论文编码：首都师范大学本科学生毕业论文
傅里叶变换的可视化及应用研究
作者：吴晓龙
院系：物理系
专业：物理学（师范）
学号： 1070600080
指导教师：郭怀明
日期： 2011年5月9日
中文提要
傅里叶变换是由实空间向频谱空间的变换。傅里叶变换的重要性在于很多实际问题在频谱空间更易处理，而快速傅里叶变换的发展则使之更便于应用。本文涉及傅里叶级数、连续傅里叶变换、快速傅里叶变换、广义傅里叶级数，旨在介绍它们之间的区别与联系，并探讨它们在MatLab中的可视化实现方法，以及在实际中的应用。本文最后还对傅里叶变换的意义做了简单探讨。
关键词：傅里叶级数傅里叶变换快速傅里叶变换可视化
Abstract
Fourier Transform is a kind of transformation from the real-space to frequency-space. The reason why Fourier Transform is important is that many realistic problems are more easily to be solved in frequency-space. Specially,the development of Fast Fourier Transform make it more convenient to use. This paper reviews Fourier Series,Fourier Transform, Fast Fourier Transform and Generalized Fourier Series. We discuss the relationship and the difference among them,and introduce their applications in realistic problems,then visualize them in MatLab. Finally，we make some comments on the meaning of Fourier Transform.
Keywords：Fourier Series Fourier Transform FFT Visualization
目录
一、引言 (1)
二、傅里叶级数、傅里叶变换的可视化及应用 (1)
2.1 傅里叶级数、傅里叶变换的数学依据 (1)
2.2傅里叶级数、傅里叶变换的Matlab可视化实现 (2)
2.3傅里叶级数、傅里叶变换的实际应用 (3)
三、DFT、FFT的可视化及应用 (4)
3.1 DFT、FFT的数学依据 (4)
3.2 FFT的Matlab可视化实现 (5)
3.3 FFT的实际应用 (6)
四、广义傅里叶级数的可视化及应用 (8)
4.1 广义傅里叶级数的数学依据 (8)
4.2 广义傅里叶级数的Matlab可视化实现 (9)
4.3 广义傅里叶级数的实际应用 (9)
五、傅里叶级数、傅里叶变换的意义 (11)
六、总结及结论 (12)
附录 (13)
参考文献 (17)
致谢 (18)
英文原文 (19)
中文译文 (30)
一、引言
傅里叶级数最初是法国数学家约瑟夫·傅里叶在求解热传导方程时产生的，随后傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT ）应运而生，并不断的发展为一整套傅里叶分析理论体系。傅里叶分析在很多方面都有应用，但直到快速傅里叶变换（FFT ）的诞生才把傅里叶分析推向了高潮。1965年，Cooley 和Tukey 两人在《计算机科学》上发表了《机器计算傅里叶级数的一种算法》一文，之后 FFT 开始大规模应用。时至今日，傅里叶分析已被广泛的应用于信号分析、信号处理、光谱分析、量子力学、天体物理学、微分方程求解、地质勘探、医学、生物学等领域，成为数据分析的一种有效的基础手段。同时，结合各领域自身的特点，以傅里叶分析为基础而发展起来的其他更有效的分析方法也得到了广泛的实际应用。比如小波分析以及Z 变换，在信号分析中应用都很广泛。但毋庸置疑，以傅里叶级数、傅里叶变换、DFT 、FFT 为基础的傅里叶分析依然是一种不可替代的简单而有效的分析方法。
二、傅里叶级数、傅里叶变换的可视化及应用
2.1 傅里叶级数、傅里叶变换的数学依据 2.1.1 傅里叶级数
傅里叶级数以三角函数系1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,...x x x x nx nx ?为展开函数，可以证明三角函数系是正交归一①的。以2l 为周期的任意周期函数()f x 的傅里叶级数形式为：
01
1(cos sin )2n n n n n a a x b x l l ππ∞
=++∑ （2-1-1） 1()cos l n l n a f x xdx l l π
-=
? (1,2,3,n =…) 1()sin l n l n b f x xdx l l π-=? (1,2,3,n =…)
01()l
l
a f x dx l -=?
