普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
排列、组合、二项式定理
一．课标要求：
1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理
通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；
2．排列与组合
通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；
3．二项式定理
能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
二．命题走向
本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较
小，属于高考题中的中低档题目；预测今年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
三．要点精讲
1．排列、组合、二项式知识相互关系表
2．两个基本原理
（1）分类计数原理中的分类；
（2）分步计数原理中的分步；
正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列
（1）排列定义，排列数
（2）排列数公式：系m n A =
)!
(!m n n =n·(n －1)…(n －m+1)； （3）全排列列：n n A =n!；
（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；
4．组合
（1）组合的定义，排列与组合的区别；
（2）组合数公式：C n m =
)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ； （3）组合数的性质
①C n m =C n n-m ；②
r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0
，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；
5．二项式定理
（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ；
（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ；
6．二项式的应用
（1）求某些多项式系数的和；
（2）证明一些简单的组合恒等式；
（3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；
（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+
2)1
(
n
n x2；（5）证明不等式。四．典例解析
题型1：计数原理
例1．完成下列选择题与填空题
（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有种。
A．81 B．64 C．24 D．4
（2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（）A．81 B．64 C．24 D．4
（3）有四位学生参加三项不同的竞赛，
①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有；
②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有；
③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有。
解析：（1）完成一件事是“分步”进行还是“分类”进行，是选用基本原理的关键。将“投四封信”这件事分四步完成，每投一封信作为一步，每步都有投入三个不同信箱的三种方法，因此：N=3
×3×3×3=34=81，故答案选A。
本题也可以这样分类完成，①四封信投入一个信箱中，有C31种投法；②四封信投入两个信箱中，有C32（C41·A22+C42·C22）种投法；③四封信投入三个信箱，有两封信在同一信箱中，有C42·A33种投法、，故共有C31+C32（C41·A22+C42C22）+C42·A33=81（种）。故选A。
（2）因学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将4名学生看作4个“店”，3项冠军看作“客”，每个“客”都可住进4家“店”中的任意一家，即每个“客”有4种住宿法。由分步计数原理得：N=4×4×4=64。
故答案选B。
（3）①学生可以选择项目，而竞赛项目对学生无条件限制，所以类似（1）可得N=34=81（种）；
②竞赛项目可以挑学生，而学生无选择项目的机会，每一项可以挑4种不同学生，共有N=43=64（种）；
③等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛，每人参加一项，故共有C43·A33=24（种）。
例2．（06江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字
作答）。
解析：本题考查排列组合的基本知识，由题意可知，因同色球
不加以区分，实际上是一个组合问题，共有423
9531260
C C C 。
点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，在高中数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的。
题型2：排列问题
例3．（1）（06北京卷）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）（A）36个（B）24个（C）18个
（D）6个
（2）（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）
（A）108种（B）186种（C）216种（D）270种
（3）（06湖南卷）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）
A ．6 B. 12 C. 18
D. 24
（4）(06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320
（D ）5040
解析：（1）依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数
字都是奇数，有3
3A 种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有1333C A ，
故共有33A ＋1333C A ＝24种方法，故选B ；
（2）从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有3374A A -=186种，选B ；
（3）先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法，选B ；
（4）不同排法的种数为5256A A ＝3600，故选B 。
点评：合理的应用排列的公式处理实际问题，首先应该进入排列问题的情景，想清楚我处理时应该如何去做。
例4．（1）（06天津卷）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字
作答）；
（2）（06上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
解析：（1）可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成33212A ⋅=个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2224A ⋅=个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有222(2)A ⋅⋅=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。
（2）分二步：首尾必须播放公益广告的有A 22种；中间4个为不同的商业广告有A 44种，从而应当填 A 22·A 44＝48. 从而应填48。
点评：排列问题不可能解决所有问题，对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助。
题型三：组合问题
例5．（1）(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）
（A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种
（D ）２７０种
