初中几何模型弦图模型
- 格式:doc
- 大小:411.50 KB
- 文档页数:6
中考数学几何模型:弦图模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
弦图模型,包含两种模型:弦图模型和外弦图模型.
(一)弦图模型:如图,在正方形ABCD 中,AE ⊥BF 于点E ,BF ⊥CG 于点F ,CG ⊥DH 于点G ,DH ⊥AE 于点H ,则有结论:△ABE ≌△BCF ≌△CDG ≌△DAH.
(二)外弦图模型:如图,在正方形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是正方形ABCD 各边上的点,且四边形EFGH 是正方形,则有结论:△AHE ≌△BEF ≌△CFG ≌△DGH.
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,分别以AB ,AC 向外作正方形ABDE ,ACFG ,连接EG ,若AB=12,BC=16,求△AEG 的面积.
变式练习>>>
1.如图,四边形ABCD 是边长为4的正方形,点E 在边AD 上,连接CE ,以CE 为边作正方形CEFG ,点D ,F 在直线CE 的同侧,连接BF ,若AE=1,求BF 的长.
注意局部弦
图
包含“一线三垂
直”
例题2. 如图,以Rt △ABC 的斜边BC 在△ABC 同侧作正方形BCEF ,该正方形的中心为点O ,连接AO.若AB=4,AO=62,求AC 的长.
变式练习>>>
2.如图,点A ,B ,C ,D ,E 都在同一条直线上,四边形X ,Y ,Z 都是正方形,若该图形总面积是m ,正方形Y 的面积是n ,则图中阴影部分的面积是___________.
例题3. 如图,在△ABC 中,∠BAC=45°,D 为△ABC 外一点,满足∠CBD=90°,BC=BD ,若=4.5ACD S △,求AC 的长.
3.点P是正方形ABCD外一点,PB=10cm,△APB的面积是60cm2,△CPB的面积是30cm2.求正方形ABCD的面积.
例题4. 在边长为10的正方形ABCD中,接有6个大小相同的正方形,P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点,如图所示,求这六个小正方形的面积.
4.如图,在平面直角坐标系中,经过点A的双曲线y=(x>0)同时经过点B,且点A在点B的左侧,点A的横坐标为,∠AOB=∠OBA=45°,则k的值为1+.
【解答】解:在△AOM和△BAN中,,
∴△AOM≌△BAN(AAS),
∴AM=BN=,OM=AN=,∴OD=+,BD=﹣,
∴B(+,﹣),∴双曲线y=(x>0)同时经过点A和B,
∴(+)•(﹣)=k,整理得:k2﹣2k﹣4=0,
解得:k=1±(负值舍去),
∴k=1+;
故答案为:1+.
达标检测领悟提升强化落实1. 如图所示,“爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,
正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,已知S1+S2+S3=10,则S2的值是.
【解答】解:将四边形MTKN的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,
∵正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,S1+S2+S3=10,
∴得出S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x,
∴S1+S2+S3=3x+12y=10,故3x+12y=10,
x+4y=,所以S2=x+4y=,故答案为:.
2. 我国古代数学家爽利用弦图证明了勾股定理,这是著名的爽弦图(如图1).它是由四个全等的直角三
角形拼成了、外都是正方形的美丽图案.在弦图中(如图2),已知点O为正方形ABCD的对角线BD 的中点,对角线BD分别交AH,CF于点P、Q.在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M,N,且MN经过点O,若MH=3ME,BD=2MN=4.则△APD的面积为5.
【解答】解:如图,连接FH,作EK∥MN,OL⊥DG
∵四边形ABCD是正方形,且BD=2MN=4
∴MN=2,AB=2
∵四边形EFGH是正方形
∴FO=HO,EH∥FG
∴∠HMO=∠FNO,∠MHO=∠NFO,且FO=HO
∴△MHO≌△FNO(AAS),∴MH=FN
∵MH=3ME,∴MH=FN=3EM,EH=EF=4EM
∴EK∥KN,EH∥FG,∴四边形EMNK是平行四边形
∴MN=EK=2,KN=EM,∴FK=2EM
∵EF2+FK2=EK2,∴16EM2+4EM2=20,∴EM=1,∴EH=4,
∵AD2=(AE+4)2+DH2,且AE=DH
∴DH=AE=2,∴AH=6
∵PH∥OL,∴,∴PH=1,∴AP=5,∴S△APD=×5×2=5
故答案为5
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接CE,BG,EG.(正方形的各边都相等,各角均为90°)
(1)判断CE与BG的关系,并说明理由;
(2)若BC=3,AB=5,则AEG面积等于6.
【解答】解:(1)如图,
∵∠EAB=∠GAC=90°,∴∠EAC=∠BAG,
在△EAC和△BAG中,,
∴△EAC≌△BAG(SAS),
∴CE=BG,∠AEC=ABG,
∵∠AEC+∠APE=90°,∠APE=∠BPC,∴∠BPC+∠ABG=90°,
∴CE⊥BG;
(2)延长GA,过E作EQ⊥AQ,
∵∠EAB=∠GAC=90°,
∴∠EAG+∠BAC=180°,
∵∠EAG+∠EAQ=180°,
∴∠EAQ=∠BAC,
∴EQ=AE•sin∠EAQ=AB•BC=3,
∵BC=3,AB=5,
∴AC==4,
∴AEG面积=AG•EQ=×4×3=6.