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定理的应用举例
例1 已知, 75 45 CD=20m
求AB
A
B
C
D
例2
在ABC中，已知 A 450 , a 2, b 3, 求B
变式：
B=60°或120° B=30°
(1)在ABC中，已知 A 450 , a 6, b 3, 求B 6 , b 3, 求B 2
小结:
正弦定理
主要应用 (1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。
a b c sin A sin B sin C
课后探究: （1）解三角形什么时候一解，
两解，无解 a b c k （ 2） sin A sin B sin C 那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?
所以 a sin B b sin A
得到 a b sin A sin B
B
D
A
c
b c 同理, 作AE BC .有 sin B sin C a b c sin A sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角
a b c sin A sin B sin C
已知三角形中的哪些元素，可以利用正弦定理 解三角形： ① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
台风中心位于某沿海城市正东方向 240 3 km处， 正以60km/h的速度向北偏西60度方向移动，距 离台风中心240km范围内将会受其影响。如果台 风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？ 已 知：
AB 240 3km AC 240km CBA 30
A
C
B
求 BC
台风中心位于某沿海城市正东方向 240 3 km处， 正以60km/h的速度向北偏西60度方向移动，距离 台风中心240km范围内将会受其影响。如果台风 风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？ 这种影响持续多长时间？
C
A
250 3
B
北
东
C2
C1
A B
北
东
C2
C1
A B
定理证明：
下图中CD为三角形ABC的高，用向量怎 C 么表示呢？
a
B D
bຫໍສະໝຸດ Baidu
A
得到
a b sin A sin B
当 ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C
b
a
D
B
c
A
当 ABC是锐角三角形时,结论是否还成立呢? 如图:作AB上的高是CD,根椐 C 三角形的定义,得到 E b a CD a sin B, CD b sin A
sin C 1
a b c sin A sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
这么优美的等式对直角三角成立，
对斜三角形是否成立呢？
合作学习：
a b c 证明： sin A sin B sin C
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
(2)在ABC中，已知A 450 , a
B=90°
1 （3） (2)在ABC中，已知A 45 , a , b 3, 求B 2
0
无解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
1、A+B+C=π 2、大角对大边，大边对大角 3、A为三角形的内角，则 0 sin A 1
A
B
C
D
A
B
75
45
C
20m
D
一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形
直角三角形的边与角之间有什么数量关系?
a sin A c
b sin B c
B c a
A
b C
a b c sin A sin B