（2）（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A ．10种
B ．20种
C ．36种
D ．52种
解析：（1）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两
组都是2人，有125422
15C C A ⋅=种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案，选B ；
（2）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分
情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有14
4C =种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有246C =种方法；则不同的放球方法有10种，选A 。
点评：计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础，应用计数原理结合
例6．（1）(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种；
（2）（06全国II ）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）
（A ）150种
(B)180种 (C)优质试题 (D)280种
解析：（1）可以分情况讨论，① 甲去，则乙不去，有3464C A ⋅=480种选法；②甲不去，乙去，有3464C A ⋅=480种选法；③甲、乙都不去，
有46A =360种选法；共有1320种不同的选派方案；
（2）人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有3113521322C C C A A ⨯＝60种，若是1,1,3，则有1223542322C C C A A ⨯＝90种，所以共有150种，选A 。
点评：排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题，诸如分组问题等；
题型4：排列、组合的综合问题
例7．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线
互相平行。求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。（2）这些直线交成多少个三角形。
解法一：（1）由题设这10点所确定的直线是C102=45条。
这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点，由任意两条直线交一个点，共有C452个交点。而在原来10点上有9条直线共点于此。所以，在原来点上有10C92点被重复计数；
所以这些直线交成新的点是：C452－10C92=630。
（2）这些直线所交成的三角形个数可如下求：因为每个三角形对应着三个顶点，这三个点来自上述630个点或原来的10个点。所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合，即C6403=43486080（个）。
解法二：（1）如图对给定的10点中任取4个点，四点连成6条直线，这6条直线交3个新的点。故原题对应于在10个点中任取4点的不同取法的3倍，即这些直线新交成的点的个数是：3C104=630。
（2）同解法一。
点评：用排列、组合解决有关几何计算问题，除了应用排列、组合的各种方法与对策之外，还要考虑实际几何意义。
例8．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。
a>0,即a、b异号。
解设倾斜角为θ，由θ为锐角，得tanθ=-
b
（1）若c=0，a、b各有3种取法，排除2个重复（3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0），故有3×3-2=7（条）；
（2）若c≠0，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36条，从而符合要求的直线共有7+36=43条；
点评：本题是1999年全国高中数学联赛中的一填空题，据抽
样分析正确率只有0.37。错误原因没有对c=0与c ≠0正确分类；没有考虑c=0中出现重复的直线。
题型5：二项式定理
例9．（1）（湖北卷）在24
(x 的展开式中，x 的幂的指数是
整数的项共有 A ．3项 B ．4项 C ．5项
D ．6项
（2）10)31(x x -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是
（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6
解析：本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识；
（1）724243
12424r r
r
r r r T C x C x －－r ＋＝（＝(-1)，当r ＝0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x 的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C ；
（2）10
31⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式通项为31010102121011()()33r r r r r r C C x x ---=，因此含x 的正整数次幂的项共有2项.选B ；
点评：多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简，
降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别。
例10．（1）（06江西卷）在（x ）优质试题 的二项展开式中，
含x 的奇次幂的项之和为S ，当x 时，S 等于（ ）
A.23008 B .－23008 C.23009 D .－23009
（2）（06山东卷）已知2n
x
⎛ ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为－14
3,其中2i =－1，则展开式中常数项是（ ） (A)－45i (B) 45i (C) －45
(D)45
（3）（06浙江卷）若多项式
=+++++++=+910102910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则 （ ）
(A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10
解析：（1）设（x
优质试题＝a 0x
优质试题＋a 1x 优质试题＋…＋a 优质试题x ＋a 优质试题；
则当x 时，有a 0）优质试题＋a 1）优质试题＋…＋a 优质试
题a 优质试题＝0 （1），
当x 时，有a 0）优质试题－a 1）优质试题＋…－a 优质试
题a 优质试题＝23009 （2），
（1）－（2）有a
1）优质试题＋…＋a 优质试题）＝－23009÷2＝－23008，，故选B ；
（2）第三项的系数为－2n C ，第五项的系数为4n C ，由第三项与第五项的系数之比为－
143可得n ＝10，则210110()()r r r r T C x -+=＝405210()r r r
i C x --，令40－5r ＝0，解得r ＝8，故所求的常数项为8810()i C -＝45，选A ；
（3）令2-=x ，得10210921022+=+--+-a a a a a ，令0=x ，得0109210=+++++a a a a a ；
点评：本题考查二项式展开式的特殊值法，基础题； 题型6：二项式定理的应用
例11．证明下列不等式：
（1）2n n b a +≥（2
b a +）n ,（a 、b ∈{x|x 是正实数},n ∈N ）; （2）已知a 、b 为正数，且a 1+b 1=1，则对于n ∈N 有 （a+b ）n -a n -b n ≥22n -2n+1。
证明：（1）令a=x+δ，b=x －δ，则x=
2
b a +； a n +b n =(x+δ)n +(x-δ)n
=x n +C n 1x n-1δ+…+C n n δn +x n -C n 1x n-1δ+…(-1)n C n n δn
=2(x n +C n 2x n-2δ2+C n 4x n-4δ4+…)
≥2x n 即2n n b a +≥（2
b a +）n （2）(a+b)n =a n +C n 1a n-1b+…+C n n b n
(a+b)n =b n +C n 1b n-1a+…+C n n a n
上述两式相加得：
2(a+b)n =(a n +b n )+C n 1(a n-1b+b n-1a)+