若()f x 满足狄里克雷充分条件，即：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，
（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则()f x 的傅里叶级数收敛于1[()()]2
f x f x -++。
()f x 亦可写为复数形式的傅里叶级数：
()n i
x l
n
r f x e
πα∞
=-∞
=
∑ （2-1-2）
①R.Courant ，D.Hilbert.Methods of Mathematical Physics （Volume I ），Wiley ，1989，49-50
1()2n i x l
l n l
f x e dx l πα--=? (0,1,2,ν=±±…)
2.1.2 傅里叶变换
对定义在(,)-∞∞上的非周期函数()f x ，在傅里叶级数形式中令半周期l →∞可得傅里叶积分公式形式，且若()f x 满足条件：（1）在任意有限区间内满足狄里克雷条件，（2）()
f x 在(,)-∞∞上绝对可积，则()f x 的傅里叶积分收敛于1
[()()]2
f x f x -++。其展开形式为：
()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞
=+?? （2-1-3）
1
()()cos A f x xdx ωωπ
∞
-∞=?
1
()()sin B f x xdx ωωπ
∞
-∞
=
?
()f x 亦可写为复数形式傅里叶积分：
1()()2i x f x F e d ωωωπ
∞
-∞
=
?
（2-1-4）
()()i x F f x e dx ωω∞
--∞
=?
其中第二式即为傅里叶变换式，第一式又称傅里叶逆变换式。可以看出，两变换式前的系数存在一个自由度，因此变换式与对应的级数展开式之间也会相差一常数因子。同时也可以看出，变换的展开系数本身数值的绝对大小并不具有切实的物理意义，其相对大小才真正具有意义。
2.2 傅里叶级数、傅里叶变换的Matlab 可视化实现
在给定()f x 形式后，运用Matlab 中的积分命令“int()”②可以实现对傅里叶级数、傅里叶变换中系数的计算，或运用傅里叶变换命令“fourier()”②直接实现傅里叶变换，进一步作图可得到傅里叶变换的直观图像。
下面我们就来看一个简单而典型的例子，以方波为例看看一个函数的傅里叶级数在MatLab 中是怎样可视化实现的：
例1.1：以T 为周期的方波()f t 的傅里叶级数的可视化。
()f t = H ()22t ττ
-
≤≤ 0 (,)2222
T T
t t ττ-≤<-<<
②张志涌.精通MATLAB6.5.北京：北京航天航空大学出版社，2003
从定义式（2-1-2）可以很容易得到()f t 的k 级傅里叶展开系数为2/2
/2
1k i t T
k He
dt T πττα--=?，由积分命令int()计算可得sin k H k k T πταπ=，又/20/21H Hdt T T
τττα-==?，故有基波及谐波振幅为0H A T τ=
，sin k H k A k T
πτ
π=。用MatLab 中的stem()函数做出基波及各级谐波振幅的直观图像，这里令H=1，T=2，0.25τ=，图像如下（计算、作图程序见附录）
图1.1 方波的傅里叶级数谱 图1.2 方波脉冲的傅里叶变换谱 从图中可以清晰地看出基波及各级谐波的振幅对比，振幅随级次的衰减、变化的趋势一目了然。
我们还可以做一些拓展，来看看傅里叶级数与傅里叶变换之间存在的微妙联系。在例1.1中令T →∞则()f t 变为方波脉冲，其对应的傅里叶变换如图1.2。与图1.1对比可以看出实际上图1.2中的谱线就是图1.1中傅里叶级数谱的包络线，只是幅值大小相差π倍。这也从侧面反映出了傅里叶级数与傅里叶变换之间的紧密联系。 2.3 傅里叶级数、傅里叶变换的实际应用
数学物理方程中波动方程（如一维波动方程：20tt xx u a u -=）、输运方程（如一维热传导方程：20t xx u a u -=）的空间部分的本征函数解构成正交完备的三角函数系，因此可用傅里叶级数法或傅里叶变换法进行求解。傅里叶级数法适用于求解定义在有限区域内的问题，而傅里叶变换法则适用于求解定义在无限区域上的问题。同样的，傅里叶变换法可以看作是傅里叶级数法由有限区域向无限区域的一个推广，二者本质上没有区别，只是适用范围不同罢了。
