第8讲 一次函数的图象与性质
考点·方法·破译
1.一次函数及图象:
⑴形如y =kx +b (k ,b 为常数,且k ≠0),则y 叫做x 的一次函数,当b =0,k ≠0时,y 叫做x 的正比例函数. ⑵正比例函数y =kx (k ≠0)的图象是经过(0,0),(1,k )两点的直线,一次函数y =kx +b (k ≠0)是经过(0,b )、(-k
b ,0)两点的直线. 2.一次函数的性质:
当k >0时,y 随自变量x 的增大而增大;当k <0时,y 随x 的增大而减小.
3.函数y =kx +b 中的系数符号,决定图象的大致位置的增减性.
经典·考题·赏析
【例1】(山东)函数y =ax +b ①和y =bx +a ②(ab ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
【解法指导】A 中①a >0,b >0,②b <0,a <0矛盾.B 中①a <0,b <0,矛盾.C 中①a >0,b >0②b >0,a =0矛盾.D 中①a >0,b <0②b <0,a >0,故选D .
【变式题组】
01.(河北)如图所示的计算程序中,y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为( )
02.(安徽)已知函数y=kx+b的图象如左图,则y=2kx+b的图象可能是()
03.下列图象中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、n为常数,则mn≠0)的图象是()
【例2】(绍兴)如图,一次函数y=x+5的图象经过点P(a,b)和Q(c,d)则a(c-d)-b(c-d)的值为_______.
【解法指导】因为点P (a ,b ),Q (c ,d )在一次函数图象上,∴b =a +5,d =c +5∴a -b =-5,c -d =-5,a (c -d )-b (c -d )=(c -d )(a -b )=(-5)×(-5)=25
【变式题组】
01.如图一条直线l 经过不同三点A (a ,b ),B (b ,a )C (a -b ,b -a )则直线l 经过( )
A .第二、四象限
B .第一、三象限
C .第二、三、四象限
D .第一、三、四象限
02.(南京市八年级竞赛试题)已知三点A (2,3),B (5,4)C (-4,1)依次连接这三点,则( )
A .构成等边三角形
B .构成直角三角形
C .构成锐角三角形
D .三点在同一条直线上
03.(四川省初二数学联赛试题)已知一次函数y =ax +b 的图象经过点(0,1),它与坐标轴围成的图是等腰直角三
角形,则a 的值为_______.
【例3】如图,已知正方形ABCD 的顶点坐标为A (1,1)、B (3,1)、C (3,3)、D (1,3),直线y =2x +b 交AB 于点E ,交CD 于点F .直线与y 轴的交点为(0,b ),则b 的变化范围是_____.
【解法指导】直线y =2x +b 是平行于直线y =2x 的直线,当直线经过B 点时,b 最小,当x =3时,y =1
∴1=2×3+b , b =-5
当直线经过D 点时,b 最大,
所以当x =1时,y =3
∴3=2×1+b , b =1
∴-5≤b ≤1
【变式题组】
01.线段y =-2
1x +a (1≤b ≤3),当a 的值由-1增加到2时,该线段运动所经过的平面区域的面积为( ) A .6 B .8 C .9 D .10
02.(新知杯上海)在平面直角坐标系中有两点P (-1,1),Q (2,2),函数y =kx -1的图象与线段PQ 延长线相交
(交点不包括Q ),则实数k 的取值范围是_________.
03.(济南)阅读下面的材料:在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定
的两条直线,给出它们平行的定义:设一次函数y =k 1x +b 1(k 1≠0)的图象为直线l 1,一次函数y =k 2x +b 2(k 2≠0)的图象为直线l 2,若k 1= k 2,且b 1=b 2,我们就称直线l 1与直线l 2平行.解答下面的问题:
⑴求过点P (1,4)且与已知直线y =-2x -1平行的直线l 的函数表达式,并画出直线l 的图象;
⑵设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ,如果直线m :y =kx +t (t >0)与直线平行且交于x 轴于点C ,求出△ABC 的面积S 关于t 的函数关系式.