…+C n k (a n-k b k +b n-k a k )+…+C n n (a n +b n ) (*) ∵a 1+b
1=1，且a 、b 为正数
∴ab=a+b ≥2ab ∴ab ≥4
又∵ a n-k b k +b n-k a k ≥2n n b a ⋅=2(ab )n (k=1,2,…,n-1)
∴2(a+b) n ≥2a n +2b n +C n 12(ab )n +C n 22（ab ）n +…+C n n-12(ab )n ∴(a+b)n －a n -b n
≥(C n 1+C n 2+…+C n n-1)·（ab ）n
≥(2n －2)·2n
=22n －2n+1
点评：利用二项式定理的展开式，可以证明一些与自然数有关的不等式问题。题（1）中的换元法称之为均值换元（对称换元）。
这样消去δ奇数次项，从而使每一项均大于或等于零。题（2）中，由由称位置二项式系数相等，将展开式倒过来写再与原来的展开式相加，这样充分利用对称性来解题的方法是利用二项式展开式解题的常用方法。
例12．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余数；
（2）7n+C n17n-1+C n2·7n-2+…+C n n-1×7除以9，得余数是多少？
（3）根据下列要求的精确度，求1.025的近似值。①精确到0.01；
②精确到0.001。
解析：（1）首先考虑4·6n+5n+1被4整除的余数。
∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+C n+114n+C n+124n-1+…+C n+1n·4+1，
∴其被4整除的余数为1，
∴被20整除的余数可以为1，5，9，13，17，
然后考虑4·6n+1+5n+1被5整除的余数。
∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+C n1·5n-1+C n2·5n-2+…+C n n-1·5+1)，∴被5整除的余数为4，
∴其被20整除的余数可以为4，9，14，19。
综上所述，被20整除后的余数为9。
（2）7n+C n1·7n-1+C n2·7n-2+…+C n n-1·7
=(7+1)n－1=8n－1=(9-1)n－1
=9n-C n1·9n-1+C n2·9n-2+…+(－1)n-1C n n-1·9+(－1)n C n n-1
(i)当n为奇数时
原式=9n-C n1·9n-1+C n2·9n-2+…+（－1）n-1C n n-1·9－2
∴除以9所得余数为7。
(ii)当n为偶数时
原式=9n-C n1·9n-1+C n2·9n-2+…+(－1)n-1C n n-1·9
∴除以9所得余数为0，即被9整除。
（3）(1.02)5≈（1+0.02）5
=1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C55·0.025∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5
∴①当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10。
②当精确到0.001时，只要取展开式的前四项和，1+0.10+0.004+0.0008=1.10408，近似值为1.104。
点评：（1）用二项式定理来处理余数问题或整除问题时，通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理展开推得所求结论；
（2）用二项式定理来求近似值，可以根据不同精确度来确定
应该取到展开式的第几项。
五．思维总结
解排列组合应用题的基本规律
1．分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。
2．将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。
3．对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：（1）元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；
（2）位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；
（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。
4．对解组合问题，应注意以下三点：
（1）对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；
（2）是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；
（3）设计“分组方案”是解组合题的关键所在。
排列、组合及二项式定理 【考点梳理】 一、考试内容 1.分类计数原理与分步计数原理。 2.排列、排列数公式。 3.组合、组合数公式。 4.组合数的两个性质。 5.二项式定理，二项式展开的性质。 二、考试要求 1.掌握分类计数原理及分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它解决一些简单的问题。 3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。 三、考点简析 1.排列、组合、二项式知识相互关系表 2.两个基本原理 （1）分类计数原理中的分类。 （2）分步计数原理中的分步。 正确地分类与分步是学好这一章的关键。 3.排列 （1）排列定义，排列数 （2）排列数公式：系m n A =)! (!m n n -=n ·(n-1)…(n-m+1) （3）全排列列：n n A =n! （4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720 4.组合 （1）组合的定义，排列与组合的区别 （2）组合数公式：C n m = )!(!!m n m n -=1 2)1(1)m -(n 1)-n (???-?+ m m n （3）组合数的性质 ①C n m =C n n-m ②r n r n r n C C C 11+-=+ ③rC n r =n ·C n-1r-1
④C n0+C n1+…+C n n=2n ⑤C n0-C n1+…+(-1)n C n n=0 即C n0+C n2+C n4+…=C n1+C n3+…=2n-1 5.二项式定理 （1）二项式展开公式 (a+b)n=C n0a n+C n1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是 T k+1=C n k a n-k b k 6.二项式的应用 （1）求某些多项式系数的和。 （2）证明一些简单的组合恒等式。 （3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题。（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①(1+x)n≈1+nx ②(1+x)n≈1+nx+ 2)1 ( n n x2 （5）证明不等式。 四、思想方法 1.解排列组合应用题的基本规律 （1）分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。 （2）将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。 （3）对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑： ①元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素。 ②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置。 ③整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。 （4）对解组合问题，应注意以下三点： ①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。 ②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”。 ③设计“分组方案”是解组合题的关键所在。 2.解排列、组合题的基本策略与方法 （1）去杂法 对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理 某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之一。注意的是：分类不重复不遗漏，即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理 与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，后分步。 （4）插入法（插空法） 某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 （5）“捆绑”法