傅里叶级数法的基本思想是：在已知泛定方程在给定边界条件下的本征函数解系的前提下，将方程两侧展开为相应的傅里叶级数的形式，由本征函数系的正交性，对比系数得到一系列的关于解的各级傅里叶展开系数的相对简单的微分方程，通过结合初始条件对这一系列微分方程进行求解得出解的各级傅里叶展开系数，从而确定原问题的解。
众所周知，这些数学物理方程是从许多实际的问题中提炼出来的，因此解决这些数理方程本身就是对实际问题的处理，只要将方程中相应的参数对应于实际问题中的参量，就可以解决实际问题了。为了更直观的体会傅里叶级数法解微分方程中的应用，我们用一个一维振动问题为例来看一下：
例1.2：一维振动方程定解问题：③
2cos sin
tt xx
u a u A x t
l
π
ω
-=
0,0
x x
x x l
u u
==
==(0)
x l
<<
00
(),()
t
t t
u x u x
?ψ
==
==
从物理实际上看，这个方程可以对应为一个受迫振动问题，方程右侧实际上就是振动
源的振动形式。由于我们已经知道对应的齐次泛定方程20
t t x x
u a u
-=在边界条件0
0,0
x x
x x l
u u
==
==下的本征函数解系为cos
n
x
l
π
(0,1,2,...)
n=。因此可将方程的两侧同时以函数系cos
n
x
l
π
(0,1,2,...)
n=为基底做傅里叶余弦级数展开，得到级数形式的方程
222
''
2
[]cos cos sin
n n
n
n a n
T T x A x t
l l l
πππ
ω
∞
=
+=
∑
00
(0)cos cos
n n
n n
n n
T x
l l
ππ
?
∞∞
==
=
∑∑，'
00
(0)cos cos
n n
n n
n n
T x
l l
ππ
ψ
∞∞
==
=
∑∑
其中
n
T是方程的解的第n个傅里叶级数展开系数，
n
?、
n
ψ分别是函数()x
?、()x
ψ的第n 个傅里叶展开系数。由函数系cos
n
x
l
π
(0,1,2,...)
n=的正交性，可以从级数形式的方程中分离出各级展开系数所满足的微分方程
22
''
11
2
sin
a
T T A t
l
π
ω
+=，222
''
2
n n
n a
T T
l
π
+=(1)
n≠
可以看出分离出来的一系列微分方程较原来的微分方程要简单得多，只是一些二阶常微分方程。解这些微分方程便可得到原方程的傅里叶级数形式的解。
同样，若让例1.2中的参数l→∞，则问题转变为一维无限长弦的振动方程，相应的可以用傅里叶变换法③进行求解，思路与傅里叶级数法完全相同。
四、广义傅里叶级数的可视化及应用
4.1 广义傅里叶级数的数学依据
广义傅里叶级数指勒让德函数、连带勒让德函数、贝赛尔函数等，它们与傅里叶级数
一样都是一组正交完备的函数组，可以用于对函数的展开③。这些函数与傅里叶级数对函数()f x 的展开都可一般化的写为
()()k k f x C x =Φ∑ (4-1-1)
((),())
((),())
k k k k x f x C x x Φ=
ΦΦ
其中()k x Φ即为广义傅里叶级数的k 级展开函数，((),())k x f x Φ表示()k x Φ与()f x 的内积。
③梁昆淼.数学物理方法，第三版.北京：高等教育出版社，1998.281、303、333
当然，对于不同的广义傅里叶函数，具体形式也不尽相同，如k 的取值范围、收敛范围、收敛条件等。
4.2 广义傅里叶级数的Matlab 可视化实现
MatLab 中内置有勒让德函数、贝赛尔函数等，分别为命令“legendre()”、“besselj()”②
，可结合运用曲面作图命令“mesh()”、“surf()”②或复变函数作图命令“cplxmap()”②
等做出图像。
从数学物理方程的知识可以知道勒让德函数、贝赛尔函数都有自己的母函数，而这些
母函数可以表达为其对应的广义傅里叶级数的形式。我们就用勒让德函数的母函数③展开为勒让德级数的例子来看看广义傅里叶级数在MatLab 中的可视化： 例3.1：勒让德函数的母函数展开为勒让德级数形式。 勒让德函数的母函数公式为
2
1(cos )12cos l l l r p r r θθ∞
==-+∑ (1)
r < 12
11
(cos )12cos l
l l p r
r r θθ∞
+==-+∑
(1)r > 将母函数与其勒让德级数形式用mesh()函数分别作图如下，其中勒让德级数取到级次
20l =（作图程序见附录）
