在无阻尼自由振动中,位移、加速度和惯性力都按 正弦规律变化,且作相位相同的同步运动,即它们在同 一时刻均达极值,而且惯性力的方向与位移的方向一致。 (3)简谐自由振动的特性 它们的幅值产生于 sin(t ) 1 时,其值分别为: y A 0 A y 0 2 FI0 mA 2 2 y y 0 为什么要讨 论这种简单 模型? 这种理想情况所得到的某些结果,可以相当精确地反映实际 结构的一些动力特性;可以与有阻尼情况加以对比,以便更好地 了解阻尼的作用。 (1)方程的解 k m 2 y 0 y 2 通解 代入初始条件 得动位移为 y C1 cost C2 sin t y 0 y0 y 0 v0 y (t ) y 0 cost v0
sin t (1)方程的解 y(t ) y0 cost v0
sin t y(t ) A sin t 振幅 (amplitude of vibration) A y0 2 0 y v0 2 = y0 m 2 k 0
k m 练习 1. 计算图示结构的自振频率。 m l /2 EI l /2 l /2 m EI l /2 m l /2 EI l /2 ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 ׃1.512 ׃2 结构约束越强,其刚度越大;刚度越大,其自振动频率也越大。 2. 求图示体系的自振频率。 g y st y st m T 2 2 k g 频率只取决于体系的质量和刚度,而与外界因素 无关,是体系本身固有的属性,所以又称为固有频率 (natural frequency)。 (3)简谐自由振动的特性 y(t ) Asin( t ) (t ) A 2 sin(t ) y 加速度为: 惯性力为: FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
-y T t
v sin t T t 0 A sin t -A (2) ※结构的自振周期和圆频率 (natural period and natural circular frequency ) 周期 完成一次振动需要的时间 T 2
频率 单位时间内完成振动的次数 既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态,在幅 值出现时间也一样,于是可在幅值处建立运动方程, 此时方程中将不含时间 t ,这样就把微分方程转化为 代数方程了,使计算得以简化。 例题 例1 求图示伸臂梁体系的自振频率和周期 EI m 解 (1) 静定梁,采用柔度法 (2) 画质体单位力下的弯矩图。 l l/2 l/2 1 m/2 EI EI EI m l 2 l3 11 3 EI
l 1 3 2l 3 m 2 3EI EI ml 3 3. 质点重W,求图示体系的自振频率。 k11 k EI k 3EI l3 l m W / g 3EI k 3 l g W 4. 求图示体系的自振频率。 m EI EI1=∞ EA l 2 2 初始相位角 y0 y0 arctan =arctan y v 0 0 y(t ) A sin t y y
T t 0 y cos t 振动将以 y 一个连续地 v 定常幅度振 0 动。经过一 v y 固定时段又 恢复原运动 A 状态。 1 f 2 T 圆频率 2π个单位时间内完成振动的次数,或单位时间内转的周数 2 2 f T (2) ※结构的自振周期和圆频率 (natural period and natural circular frequency ) ? ? ? k 1 g m m W 特征根 一般解 2 2 2 0 第二章 单自由度体系的振动 2.2 单自由度体系的自由振动 Free Vibration of Single Degree of Freedom Systems 1. 无阻尼自由振动 cy ky FP (t ) m y ky 0 m y k m 2 c =0, FP(t)=0 B EI= l C 3 A l /2 k l /2 D m1 B
k C FI0 1 FS m2 FI02 l 3 FI02 l FS l 0 2 2 l 2 0 2 FI 1 m1 A1 m 2 m 3l l 2 2 2 FI 2 m 2 A2 m 3 2 2 FS kl FI0 1 (3) 弯矩图自乘,求柔度系数。 l3 l 2 l 1 l l 2 l 1 l EI 2 3 2 2 2 2 3 2 8 EI 2 (4) 8 EI ml 3 T 2 ml 3 8EI 例2 求图示单层刚架的自振频率和周期 m EI1=∞ EI EI 体系 1 h 6i/h 6i/h 单位侧移时的弯矩图 1 k 12i/h2 12i/h2 1 1 k 隔离体 解 (1) 超静定刚架,采用刚度法 (2) 画质体发生单位位移时的弯矩图。 2 k 24 i h (3) 取隔离体,列平衡方程,求刚度系数 (4) 24 iΒιβλιοθήκη Baidumh2 T 2 mh2 24i 例3 求图示体系的自振频率 解:在振幅处列平衡方程 1 m2 m m1 m MB 0 2. 有阻尼自由振动 cy ky FP (t ) m y FP(t)=0 cy ky 0 m y k c , 2 m m 2 2y y 0 y 2 2. 有阻尼自由振动 2 y 2y y 0 特征方程