8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？ 【参考答案】可以分为两类情况： ① 若取出6，则有() 2111 82772P C C C +种方法； ②若不取6，则有1277C P 种方法． 根据分类计数原理，一共有() 2111 8277 2P C C C ++1277C P ＝602种方法． 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种. 【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法； 第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3 526C C ?种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ?种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+?3526 C C 3502 536=?C C 种方法. 经典例题： 例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ） A ．150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法， 先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法． 在10个点中任取4点，有4 10C 种取法，取出的4点共面有三类 第一类：共四面体的某一个面，有44 6C 种取法； 第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE ，有6种取法； 第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个． 故取4个不共面的点的不同取法共有4 10C －(44 6C ＋6＋3)＝141，因此选D 例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，
高中数学之排列组合二项式定理 一、分类计数原理和分步计数原理： 分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种 方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。 分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤 中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各 步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。 区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类 与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。 二、排列与组合： （1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。 （2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()! (!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-= +---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质： ①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成： 第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上； 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） ②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成： 第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成： 第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） 即有1 1--m n mA 种不同的方法。 第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个 位置上，有m n A 1-种方法。 组合数的公式：)()!(!!!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C m m n m n ≤-=+---== 组合数的性质： ①m n n m n C C -=（从n 个不同的元素中取出m 个元素后，剩下m n -个元素，也就是说，
计数原理、排列组合及二项式定理 【基本知识点】 1。分类计数和分步计数原理的概念 2．排列的概念:从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 3．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示 4．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤） 5。阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=． 6．排列数的另一个计算公式:m n A = ! ()! n n m - 7。组合概念:从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 8．组合数的概念:从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．．． ．用符号m n C 表示． 9.组合数公式:(1)(2)(1)! m m n n m m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -= ,,(n m N m n ≤∈*且 10。组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ； 11.组合数的性质2:m n C 1+＝m n C +1 -m n C C n 0 +C n 1 +…+C n n =2n 12。二项式展开公式：（a+b ）n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n —k b k +…+C n n b n 13．二项式系数的性质: ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1 n C ，2n C ，…,n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是 {0,1,2,,}n ， (1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -,12n n C +取得最 大值． （3）各二项式系数和：∵1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++++ +, 令1x =，则012 2n r n n n n n n C C C C C =+++++ + 【常见考点】 一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的
排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有 ．．的排列. ．．元素 ．．重复 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：n m种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序 ．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号m A表示. n ⑷排列数公式： 注意：! + n- ?规定0! = 1 n = !n )! 1 ( n
