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如何用导数解决含参函数的单调性问题
余铭战
(福建省永春第一中学 362601)
1 提出问题
我们在解决单调性问题中,常常遇到一类含有
参数的函数(简称含参函数)在某区间单调问题:
问题1 已知函数f(x)=1
3x3-
1
2
ax2+(a-
1)x+1在(1,4)内是减函数,在(6,+∞)内是增函数,求a的取值范围.
问题2 如果函数f(x)=1
2
(a-1)x2+ax在(1,3)上为增函数,求实数a的取值范围.
问题3 (2005年湖南,理21(Ⅰ))已知函数
f(x)=ln x,g(x)=1
2
ax2+bx,a≠0.若b=2,且
h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
问题4 (2005年湖南,文19)设t≠0,点P(t, 0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.
(Ⅰ)用t表示a,b,c;
(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围.
上述问题是逆向单调性问题.
2 探究问题
在逆向解决单调性时,至少应考虑题设成立的必要条件.而在教材[1]中对函数的单调性是这样描述的:“一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x) <0,则f(x)为减函数.”它给复杂函数单调性的判断带来了极大方便,但它给出的只是单调性的充分条件.如函数f(x)=x3的单调性,由单调性的定义,易证f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,而由导数得f′(x)=3x2≥0.这说明如果要使函数严格单调的话,导函数在某些点可以取零,但取零的点必须是离散的才行,否则只能说它是不严格单调.在教材[1]中还有:“如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数”,又由于“常数的导数为0”,因而它给出了函数在某个区间为常数函数的充要条件.这说明f′(x)=0在某区间上有连续解时, f(x)不具有单调性,而f′(x)=0只是离散解时,不影响f(x)的单调性.于是我们可得出如下结论:设f(x)在定义域内的某个区间上可导,
(1)如果f′(x)=0有离散解,若f(x)在这个区间上是增函数,则f′(x)≥0;若f(x)在这个区间上是减函数,则f′(x)≤0.
(2)如果f′(x)=0有连续解,则f(x)不具有单调性.
注:利用导函数的几何意义,不难对上述命题证明.(一般高考中有关导数的内容都只涉及多项式函数(一般是二次或三次函数),不会存在导函数取零的点连续的情况.)
3 解决问题
下面利用上述结论解决逆向单调性问题:
问题1 已知函数f(x)=1
3
x3-
1
2
ax2+(a-1)x+1在(1,4)内是减函数,在(6,+∞)内是增函数,求a的取值范围.
解 因为f(x)=1
3
x3-
1
2
ax2+(a-1)x+ 1,所以f′(x)=x2-ax+a-1,
2007年 第46卷 第10期 数学通报
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因为f(x)=1
3x3-
1
2
ax2+(a-1)x+1在(1,4)
内是减函数,在(6,+∞)内是增函数,所以当x∈(1,4)时,f′(x)≤0,
当x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0,
所以f′(1)≤0
f′(4)≤0
f′(6)≥0
即
f′(1)=0≤0
f′(4)=-3a+15≤0,
f′(6)=-5a+35≥0
解得
5≤a≤7,
所以a的取值范围(5,7).
问题2 如果函数f(x)=1
2
(a-1)x2+ax在(1,3)上为增函数,求实数a的取值范围.
解 因为f(x)=1
2
(a-1)x2+ax,
所以f′(x)=(a-1)x+a,
因为f(x)=1
2
(a-1)x2+ax在(1,3)上为增函数,所以①当a=1时,f′(x)=1>0,
则f(x)满足在(1,3)上为增函数;
②当a≠1时,由f′(x)=0得x=a
1-a
,
则f′(x)≥0在(1,3)上恒成立,
即a≥x
x+1
,x∈(1,3)时恒成立,
所以a≥3
4
(a≠1);
综上可得,a取值范围是a≥3
4
.
问题3 (2005湖南,理21(Ⅰ))已知函数f(x)
=ln x,g(x)=1
2
ax2+bx,a≠0.若b=2,且h(x)
=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
解 因为b=2时,h(x)=ln x-1
2
ax2-2x,
所以h′(x)=1
x -ax-2=-
ax2+2x-1
x
,
因为函数h(x)存在单调递减区间,所以h′(x)<0有解,
因为x>0时,ax2+2x-1>0有x>0的解,
所以①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解;
②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的
抛物线,使ax2+2x-1>0总有x>0的解,
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根,即
△=4+4a>0,
-
2
a
≥0,
此时,-1综上所述,a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
问题4 (2005年湖南,文19)设t≠0,点P(t,
0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象
的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切
线.
(Ⅰ)用t表示a,b,c;
(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围.
解 (Ⅰ)a=-t2,b=t,c=-t3(解略).
(Ⅱ)因为y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+ t3,y′=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t)
所以y′=(3x+t)(x-t),因为函数y=f(x) -g(x)在(-1,3)上单调递减,
所以y′=(3x+t)(x-t)≤0对于x∈(-1,
3)恒成立.
所以
y′|x=-1≤0,
y′|x=3≤0.
即
(-3+t)(-1-t)≤0,
(9+t)(3-t)≤0.
解得t≤-9或t≥3.
所以t的取值范围为(-∞,-9]∪[3,+∞).
参考文献
1 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修Ⅱ).北京:人民教育出版社,2006年第3次印
刷
数学通报2007年 第46卷 第10期
