第3章 连续系统仿真方法

变步长法要求进行附加运算，以估计积分的误差并调整步长。
在多数情况下，假设具有同样的积分误差，变步长仿真的时间小于固定步长的仿真时间。
变步长法不适用于实时仿真。
3.2.2.4仿真算法的选择与比较
算法的误差和稳定性
仿真算法主要包括两种误差：截断误差、舍入误差。
截断误差：基于台劳展开公式的数值计算方法都存在截断误差，一般差分公式若局部截断误差为 ，则称有r阶精度，即方法是念。
所谓稳定性是指误差的积累是否受到控制的问题。如果在每步计算过程中，前面积累的舍入误差对实际误差的影响是减弱的，则计算方法是稳定的；反之，则可能由于误差的恶性增长而变得不稳定。如果计算过程发生不稳定情况，计算结果将失去意义。
通常，用试验方程：
来判断积分算法的稳定性。若积分公式为：
•对于低精度问题：可采用欧拉法；
•要提高精度：可减小步长，但增加了计算量和舍入误差。
•因而采用高阶算法，如：4阶R-K法
用数字仿真的方法对微分方程的数值积分是通过某种数值计算方法来实现的。任何一种计算方法只能是原积分的一种近似。
因此，连续系统仿真，从本质上是从时间、数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，由此得到离散模型来近似原连续模型。
如何保证离散模型的计算结果从原理上确能代表原系统的行为，这是连续系统数字仿真首先必须解决的问题。
计算精度和速度是常见的一对矛盾，也是数字仿真重要解决的问题之一。
3.2连续系统仿真算法
3.2.1线性连续系统仿真算法
3.2.1.1线性连续系统数学模型的几种表示方法
⑴高阶微分方程
⑵传递函数
⑶状态方程
⑴、⑵只能给出输入输出的关系，⑶可描述中间的状态。
以上只是对SISO系统。
对于MIMO系统：分别为微分方程组，传递函数阵，状态方程。
相似原理（两个模型等价）：
完全保证全为零是很困难的。
分析离散化引入的误差：
随着计算机技术的发展，计算机字长引入的舍入误差可以忽略，关键是数值积分算法，也称为仿真算法引入的误差。
相似原理用于仿真时，对仿真算法有三个基本要求：
稳定性：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的；
准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的是：
第3章、连续系统仿真方法
3.1离散化原理及要求
在数字计算机上仿真：数字计算机的数值及时间均具有离散性，而被仿真的系统的数字及时间均具有连续性。后者如何用前者来实现？
从根本意义上讲，数字计算机所进行的计算仅仅是“数字”计算，它表现的数值的精度受限于字长，这将引入舍入误差；另一方面，这种计算是按指令一步一步进行的，因而，还必须将时间离散化，这样就只能得到离散时间点上系统的（离散数值）状态（性能）。
（与控制系统稳定、采样定理之间有何关系？）
仿真算法和步长的选择
在应用算法之前，首先要决定：
采用哪一种方法
确定方法的阶
确定步长
以减少仿真计算量，达到节省仿真时间的目的。
对于一般的非线性连续系统仿真（不包括病态、间断或实时问题），若方程右函数比较简单，则采用单步法。
优点：自动起步，容易实现，使用起来较方便。
龙格-库塔法的截断误差为步长的n+1次方（n为算法的阶数）。
对于1—4阶R-K法，每积分一步所需右函数值的计算次数等于阶数，而对大于4阶的方法，右函数的计算次数要大于阶数，使积分工作量大大增加，所以通常只使用4阶或4阶以下的方法。
二阶R-K法：
与梯形法的区别？
四阶R-K法：
3.2.2.3亚当姆斯法
线性多步法：在利用多步法求yn+1时，必须已知除yn外前几步的值，例如：
绝对误差准则：
相对误差准则：
-表示规定的误差量
快速性：数字仿真是一步一步推进的，每一部的计算时间决定了仿真速度。
连续系统数字仿真算法：
数值积分方法：单步、多步
离散相似方法：适用范围较窄
数值积分方法采用递推方式进行计算，不同的方法会引进不同的计算误差；为了提高计算精度，会增加运算量。对同一种积分方法，为提高计算精度，可减小积分步距，但又降低了计算速度。
3.2.2.4变步长法
上述方法通常在仿真前要选择积分步长，一般假设步长是固定的。
在仿真运行过程中也可以动态调整积分步长。但要动态调整步长需要在仿真过程中能估计积分误差，同时对积分步长的调整能使误差保持在规定的范围内。采用这种方法的积分算法称为变步长算法。
当使用变步长法时，仿真时间依赖于被仿真系统的动态行为。当状态变量变化缓慢时，步长可以取得大一些，以减少计算时间；当瞬态或状态变量变化很快时，步长可以选得小一些，但仿真时间较长。
方法的阶数可以作为衡量算法精度的一个标志。
截断误差的阶次越高，其求解的精度越高，不同算法的截断误差：
欧拉法
梯形法
四阶龙格库塔法
亚当姆斯法
舍入误差：
由计算机的有限字长引起。
舍入误差会积累，随着积分时间的增加和积分法阶次的增高而增加，并且随着积分步长的减小而变得更加严重，原因是对于给定的积分时间，使用更小的步长就意味着更多的积分步数。
3.2.1.2线性连续系统仿真算法
线性状态方程的离散化
以上只是线性时不变连续系统的数字仿真算法-离散相似法
3.2.2 非线性连续系统仿真算法
一般非线性连续系统的数学模型为：
这类连续系统的仿真算法是基于常微分方程的数值积分法。
3.2.2.1欧拉法
3.2.2.2龙格-库塔法
属于单步法，利用右函数f的线性组合来代替f导数的计算，从而得到高阶的方法，一般形式为：
yn，yn-1，……,yn-K+1,称为K步法。
多步法不能自己起步，在使用其它方法求出y1，y2，yK-1后，才能用其求解，常用的亚当姆斯方法的形式为：
通常用迭代方法求解隐式方程，隐式增加了计算量，但稳定域大于显式公式，而且对于同阶的亚当姆斯方法，隐式公式的精度往往要高于显式公式，所以往往采用折衷的办法，即：
则当差分方程满足稳定条件 时，算法才是稳定的。
分析几种积分公式：
欧拉法： ，应用于试验方程
稳定的条件是：
稳定性与系统的特征值和步长有关
分析后可知：
除隐式一阶、二阶亚当姆斯法为恒稳法外，其它方法都是条件稳定的。
除恒稳法外，其它方法的积分步长都应限制在最小时间常数的数量级。
对于R-K法，阶次增大则稳定域略微增大；对亚当姆斯法，阶次增大则稳定域反而缩小。