排列组合二项式定理知识点以及典型例题总结 考纲要求: 1.知道分类计数原理与分步计数原理的区别，会用两个原理分析和解决一些简单的问题 2.知道排列和组合的区别和联系，记住排列数和组合数公式，能用它们解决一些简单的应 3.知道一些组合数性质的应用. 4.了解二项式定理及其展开式 5.记住二项式展开式的通项公式，并能够运用它求展开式中指定的项 6.了解二项式系数的性质，能够利用二项式展开式的通项公式求出展开式中二项式系数最大的项. 7.了解二项式的展开式中二项式系数与项的系数的区别 知识点一：计数原理 1.分类加法计数原理 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法． 两个基本计数原理的区别：分类计数原理——每一类办法都能把事单独完成；分步计数原理——缺少任何一个步骤都无法把事完成． 2.分步乘法计数原理 如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1·m2·…·m n种不同的方法． 知识点二：排列 1.排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n个
不同元素中取出m 个元素的一个排列．如果m ＜n ，这样的排列叫作选排列．如果m ＝n ，这样的排列叫作全排列． 2. 排列数的定义： 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号P m n 表示． 3. 排列数的公式： (1) P m n ＝n ·(n －1)·(n －2)·…·(n －m ＋1)； (2) P m n ＝() !!n n m -； 规定：0！＝1. 知识点三：组合 1.组合的定义： 一般地，从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2.组合数的定义： 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示． 3. 组合数公式： (1)()()()121P C P !m m n n m n n n n n m m ---+== (2)()!C !! m n n m n m =-(n ，m ∈N ＋，且m ≤n ) 4. 组合数性质： (1) C =C m n m n n -；
排列组合和二项式定理是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。本文将从这三个概念的定义、性质、应用等方面进行阐述。 排列组合和二项式定理都是与排列组合相关的重要数学概念。排列组合主要用于计算有限集合中元素的排列组合数，而二项式定理则是一个数学公式，描述了两个二进制数的组合方式。 排列组合和二项式定理在数学中有着广泛的应用。首先，在组合数学中，排列组合被用来计算组合的系数。例如，在计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数时，可以使用排列组合的方法来计算。此外，排列组合还可以用于解决一些概率问题，例如，在抽奖活动中，可以通过计算不同号码的组合数来计算中奖的概率。 其次，二项式定理在统计学和概率论中有着广泛的应用。例如，在计算平均数、方差和标准差等统计量时，可以使用二项式定理来计算。此外，二项式定理还可以用于解决一些概率问题，例如，在计算抛硬币的正反面出现的概率时，可以使用二项式定理来计算。 排列组合和二项式定理的应用非常广泛，下面举几个例子来说明： 1. 计算组合数：假设要从n个不同元素中选取k个元素，不考虑顺序，那么可以使用排列组合的方法来计算组合数。具体地，可以计算出所有可能的排列数，然后除以从n个元素中选取k个元素的排列数。例如，从5个不同元素中选取3个元素的组合数为C(5,3) = 10。 2. 计算概率：假设要进行一次抽奖活动，其中有10个不同的号码，每个号码出现的概率为1/10。那么可以计算出所有可能的组合数，即10个不同的号码的排列数。然后，根据二项式定理来计算中奖的概率。具体地，可以计算出中奖的概率等于中奖号码出现的次数与总次数的比值。例如，如果中奖号码为5号，那么中奖的概率等于5/10 = 0.5。 3. 计算统计量：假设要进行一次考试，共有10道题目，每道题目有3个选项。那么可以计算出所有可能的组合数，即30种不同的答案组合方式。然后，根据二项式定理来计算平均分数、方差和标准差等统计量。例如，平均分数等于所有分数之和除以总人数。假设总人数为30人，则平均分数为(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/30 = 5.67。
排列：表达的是事件中元素是有顺序的或有区分的 例如（1）在袋子中逐个取出。排队有先后之分。 表达式：! ()! n m n n n m n m A n A A n m --==-（表达n 个中选m 个进行排序） 计算：1.解方程：33 22 126x x x A A A +=+ 2. 解不等式：2996x x A A -> （1）已知101095m A =⨯⨯⨯，那么m = ； （2）已知9!362880=，那么79A = ； （3）已知 2 56n A =，那么n = ； （4）已知2247n n A A -=，那么n = ． 情况次数讨论： 互斥分类——分类法 先后有序——位置法 反面明了——排除法 相邻排列——捆绑法 分离排列——插空法 排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法” 例1求不同的排法种数： （1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻； （3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻． 例2 某小组6个人排队照相留念． (1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？ (2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？ (3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？ (5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？ (6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？ 例3 7位同学站成一排 （1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ （2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ （3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ （4 例4 （1）一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？ （2）将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
排列组合与二项式定理 乘法原理和加法原理 乘法原理指的是，如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有XXX种不同的方法。 加法原理指的是，如果完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事 共有N=m1+m2+。+mn种不同的方法。 需要注意的是，应用这两个计数原理的关键是分清“步”与“类”。完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性。完成一件事有若 干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性。 排列组合
排列的概念是指，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个 元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同的元素中取出m个元素的 所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pn表示。 排列数公式为Pn=n(n-1)(n-2)。(n-m+1)=n!/(n-m)。规定 0!=1. 组合的概念是指，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个 元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合。从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn表示。 组合数公式为Cn=m!/[(n-m)!*m!]，或者Cn=Pn/m。其中 m≤n。 组合的两个性质是：①Cn=Cn；②Cn+Cn=Cn+1.