【例4】已知一次函数y =kx +b ,当自变量取值范围是2≤x ≤6时,函数值的取值范围5≤y ≤9.求此函数的解析式.
【解法指导】⑴当k >0,y 随x 的增大而增大,∴y =kx +b 经过(2,5),(6,9)两点
∴???=+=+9652b k b k ∴???=-=3
1b k ,∴y =x +3
⑵当k <0,y 随x 的增大而减小,∴y =kx +b 经过(2,9),(6,5)两点
∴???=+=+5692b k b k ∴?
??-=-=111b k ,∴y =-x +11 ∴所求解析式为y =x +3或y =-x +11
【变式题组】
01.已知一次函数y =kx +b ,当-3≤x ≤1时,对应y 的值为1≤y ≤9,则kb 的值为( )
A .4
B . -6
C .-4或21
D .-6或14
02.(遂宁)已知整数x 满足-5≤x ≤5,y 1=x +1,y 2=2x +4,对任意一个x ,m 都取y 1,、y 2中的最小值,则m
的最大值是( )
A .1
B . 2
C .24
D .-9
【例5】如图,直线y =-5x -5与x 轴交于A ,与y 轴交于B ,直线y =kx +b 与x 轴交于 C ,与y 轴交于B 点,CD ⊥AB 交y 轴于E .若CE =AB ,求直线BC 的解析式.
【解法指导】由CE =AB ,CD ⊥AB 可得△AOB ≌△EOC ,因而OB =OC 而y =-5x -5与y 轴交于B
∴B (0,-5)
∴C (5,0),而直线BC 经过(0,-5),(5,0)可求得解析式y =x -5
【变式题组】
01.如图,在平面直角坐标系中,点P (x ,y )是直线y =-x +6第一象限上的点,点
A (5,0),O 是坐标原点,△P AO 的面积S .
⑴求S 与x 的函数关系式,并写出x 的取值范围;
⑵探究:当P 点运动到什么位置时△P AO 的面积为10.
02.如图,直线l :y =-2
1x +2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,在y 轴上有一点C (0,4),动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动.
⑴求A 、B 两点的坐标;
⑵求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式;
⑶当t 为何值时,△COM ≌△AOB ,并求此时M 点的坐标.
03.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=kx+b经过A(0,2)、B(4,2)两点.
⑴求直线AB的解析式;
⑵点C的坐标为(0,1),过点C作CD⊥AO交AB于D. x轴上的点P和A、B、C、D、O中的两个点所构成
的三角形与△ACD全等,这样的三角形有_____个,请子啊图中画出其中两个三角形的示意图.
【例6】如图,已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B.另一条直线y=kx+b(k≠0)经过(1,0),且把△AOB分成两部分.⑴若△AOB被分成的两部分面积相等,求k和b的值;⑵若△AOB被分成的两部分的面积比为1:5,求k和b的值.
【解法指导】欲求k 和b 的值,需知道直线y =kx +b (k ≠0)经过两已知点,而点C (1,0)在直线上,因而只需求出另一点的坐标即可.
解:⑴由题意得(2,0)、B (0,2),∴C 为OA 的中点,因而直线y =kx +b 过OA 中点且平分△AOB 的面积时只可能韦中线BC .
∴y =kx +b 经过C (1,0),(0,2)
∴?
??=+=b b kx 20∴k =2 b =2 ⑵①设y =kx +b 与OB 交于M (0,t )则有S △OMC =S △CAN ,∴MN ∥x 轴,∴N (34,3
2) ∴直线y =kx +b 经过34,32),(1,0)∴?????=+=+0
3234b k b k ∴???-==22b k 【变式题组】
01.如图,在平面直角坐标系xOy ,已知直线AC 的解析式为y =-2
1x +2,直线AC 交x 轴于点C ,交于y 轴于点A .
⑴若一个等腰直角三角形OBD 的顶点D 与点C 重合,直角顶点B 在第一象限内,请直接写出点B 的坐标; ⑵过点B 作x 轴的垂线l ,在l 上是否存一点P ,使得△AOP 的周长最小?若存在,请求出点P 的坐标;若不
存在,请说明理由;
⑶试在直线AC 上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标.
