教学课题必修一第一章集合与函数的概念
一、知识框架
1.1集合概念与运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R
2.集合间的基本关系
关系自然语言符号语言Venn图
子集集合A中所有元素都在集合B
中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集集合A是集合B的子集，且集
合B中至少有一个元素不在集
合A中
A B(或
B A)
集合相等集合A，B中元素相同或集合A，
B互为子集
A＝B
3.集合的运算
集合的并集集合的交集集合的补集图形
符号
A∪B＝{x|x∈A或
x∈B}A∩B＝{x|x∈A且
x∈B}
∁U A＝{x|x∈U，且
x∉A}
2n
f x，n∈N*
1
f x与[f(x)]
tan f(x)f(x)≠kπ＋π
2，k∈Z
f(g(x))(f(x)定义域为[a，
b])
a≤g(x)≤b的解集
四则运算组成的函数各个函数定义域的交集
实际问题使实际问题有意义
3.函数解析式的求法
求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．
1.3函数的基本性质
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，
那么就说函数f(x)在区间D
上是增函数
当x1<x2时，都有
f(x1)>f(x2)，那么就说函数
f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件(1)对于任意x∈I，都有
f(x)≤M；
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
∴f (x )＝2x ＋7. 思维升华 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；
(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式
组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
例3、(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－1
4 B ．a ≥－1
4 C ．－1
4≤a <0
D ．－1
4≤a ≤0
(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧
2－a x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有
f
x 1
－f x 2
x 1－x 2
>0成立，那
么a 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[3
2，2)
解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－1
4≤a <0. 综合上述得－1
4≤a ≤0.
(2)由已知条件得f (x )为增函数，
∴⎩⎨⎧
2－a >0，a >1，
2－a ×1＋1≤a ，
解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[3
2，2)．。