高中数学排列组合与二项式定理解析 在高中数学中，排列组合与二项式定理是非常重要的概念和定理。它们在数学 中的应用非常广泛，不仅在数学竞赛中经常出现，而且在实际生活中也有很多应用。本文将对排列组合与二项式定理进行深入解析，并通过具体的题目举例，帮助读者更好地理解和应用这些知识。 一、排列组合 排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对一组元素的选择和排列方式的 计算。在排列组合中，我们通常会遇到以下几种题型。 1.1 排列 排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式。在排列中，元素的顺 序是重要的，不同的顺序会形成不同的排列。排列的计算公式为： P(n, k) = n! / (n-k)! 其中，n表示总的元素个数，k表示选取的元素个数，!表示阶乘运算。 例如，有5个不同的球，要从中选取3个进行排列，那么排列的总数为： P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60 这意味着从5个不同的球中选取3个进行排列，共有60种不同的排列方式。 1.2 组合 组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的方式。在组合中，元素的顺 序不重要，不同的顺序会形成相同的组合。组合的计算公式为： C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 例如，有5个不同的球，要从中选取3个进行组合，那么组合的总数为：
C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 10 这意味着从5个不同的球中选取3个进行组合，共有10种不同的组合方式。 通过排列组合的计算，我们可以解决很多实际问题。例如，在一场比赛中，有10个运动员参赛，要选出前3名，那么不同的排名方式有多少种？答案就是10个 元素中选取3个进行排列，即P(10, 3) = 720种不同的排名方式。 二、二项式定理 二项式定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个二项式的展开式。在二项 式定理中，我们通常会遇到以下几种题型。 2.1 二项式展开 二项式展开是指将一个二项式进行展开的过程。二项式的展开式可以通过二项 式定理来计算。二项式定理的公式为： (a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n 其中，a和b为任意实数，n为非负整数，C(n, k)表示组合数。 例如，将二项式(a + b)^3展开，展开式为： (a + b)^3 = C(3, 0) * a^3 * b^0 + C(3, 1) * a^2 * b^1 + C(3, 2) * a^1 * b^2 + C(3, 3) * a^0 * b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 通过二项式展开，我们可以计算出任意一个二项式的展开式，从而简化计算过程。 2.2 二项式系数 二项式系数是指二项式展开中各项的系数。二项式系数可以通过组合数来计算。在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。
排列组合二项定理考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有 ．．重复 ．．的排列. ．．元素 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例
如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： 注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1 111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3!3==n .
排列、组合与二项式定理公式 排列与组合 定 义 排列 组合 从n 个不同的元素中，任取m （m ≤n ） 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫 做从n 个不同的元素中取出m 个元素的 一个排列。 从n 个不同的元素中，任取m （m ≤n ）个 元素并称一组，叫做从n 个不同的元素中 取出m 个元素的一个组合。 计 算 公 式 (1)(2) (1)m n A n n n n m =---+ ,,m n N m n *∈≤ (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 性 质 （1）0！=1 （2）m n A =! ()! n n m - （1）m n n m n C C -=．规定：10=n C ； （2）m n C 1+＝m n C +1-m n C (3) C n 0+C n 1+…+C n n =2n 特 征 排列：即取且排，与顺序有关 相同的排列：元素相同且顺序一致 组合：即取不排，与顺序无关 相同的组合：元素相同，不计顺序 二项式定理 (a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n （1）（a+b ）n 的项数：展开式共有n+1项 （2）（a+b ）n 的通项公式：T k+1=C n k a n-k b k （3）（a+b ）n 的二项式系数：n n n n C C C 10, （4）（a+b ）n 的最大系数项： 当n 是偶数时，中间的一项 2n n C 取得最大时 ； 当n 是奇数时，中间的两项21 -n n C ，2 1 +n n C 相等，且同时取得最大值。
46 一、 排列组合、二项式定理 1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？ ⑴分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++L . ⑵分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯L . 加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。 2、排列数公式是：m n P =)1()1(+--m n n n Λ=！ ！)(m n n -； 排列恒等式 （1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m m n n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+ 3、 组合数公式是：m n C =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅； 组合数性质：m n C =m n n C - m n C +1-m n C =m n C 1+ 组合恒等式（1）11m m n n n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-;（3）11m m n n n C C m --=; （4）∑=n r r n C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C Λ 4、排列数与组合数的关系是：m m n n A m C =⋅！ . 5、排列组合应用问题的处理方法： (1)要分清是先分步还是先分类，(2) 混合应用题要注意先组合再排列. (3)解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合． (4)解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法； 定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；选取问题先选后排法；至多至少问题间接法．要区别平均分组与不平均分组的处理方法.特别地还有隔板法（什么时候用？）. 6、二项式定理n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ; （1）掌握二项展开式的通项：);,...,2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ （2）注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1系数的区别； （3）与首末两端等距离的二项式系数相等； （4）若n 为偶数，中间一项（第 2n ＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和2 1+n ＋1项）的二项式系数最大； （5）;2;213120210-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C （6）F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为)]1()1([2 1--f f ； 偶数项的系数和为)]1()1([2 1-+f f ；
方法技巧专题21排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是高中数学中较为重要且常用的概念和定理。掌握了这些知识点，不仅可以帮助我们解决各种组合问题，还能在代数运算中起到简化计算的作用。本文将从概念介绍、性质解析和应用举例三个方面进行详细阐述。 一、排列组合的概念 1.排列 排列是从给定的对象中取出若干个，并按照一定的顺序进行排列。对于n个不同对象中取出m个进行排列，可以得到的排列数记作P(n,m)或A(n,m)。其中，P(n,m)表示不考虑顺序的情况，而A(n,m)表示考虑顺序的情况。 2.组合 组合是从给定的对象中取出若干个，并不考虑其顺序。对于n个不同对象中取出m个进行组合，可以得到的组合数记作C(n,m)，也可以用数学符号表示为nCm。 二、排列组合的性质解析 1.排列的性质 (1)P(n,n)=n!，即n个不同对象进行全排列的种数为n的阶乘。 (2)A(n,m)=P(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)，即从n个不同对象中取出m个进行排列的种数为n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。 2.组合的性质
(1)C(n,0)=C(n,n)=1，表示从n个不同对象中不取或全取的情况只有一种。 (2)C(n,1)=C(n,n-1)=n，表示从n个不同对象中取出1个或n-1个的情况有n种。 (3)C(n,m)+C(n,m-1)=C(n+1,m)，表示从n+1个不同对象中取出m个的组合数等于从n个不同对象中取出m个和取出m-1个的组合数之和。三、二项式定理的应用 二项式定理是代数学中一个重要的定理，它描述了任意实数的n次方的展开式。二项式定理可以表示为： (x+y)^n=C(n,0)*x^n*y^0+C(n,1)*x^(n-1)*y^1+...+C(n,n)*x^0*y^n 应用举例： 1.展开(x+y)^3 根据二项式定理，展开(x+y)^3可得： (x+y)^3=1*x^3*y^0+3*x^2*y^1+3*x^1*y^2+1*x^0*y^3 即(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 2.求(x+y)^4中x^3y的系数 根据二项式定理，展开(x+y)^4可得： (x+y)^4=1*x^4*y^0+4*x^3*y^1+6*x^2*y^2+4*x^1*y^3+1*x^0*y^4 系数为4，即x^3y的系数为4
排列与组合 一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕 1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法. 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 二、排列与组合 〔1〕排列 定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列。 排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。全排列数公式可写成. 〔主要用于化简、证明等〕 （二）组合 定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出 个元素的一个组合；组合数用符号表示 组合数公式： 变式： 组合数的两个性质：1、
三、二项式定理 1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项； ② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. 2、二项展开式的通项. n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+. 3、二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n n n n C C 最大. ③系数和： 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C
