(习题课2)--随机变量及其分布

1 p
b.二项分布:
P{ X k} Cnk p k (1 p) nk , k 0,1， n.
P( X k )
c.泊松分布:
k
k!
e , k 0,1,2...
注1：对于离散型分布，分布律与分布函数之间是互相唯一确定（其中分布函数是一个分 段函数），而分布律的表达更加方便，所以对于离散分布而言，一般！不要求写出分布函 数只写出分布律（列）即可。 注2：a.实际应用中：当n较大,p较小（小于等于0.05），np适中时（大于等于20），可用 泊松公式近似代替二项概率公式。
7.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ 2），若要求 P{120＜X≤200}≥0.8，允许σ 最大不超过多少？
1 , x (1) F ( x) 1 x 2 , 8.设随机变量X的分布函数为： (2), x (3)
试确定(1),(2),(3)项.
X
(x)
fY (y), 当
fY ( y) f X [(G( y)] G( y)
其中 x G( y) 为 y g ( x) 的反函数
注1：特别地，正态分布的线性函数仍为正态分布.
五、习题
注：本章习题分布为，（1-4）关于离散型分布的性质和计算，其中（4）同时考察了二项分布的泊 松逼近；（5-8）关于连续型分布的性质和计算，其中（7）考察了正态分布的标准化；（9-12）关 于随机变量的函数分布,9考察了离散情形，10、11、12考察连续情形。（主要关注解题步骤和方法）
1.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样， 以 X表示取出的次品个数，求： (1)X的分布律； (2)X的分布函数并作图； 1 3 3
P( X ); P(1 X ); P(1 X ); P(1 X 2) 。 2 2 2 (3)计算
2.（1）设随机变量X的分布律为
X
9.设随机变量X的分布律为
-2 1/5
-1 1/6
0 1/5
1 1/15
3 11/30
Pk
求Y=X2的分布律.
10.设随机变量X的概率密度为
x, f ( x ) 2 x , 0,
0 x 1, 1 x 2, 其他.
求X的分布函数F(x)。
11.设随机变量X的密度函数为
F ( x) 0, e.0≤ F(x) ≤1, 且 F () xlim
F () lim F ( x) 1。
x
二.离散型分布
1.定义：设离散型随机变量的所有可能取值是有限集或者可数集。
PX xk pk
2.常见离散型分布 a.二点分布：
X P
0 1－p
一、分布函数
1. 定义：设X为一随机变量,则对任意实数x，(X≤x)是一个随机事件，称 F(x)=P(X<=x)为随机变量X的分布函数。 2.分布函数的性质： a.P(X>b)=1- P(X≤b)=1 - F(b) b.P(a<X≤b)=F(b) - F(a) c.F(x)是单调不减函数。 d.F(x)右连续。
若X ~ 定理2： N( , ), 则Y
2
P( X b) (
b

) (
a

)
X

~ N(0,1)，即标准正态分布 。
四、连续型随机变量的函数的分布
问题：设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)；y = g(x)为一个连 续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数。
a
b
则称X为连续型随机变量， f (x) 度函数.
称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密
x
分布函数 ： F ( x)


f (t )dt
性质2： a非负性: b规范性:
f ( x) 0, x (, )



f ( x)dx 1
c: P ( a x b) F (b) F ( a )
e x , x 0, f ( x) 0, x 0.
2x , f ( x) 2 0, 0 x 其他
求随机变量Y=eX的密度函数fY(y)。 12.设随机变量X的密度函数为f(x)设随机变量X的密度函数为
试求Y=sinX的密度函数。
参考解答（完成之后再参考！若解答有错误请自己悄悄更正）：
方法1：
(1) 求Y的分布函数 FY(y)
FY ( y)
根据分布函数的定义
P(Y y ) P( g ( X ) y)
P ( X x g ( x) y)
(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
fY ( y) FY ( y)
方法2：
定理：若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分别为 f g(x) 是严格单调函数，则：
P ( a X b) P ( a X b) P ( a X b) P ( a X b)
注3：思考：想一想为何以上d条中要求f(x)连续？不连续是否也满足？答案是肯定的！那 么f(x)的连续性起什么作用？
2.常见连续型分布
a.均匀分布 概率密度
1 a xb f ( x) b a 0 其它
e.正态分布的标准化计算
定理1： 如果
x X ~ N ( , ), 则 F ( x)
2
P ( a X b) (
b
) a ) P( X a ) 1 (
( x) 1 ( x); 这些公式常用于计算。

b
a
f ( x)dx
d概率密度与分布函数的关系:
若f ( x)在x处连续，则F ( x) f ( x)
注1：对于连续型随机变量而言，由于在任意单点出的概率为0(P(x=a)=0)，故分布规律 无法用类似离散分布列出所有点的概率来描述，必须求出具体的概率密度或分布函数的 表达式。 注2：由上一条单点处的概率为0，可以得到对于连续型分布而言，随机变量落在某区间 的概率与区间的断点是否取到无关，即：
5.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|,-∞<x<+∞,求：（1）A值；(2)F(x) 6.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 100 , x 100, f ( x) x 2 0 , x 100. 求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）.
k k Cn p (1 p ) n k
k
k!
e , np.
b.实际应用中，当p接近1/2时，上述方法不能用，此时可以近似用正态分布代替进 行计算。
三、连续型分布
1.定义：设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
P{a x b} f ( x)dx
分布函 数
xa 0, xa F ( x) , a xb ba b x 1,
b.指数分布
概率密度
e f ( x) 0
x
x0 ( 0为常数） x0
分布函 数
x0 0 , F ( x) x 1 e , x 0
c.正态分布
P ( k ) a
k
k!
其中k=0，1，2，…，λ ＞0为常数，试确定常数a.
3.设
k k m m P{ X k} C2 p (1 p ) 2 k , k 0,1,2; P{Y m} C4 p (1 p ) 4 m , k 0,1,2,3,4.
分别为随机变量X,Y的分布律，如果已知P(X>=1)=5/9,试求P(Y>=1). 4.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且 设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机 需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
拐点：
1 f最大 （） 2
d.标准正态分布 0 1
(0) 0.5
概率密度
1 ( x) e 2
( x)
x
x2 2
分布函 数
1 e 2
x2 2
dx
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注：这里单独列出标准正态分布。 一方面：是由于在应用时，标准正态分布的使用要更方便，它的分布函数在每点的值 都可以通过已知的表得到。 另一方面是：每一个正态分布都可以标准化，归结到标准正态分布上。
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
解： 当y 1时，FY ( y) P(Y y) 0
当y 1时，FY ( y ) P(Y y ) P(e X y ) P( X ln y ) 1 e dx 1 y 0
x lny
概率密度
1 f ( x) e 2
F ( x)
x
( x )2 2 2
, 0、为常数。
分布函 数

1 e 2

( x )2 2
2
dx
性质：对称性: 关于 x = 对称。 单调性： （- ，）递增，（，+ ）递减。
1 1 ( , e 2) , 2
1 1 , y 1 故，FY ( y ) y 0, y 1
1 2 , y 1 所以，fY ( y ) y 0, y 1
12.
解： 当y 0时，FY ( y) P(Y y) 0