图3.1 勒让德函数的母函数图象 图3.2 勒让德级数取至20l =的图像 从图像对比中可以看出级数形式与母函数相一致，只是在r=1附近有些不同，这是由于对级数截断至20l =造成的，随截断级次的增大，级数图像将与母函数图象越来越一致。 4.3 广义傅里叶级数的实际应用
像勒让德函数、连带勒让德函数、贝赛尔函数这样的广义傅里叶函数都是在数学物理方程的求解过程中产生的，因此广义傅里叶级数的应用与傅里叶级数的应用有相仿之处。广义傅里叶级数同样适用于求解微分方程，只是其适用的方程与连续傅里叶变换不同罢
②张志涌.精通MATLAB6.5.北京：北京航天航空大学出版社，2003 ③梁昆淼.数学物理方法，第三版.北京：高等教育出版社，1998.290-291
了。广义傅里叶级数的一个重要应用是用于研究量子力学中在中心力场作用下的散射问题，与连续傅里叶级数的应用一样，广义傅里叶级数之所以能应用是由于它是所要求解的方程的本征函数组。下面就通过一个例子来看看广义傅里叶变换是如何应用于分波法的： 例3.2：广义傅里叶级数用于分波法⑤处理中心力场()V r 下粒子的散射问题。
由于中心力场的作用，显然将入射波展开为具有球对称性的球面波将更利于问题的求
解。分波法的思路看起来与傅里叶级数法解微分方程的思路很相似。我们在已知能量和角动量(,,)z H l 2l 的共同本征函数的前提下，将入射波，如ikz e 形式的平面波，展开为以能量和角动量的共同本征函数为基的广义傅里叶级数③
cos 0
(21)()(cos )ikz ikr l l l l e e
l i j kr P θ
θ∞
===+∑
00
4(21)()()l l l l l i j kr Y πθ∞
==+∑
将前几级次的球面波用命令surf()做出图像，如图3.3-3.6（作图程序见附录）
图3.3 0l =球面波分量图 图3.4 1l =球面波分量图
图3.5 2l =球面波分量图 图3.6 3l =球面波分量图
⑤曾谨言.量子力学（卷I ），第四版.北京：科学出版社，2007.426-431 ③梁昆淼.数学物理方法，第三版.北京：高等教育出版社，1998.371
从图中我们可以清晰的看到各级球面波的对称性，以及各分量的大小，幅值随级次增大的变化趋势等。
同样的，我们将波函数也做相同的级数展开，写为
00()()l l l R kr Y θ∞
=ψ=∑
其中()l R kr 在()0V r =时就是()l j kr 。将级数形式的波函数带回薛定谔方程
2
2[()]2V r E μ
-
?+ψ=ψ
由球谐函数0()l Y θ的正交性可以得出一系列分离的方程
22
22
1(1)[
()]0l d d l l r k U r R r dr dr r
++--= (0,1,2,...)l = 其中2
()2()/
U r V r μ=。以及波函数应满足的边界条件
Scattering
ikz ikz sc e e ????→ψ=+ψ
()ikr
r sc e f r
θ→∞
ψ???→
其中()f θ为散射波幅，依照分波法的思路，它也可对应写为各分波散射波幅()l f θ的叠加
()()l l
f f θθ=∑。
至此，我们已经掌握了入射波、方程及边界条件的分波形式，得到的分波方程较原方程要简单得多。由相应的微分方程理论可以得到各分波散射波幅()l f θ的表达式，叠加得到
散射波幅()f θ，进而求出散射截面的表达式2
()t f d σθ=Ω?。一般情况下只用考虑前两三个分波就可以得到很好的近似结果了，这也是分波法的优越之处。
五、傅里叶级数、傅里叶变换的意义
众所周知，我们一直将傅里叶级数、傅里叶变换、FFT 看作是向频谱空间的变换，这从其三角级数的形式本身可以看出，当然对于复数形式，我们也可以借助量子力学解释，其展开函数ik e r 正是动量=p k 的本征函数，因此傅里叶变换正是向动量空间的变换，而我们知道动量空间实际上与频率空间是一致的。事实上，正是由于傅里叶级数、傅里叶变换、FFT 所具有的这个物理意义才使得其在频谱分析中得到广泛应用。
而另一方面，我们从傅里叶级数、傅里叶变换、FFT 、广义傅里叶级数的实际应用例子中可以明显地看到它们在解决实际问题时的思路无外乎以下两点： （1）将复杂的问题分解为若干简单的问题求解 （2）将纠缠的问题通过变换分离开来
如果我们抛开傅里叶级数法、傅里叶变换本身，而仅从这两点出发，我们便可以看到傅里叶级数法、傅里叶变换的更深层次的意义。它为我们提供了一种解决问题的思路，如果我们可以用不同的变换方法将复杂的问题分解化，将纠缠的问题分离化，我们就可以用这种变换来处理问题。
六、总结及结论
