意，应有如下的不等关系： （1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm ； （2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）解得两钟钢管的数量都不能为负。 由以上不等关系，可得不等式组： 5006004000300 x y x y x y +≤??≥??≥??≥? [练习]：第82页，第1、2题。 [知识拓展] 设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。不等式是否 《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识； 2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程： （一）情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。 一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学内容一、教学衔接： 1、检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 二、内容讲解： 1．如果,a b R+ ∈2 a b ab +≥那么当且仅当时取“=”号）. 2．如果,a b R+ ∈ 2 2 a b ab + ?? ≤ ? ?? 那么（当且仅当时取“=”号） 3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 三、课堂总结与反思： 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结 四、作业布置： 见讲义 管理人员签字：日期：年月日 基本不等式复习 知识要点梳理 知识点：基本不等式 1．如果,a b R +∈2a b ab +≥（当且仅当时取“=”号）. 2．如果,a b R +∈2 2a b ab +??≤ ???（ 当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求11 x x + ≥+（x 0）的最小值； （2）若x 0,0,24,xy y x y >>+=求的最大值 （3）已知 ,，且. 求的最大值及相应的的值 变式1：已知51,y=42445 x x x < -+-求函数的最大值必修五 3.1不等式与不等关系(第一课时)教案
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