02.(浙江杭州)已知,直线y =-13
3+x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,以线段AB 为直角边的第一象限内作等腰Rt △ABC ,90=∠BAC °,且点P (1,a )为坐标系中的一个动点.
⑴求三角形ABC 的面积S △ABC ;
⑵证明不论a 取任何实数,三角形BOP 的面积是一个常数;
⑶要使得△ABC 和△ABP 的面积相等,求实数a 的值.
演练巩固·反馈提高
01.(芜湖)关于x 的一次函数y =kx +k 2
+1的图象可能正确的是( )
02.一次函数y =kx -b 和正比例函数y =kbx 在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是()
03.一次函数y =(m -1)x +m 2+2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3,则m 的值是()
A . 5±
B .1±
C .-1
D .-2
04.直线y 1=kx +b 过第一、二、四象限,则直线y 2=bx -k 不经过()
A . 第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
05.已知一次函数y =(1-2m )x +m -2,函数y 随着x 的增大而减小,且其图象不经过第一象限,则m 的取值范
围是( )
A .m >21
B .m ≤2
C .21<m <2
D . 2
1<m ≤2 06.如图,点A 、B 、C 、D 在一次函数y =-2x +m 的图象上,它们的横坐标依次为-1,1,2,分别过这些点作x
轴与y 轴的垂线,则图中阴影部分的面积之和是( )
A . 1
B .3
C .3(m -1)
D . 23
(m -2)
07.(绍兴)如图,在x 轴上有五个点,它们横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线
y =ax ,y =(a +1)x ,y =(a +2)x 相交,其中a >0,则图中阴影部分的面积是( )
A . 12.5
B .25
C .12.5a
D . 25a
08.(重庆)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =1,动点P 从点B 出发,沿路线B →C →D 作匀速运动,那么△
ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是( )
09.(日照)如图,点A 的坐标为(-1,0),点B 在直线y =x 上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标为( )
A .(0,0)
B .(22,-22)
C .(-21,-21)
D .(-22,-2
2) 10.(义务)李老师给出了一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲:它的图象经过第一象
限;乙:它的图象经过第二象限;丙:在第一象限内函数值y 随x 增大而增大.在你学习的函数中,写出一个满足上述特征的函数解析式_________.
11.观察下列各直角坐标系中的直线AB ,点P (x ,y )是线段AB 上的点,且x 、y 都是整数,请根据图中所包含的
规律,回答下列问题:
⑴第5个图中满足条件的点P 个数是_______;
⑵第n 个图中满足条件的点P 个数m 与n 之间的关系是________.
12.(十堰)直线y =kx +b 经过点A (-2,0)和y 轴上的一点B ,如果△ABO (O 为坐标原点)的面积为2,则b 的
值为________.
13.如图,长方形OABC 的顶点B 的坐标为(6,4),直线y =-x +b 恰好平分长方形的面积,则b =_______.
14.如图,点B 、C 分别在两条直线y =2x 和y =kx 上,点A 、D 是x 轴上两点,已知四边形ABCD 是正方形,则k
=______.
15.(东营)正方形A 1B 1C 1O 1,A 2B 2C 2C 1,A 3B 3C 3C 2,…按如图所示的方式放置.点A 1,A 2,A 3,…和C 1,C 2,C 3,…分别在
直线y =kx +b (k >0)和x 轴上,已知点B 1(1,1),B 2(3,2)则B n 的坐标是________.
16.点P 为直线y =-3x +6上的一点,且点P 到两坐标轴距离相等,则P 点坐标为_____.
17.已知直线y 1=x ,y 2=31x +1,y 3=-5
4x +5的图象如图所示,若无论x 取何值,y 总取y 1、y 2、y 3中最小的值,则y 的最大值为_______. 18.已知一次函数y =kx +b 的图象经过点P (0,-3),且与函数y =
21x +1的图象相交于点A (a ,38). ⑴求a 的值;
⑵若函数y =kx +b 的图象与x 轴的交点是B ,函数y =
2
1x +1的图象与y 轴的交点是C ,求四边形ABOC 的面积(其中O 为坐标原点).