以上综述了傅里叶级数、傅里叶变换、FFT 、广义傅里叶级数的理论基础；实现了它们 的MatLab 可视化；举例讨论了它们在实际各方面的应用。通过对理论基础的对比我们可 以看到它们之间的相互联系与区别，知道了傅里叶级数、广义傅里叶级数法的建立基础，并认识到发展出傅里叶变换、DFT 、FFT 的理论根基。通过MatLab 可视化，我们直观而形象地看到了它们各自的特征、特点，更好的理解了它们的数学、物理意义。最后通过在实际各方面的应用，我们看到了它们在实际中的应用方式、方法，并对其能够解决的各类问题有了一个大致的了解。最终，总结出了它们解决实际问题的思路主体在于将复杂的问题分解化，将纠缠的问题分离化。
附录
程序
例1.1：
傅里叶系数计算：syms x H k tao T
int(H*exp(-1i*2*k*pi/T*x)/T,x,-tao/2,tao/2)
绘制图像：H=1;T=2;tao=0.25;
for k=1:20
y(k)=abs((H*sin((pi*k*tao)/T))/(pi*k));
end
y=[H*tao/T,y];
x=0:20;
stem(x,y,'bo','MarkerFaceColor','b')
例2.1：
N=64;H=1;tao=0.25;T=2;
y=zeros(1,N+1);
for k=1:N+1;
if(-T/2+k*T/N>=-tao/2)&&(-T/2+k*T/N<=tao/2) y(k)=1;
end
end
Y=fft(y);
Y(1)=[ ];
n=fix(length(Y)/2);
x1=-50:1/10:50;
y1=abs(sin(tao*x1/2)./x1/pi)/pi;
plot(x1,y1,'r-','LineWidth',2)
hold on
plot((1:n).*pi,abs(Y(1:n)/length(Y)/10),'b-.','LineWidth',3) axis([-50 50 0 0.015])
hold off
例2.2：
t = 0:0.001:0.5;
x = sin(2*pi*50*t) + 0.8*sin(2*pi*120*t)+2*sin(2*pi*70*t);
y = x + 2*randn(size(t));
Y = fft(y);
freq=(0:length(Y)-1)/length(Y)*1000;
figure(1)
plot(t,y)
axis([0 0.1 -8 8])
figure(2)
plot(freq,2*abs(Y)/501)
axis([0 500 0 2])
例2.3：
a=imread('F:\Xs.JPG');
x1=rgb2gray(a);
D0=50;D1=65;
[M,N]=size(x1);
filt=zeros(M,N);
for i=1:M,
for j=1:N,
x(i,j)=x1(i,j)+100*sin(1*i+1*j);
if or(abs(i-M/2)<=D0,abs(i-M/2)>=D1),
filt(i,j)=1;
end;
end;
end;
freq_im=fft2(x);
freq_im=fftshift(freq_im);
y=(1/(M*N))*freq_im;
filt_im=freq_im.*filt;
new_freq=ifftshift(filt_im);
new_im=ifft2(new_freq,M,N);
y1=abs(filt_im);
figure(1)
imshow(x1);
figure(2)
imshow(x);
figure(3)
imshow(abs(y));
figure(4)
imshow(abs(new_im),[ ]);
例3.1：⑥
[X,Z]=meshgrid((0:0.1:3),(0:0.1:2));
[Q,R]=cart2pol(X,Z);
R(R==1)=NaN;
u=1./sqrt(1-2.*R.*cos(Q)+R.^2);
figure(1)
meshc(X,Z,u)
axis([0 3 0 2 0 10])
Rin=R;
Rin(Rin>1)=NaN;
Rout=R;
Rout(Rout<1)=NaN;
Uin=1;
Uout=1./Rout;
for l=1:20
Leg=legendre(l,cos(Q));
Legl=squeeze(Leg(1,:,:));
uin=Rin.^l.*Legl;
uout=1./Rout.^(l+1).*Legl;
Uin=Uin+uin;
Uout=Uout+uout;
end
figure(2)