精品文档 知识要点 一、计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m 种不同的方法，在第二类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m+n 种不同的方法。 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的办法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法。 3．两个原理的关系 两个原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。区别在于分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事。 二、排列、组合 1．公式和性质 ()()()()() ()()()()()()()()()()()()()()()()1 3211 11 1211 1m m m n 1 -m 1-n m n n n m n m n 2321110987m)! -(n m!n!! 1m n 2n 1n n 6n 5n!!1n nn! 41 22n 1n n n!3m)! -(n n!2n m 1m n 2n 1n n 1---++++-+-=++++==++++=== +---= ==-+=⋅--===<+---=n n n n n n k n k n m n m n m m m m m m m n m n m n m n n m n m n n nC C C C nC kC C C C C C C C C C C m A A C A A A A A ΛΛΛΛΛ 三、二项式定理 1. 二项式定理 （a+b ）n =Λ +++--2 2n 2n 1n 1n n n b a b a a C C C + n n n r r n r n b b a C C ++-Λ =T 通项公式： r r n r n b a -C 2.二项式系数的性质 （1）在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等； （2）若二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大，若是奇数则中间的两项系数最大； （3）二项式系数的和等于n 2，即 =++++n n 2n 1n 0n C C C C Λn 2 3. 注意：二项式系数和展开式的系数的区别 规律方法指津 1.排列、组合应用题大致可分为三类: (1)不带限制条件的简单排列或组合题,可直接根据题意利用公式求得最后结果. (2)带有限制条件的排列或组合题,常有两种计算方法, 一是把符合要求的排列或组合数直接计算出来;二是先算出不含限制条件的所有排列和组合的总数,然后再从中减去所有不符合要求的排列和组合数. (3)排列、组合混合综合题,一般采取先组合后排列的方法,要分类清楚准确、独立,分步有条不紊、连续. 2.排列组合应用题,常用的基本类型有以下几种: 从n 个不同元素中 （1）选出m 个（m ≤n ）个元素，排成一列，所有不同的排法共有 m n A 种. (2)选出m 个元素,且有k （） m ≤个元素必须入选，把这 m 个元素排成一列，排法共有 )m m k m k n 种（先选后排A C -- （3）将n 个元素排成一列，且其中某k 个元素排在相邻位置上，排法共有k k 1k -n 1k -n A A ++种（捆绑法） （4）将n 个元素排成一列，且其中某k 个元素不能排在相邻位置上，排法共有 k 1k -n k -n k -n +A A 种（插空法） 1页 计数原理、排列与组合、二项式定理
排列组合二项定理 考试容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求：〔1〕掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． 〔2〕理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． 〔3〕理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． 〔4〕掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出 n 个元素可重复排列数m ·m ·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ 〔解：n m 种〕 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵一样排列. 如果；两个排列一样，不仅这两个排列的元素必须完全一样，而且排列的顺序也必须完全一样. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1 111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有一样元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数
计数原理 一、高考要求: 掌握分类计数原理及分步计数原理,并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题. 二、知识要点: 1.分类计数原理(又称加法原理):完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法. 2.分步计数原理(又称乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有 12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法. 三、典型例题: 例1: (1)有红、黄、白色旗子各n 面(n ＞3),取其中一面、二面、三面组成纵列信号,可以有多少不同的信号？ (2)有1元、2元、5元、10元的钞票各一张,取其中一张或几张,能组成多少种不同的币值？ (1)解 因为纵列信号有上、下顺序关系,所以是一个排列问题,信号分一面、二面、三面三种情况(三类),各类之间是互斥的,所以用加法原理:①升一面旗:共有3种信号;②升二面旗:要分两步,连续完成每一步,信号方告完成,而每步又是独立的事件,故用乘法原理,因同色旗子可重复使用,故共有3×3种信号;③升三面旗:有N =3×3×3种信号,所以共有39种信号. (2)解 计算币值与顺序无关,所以是一个组合问题,有取一张、二张、三张、四张四种情况,它们彼此互斥的,用加法原理,因此,不同币值有N =14C +24C +34C +4 4C =15(种). 例4: (1)5本不同的书放在3个不同的书包中,有多少种不同的方法？ (2)3个旅客在5家旅店住宿,有多少种不同的方法？ (1)解 每本书有3种不同方法,共有35=243种. (2)解 每个人有5种选择,共有53=125种. 四、归纳小结: 两个基本原理的共同点是,都是研究“完成一件事,共有多少种不同的方法”,它们的区别在于一个与“分类”有关,一个与“分步”有关.如果完成一件事有n 类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一种办法中的哪一种都能单独的完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理;如果完成一件事,需要分成n 个步骤,各个步骤都不可缺少,需要完成所有的步骤才能完成这件事,而完成每一个步骤又各有若干方法,求完成这件事方法的种数,就用分步计数原理.