19.定义[]q p ,为一次函数y =px +q 的特征数.
⑴求一次函数y =-2(x -1)的特征数;
⑵若特征数是[]2,2-k 的一次函数为正比例函数,求k 的值.
20.已知:三点A (a ,1)、B (3,1)、C (6,0),点A 在正比例函数y =21x 的图象上. ⑴求a 的值;
⑵点P 为x 轴上一动点,当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时,求点P 的坐标;
21.已知直线ln :y =-n n 1+x +n
1(n 是正整数).当n =1时,直线l 1:y =-2x +1与x 轴和y 轴分别交于点A 1和B 1.设△A 1OB 1(O 是平面直角坐标系的原点)的面积为s 1.当n =2时,直线l 2:y =-2
123+x 与x 轴和y 轴分别交于点A 2和B 2,设△A 2OB 2的面积为s 2,…,依次类推,直线l n 与x 轴和y 轴分别交于点A n 和B n ,设△A n OB n 的面积为S n .
⑴求△A 1OB 1的面积s 1;
⑵求s 1+s 2+s 3+…+s 2010的值.
22.(长沙)在平面直角坐标系中,一动点P (x ,y )从M (1,0)出发,沿由A (-1,1),B (-1,-1),C
(1,-1),D (1,1)四点组成的正方形边线(如图①)按一定方向运动.图②是P 点运动的路程s (个单位)与运动时间t (秒)之间的函数图象,图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分.
⑴s 与t 之间的函数关系式是:_________; (2)与图③相对应的P 点的运动路径是:________;P 点出发 _______秒首次到达点B ;
⑶写出当3≤s ≤8时,y 与s 之间的函数关系式,并在图③中补全函数图象.
培优升级·奥赛检测
01.已知abc ≠0,且b
a c a c
b
c b a +=+=+=t ,则直线y =tx +t 一定通过( ) A .第一、二象限 B .第二、三象限 C .第三、四象限 D .第一、四象限
02.一个一次函数的图象与直线y =x 45+4
95平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(-1,-25),则在线段AB 上(包括端点A 、B )横坐标、纵坐标都是整数的点有( )
A .4个
B .5个
C .6个
D .7个
03.在一次函数y =-x +3的图象上取点P ,作P A ⊥x 轴,PB ⊥y 轴,垂足分别为A 、B ,长方形OAPB 的面积为2,
则这样的点P 共有( )
A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
04.在直角坐标系中,x 轴上的动点M (x ,0)到定点P (5,5),Q (2,1)的距离分别为MP 和MQ ,若MP +
MQ 取最小值,则点M 的坐标为________.
05.已知点A (0,2)、B (4,0),点C 、D 分别在直线x =1与x =2上运动,且CD ∥x 轴,当AC +CD +DB 的值最
小值,点C 的坐标为_____________.
06.在直角坐标系中,有两个点A (-8,3)、B (-4,5)以及动点C (0,n )、D (m ,0).当四边形ABCD 的周长
最短时,n
m 的值为_________. 07.已知函数y =(a -2)x -3a -1,当自变量x 的值范围为3≤x ≤5时,y 既能取到大于5的值,又能取到小于3
的值,求实数a 的取值范围.
08.(荆州市八年级数学联赛试题)已知一次函数y =ax +b (a 为整数)的图象过(98,19),它与x 轴的交点为(p ,
0),与y 轴的交点为(0,q ),若P 为质数,q 是正整数,问符合条件的一次函数是否存在?若存在,求出解析
式;若存在,说明理由.
09.若直线y=mx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形面积为12,求m.
10.设f(x)=kx+1是x的函数,若m(k)表示函数f(x)=kx+1在1≤x≤3条件下的最大值,求函数m(k)的解析式,并作出图象.