meshc(X,Z,Uin)
hold on
meshc(X,Z,Uout)
xlabel('x')
axis([0 3 0 2 0 10])
例3.2：⑥
[X,Z]=meshgrid(-5:0.1:5);
[Q,R]=cart2pol (X,Z);
sqrtR=sqrt(pi/2./R);
Leg0=legendre(0,cos(Q));
Bes0=sqrtR.*besselj(0,R);
qiu=Bes0.*Leg0;
⑥彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化.北京：清华大学出版社，2004.54、57
figure(1)
surfc(X,Z,qiu)
for k=1:3
Leg=legendre(k,cos(Q));
Legk=squeeze(Leg(1,:,:));
Bes=sqrtR.*besselj(k,R);
qiuk=Bes.*Legk;
figure(k+1)
surfc(X,Z,qiuk)
end
参考文献
[1]R.Courant，D.Hilbert.Methods of Mathematical Physics（Volume I），Wiley,1989
[2]张志涌.精通MATLAB6.5.北京：北京航天航空大学出版社，2003
[3]梁昆淼.数学物理方法，第三版.北京：高等教育出版社，1998
[4]侯朝焕，阎世尊，蒋银林.实用FFT信号处理技术.北京：海洋出版社，1990
[5]曾谨言.量子力学（卷I），第四版.北京：科学出版社，2007
[6]彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化.北京：清华大学出版社，2004
致谢
本论文是在导师郭怀明老师的悉心指导下完成的。郭老师治学严谨，对待科学研究严肃认真。从选题到到资料的收集、资料的阅读、论文内容的研究探讨，一直到最终完成论文，郭老师自始至终都对我进行了细心的指导。郭老师对资料的答疑解惑，对论文中涉及到的内容和问题的探讨，以及提出来的很多宝贵的建议都是我受益匪浅。在此，对郭怀明老师表示特别的感谢！
英文原文
§5.Fourier Series
1.Proof of the Fundamental Theorem.It follows from the considerations of §1 and from the orthogonality of the trigonometric functions that the best approximation in the mean of degree n is obtained by the so-called Fourier polynoial
01
1
()(cos sin )2n
n s x a a x b x νννν=++∑
With
1
()cos a f x xdx π
νπνπ
-
=
? (1,2,ν=…,n)
（15） 1
()sin b f x xdx π
νπνπ
-
=
? (1,2,ν=…,n) 01
()a f x dx π
ππ
-
=
? The polynomial may also be written in the more concise form
2,0,v a ib v ννα=->
()n
i x
n r n
s x e ν
να=-=
∑ 002,a α=
2,0,v a ib v ννα=+<
（15’） 1
()2i x f t e dt π
ννπ
απ
--
=
? (0,1,2,ν=±±…)
Is virtue of the relation sin i x x i x e ννν+=cos .
It is not a priori certain that these polynomials, which yield the best approximation in the mean, also yield a uniform approximation to the function —i.e. it is not certain that the inginite series lim ()n n s x →∞ converges uniformly and represents the function f(x). This question is the central problem of the theory of Fourier series.
For the sake of convenience we shall suppose that the function f(x) is initially defined only in the interval x ππ-<<,and the continued periodically beyond this interval by the functional equation (2)()f x f x π+=. Furthermore, at each jump discontinuity, we requier f(x) to be equal to the arithmetic mean of the “right-hand ” and “left-hand ”limits,
0(0)lim ()h f x f x h →+=+ and
0(0)lim ()h f x f x h →-=-(h>0), respectively; i.e. we set 1
()[(0)(0)]2
f x f x f x =++-.
The following theorem then holds: Every function which is piecewise smooth in
the interval x ππ-≤<≤ and periodic with the period 2π may be expanded in a Fourier series;that is, the Fourier polynomials
01
1
()(cos sin )2n
n s x a a x b x νννν=++∑
Converge to f(x) with increasing n. Moreover, we shall prove: Theconvergence of the Fourier series is uniform in every closed interval in which the function is continuous.
We shall forst give the proof for the case of continuous f(x) in which discontinuities occur only in the derivative f ’(x). If the expansion coefficients of f ’(x) are denoted by να and νβ, we have
1
'()()sin f x xdx f x xdx b π
π
ννππν
ανννππ--
=
=
=??cos ，
1'()()f x xdx f x cos xdx a ππ
ννππνβνννππ--
==-
=-??sin ，
00α=
Since f ’(x) is piecewise continuous, we have the completeness relation
2
2
2
22211
1
'()()()f x dx a b π
ννννπ
νναβνπ
∞∞
-
===+=+∑∑?。
Thus
1.前言 1.1背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以 使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积 分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属 于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变 换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成 分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例 如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 成分。Pierre Simon Laplace （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他 的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理 论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉 斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理 学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛 （1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方 法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论 的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依 据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也 是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉 普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并 且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识 定理1.2.1（傅里叶积分定理）
论文编码：首都师范大学本科学生毕业论文 傅里叶变换的可视化及应用研究 作者：吴晓龙 院系：物理系 专业：物理学（师范） 学号： 1070600080 指导教师：郭怀明 日期： 2011年5月9日
中文提要 傅里叶变换是由实空间向频谱空间的变换。傅里叶变换的重要性在于很多实际问题在频谱空间更易处理，而快速傅里叶变换的发展则使之更便于应用。本文涉及傅里叶级数、连续傅里叶变换、快速傅里叶变换、广义傅里叶级数，旨在介绍它们之间的区别与联系，并探讨它们在MatLab中的可视化实现方法，以及在实际中的应用。本文最后还对傅里叶变换的意义做了简单探讨。 关键词：傅里叶级数傅里叶变换快速傅里叶变换可视化
Abstract Fourier Transform is a kind of transformation from the real-space to frequency-space. The reason why Fourier Transform is important is that many realistic problems are more easily to be solved in frequency-space. Specially,the development of Fast Fourier Transform make it more convenient to use. This paper reviews Fourier Series,Fourier Transform, Fast Fourier Transform and Generalized Fourier Series. We discuss the relationship and the difference among them,and introduce their applications in realistic problems,then visualize them in MatLab. Finally，we make some comments on the meaning of Fourier Transform. Keywords：Fourier Series Fourier Transform FFT Visualization
傅里叶变换在信号处理中的应用 姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013 摘要： 傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。 关键词： 傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。 一傅里叶变换 1.定义 f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ① 傅里叶变换 傅里叶逆变换 2.分类 连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}} \int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω.
傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种
河北联合大学 本科毕业设计（论文） 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日
题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.doczj.com/doc/df15608134.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人
浅谈傅里叶变换及其应用 一．由来 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 二．概要介绍 1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函 数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。——（1） 2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为 常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性 质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。 三．计算方法 连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。 连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为
即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。 一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。 四．应用领域 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。 五．简介离散傅里叶变换的应用。 DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的 是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算 法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。）。 1.频谱分析 DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率 （见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄 漏。 2.数据压缩 由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语 音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信 号。
铜陵学院 信号分析与处理期末考查论文系别电气工程系 专业电气工程及其自动化1班年级11级 学号1109141003 姓名陈爱东 授课教师董德智 2013年6月18 日
快速傅里叶变换在数字信号分析与处理中的应用 摘要 快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。 关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用 绪论 傅立叶变换在生产生活中的重要性非常突出，它将原来难以处理的时域信号相对比较容易地转换成了易于分析的频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，把信号转化为可以对其进行各种数学变化的数学公式，对其进行处理。最后还可以.利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号，它是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。然尔，它在运算上过于复杂，过于宏大的运算过程，对于一些相对简单的低功耗处理器来说，难以自如应对，因此，快速傅里叶变换则显出了它的优越性。快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。对于计算机处理信号方面上是一大进步。系统的速度不但取决于本身的速度，而且还在相当大的程度上取决于算法，算法运算量的大小直接影响着对设备的控制质量。通过傅立叶变换（DFT），运用测试软件进行检测，可以看出快速傅里叶变换大大的提高了运算速度，它为各系统的设计提供了简单算法，有着十分重要的意义。 一.快速傅里叶变换原理
2020年傅里叶变换的可视化及应用研究精 编版
论文编码：首都师范大学本科学生毕业论文傅里叶变换的可视化及应用研究 作者：吴晓龙 院系：物理系 专业：物理学（师范） 学号： 1070600080 指导教师：郭怀明 日期： 2011年5月9日
中文提要 傅里叶变换是由实空间向频谱空间的变换。傅里叶变换的重要性在于很多实际问题在频谱空间更易处理，而快速傅里叶变换的发展则使之更便于应用。本文涉及傅里叶级数、连续傅里叶变换、快速傅里叶变换、广义傅里叶级数，旨在介绍它们之间的区别与联系，并探讨它们在MatLab中的可视化实现方法，以及在实际中的应用。本文最后还对傅里叶变换的意义做了简单探讨。
关键词：傅里叶级数傅里叶变换快速傅里叶变换可视化 Abstract Fourier Transform is a kind of transformation from the real-space to frequency-space. The reason why Fourier Transform is important is that many realistic problems are more easily to be solved in frequency-space. Specially,the development of Fast Fourier Transform make it more convenient to use. This paper reviews Fourier Series,Fourier Transform, Fast Fourier Transform and Generalized Fourier Series. We discuss the relationship and the difference among them,and introduce their applications in realistic problems,then visualize them in MatLab. Finally，we make some comments on the meaning of Fourier Transform.
傅里叶变换应用 内容摘要： 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等地作用。 傅里叶变换应用的领域之多是令人吃惊的。通常，在研究的一个学科分枝中的熟悉概念，在另一个学科分支中稍有不同。例如，相衬显微镜的原来使我们联想到鉴频调制电路，对两者的解释都可以采用变换形式用同样的方法方便的进行。再比如，统计学中的问题可以使用在级联放大器研究中熟悉的方法。傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用。傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化了计算工作量，被喻为描述图像信息的第二种语言，广泛应用于图像变换，图像编码与压缩，图像分割，图像重建等。傅里叶变换是大家所熟知的正交变换。在一维信号处理中得到了广泛应用。
实验二、应用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析 一、 实验目的 1、 加深对DFT 算法原理和基本性质的理解，熟悉FFT 算法原理。 2、 掌握应用FFT 对信号进行频谱分析的方法。 3、 通过本实验进一步掌握频域采样定理。 4、 了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中 正确应用FFT 。 二、 实验原理 1、 一个连续时间信号()a x t 的频谱可以用它的傅里叶变换表示为： ()()j t a a X j x t e dt +∞ -Ω-∞ Ω=? 如果对信号进行理想采样，得： ()()a x n x nT =， 其中，T 为采样周期。对()x n 进行Z 变换，得： ()()n n X Z x n z +∞ -=-∞ = ∑ 当jwt z e -=时，我们便得到序列傅氏变换SFT ： ()()jw jwn n X e x n e +∞ -=-∞ = ∑ 其中w 称为数字角频率：/s w T F =Ω=Ω。
2、12()[()]jw a m w m X e X j T T T π+∞=-∞=-∑，序列的频谱是 原模拟信号频谱的周期延拓，这样，可以通过分析序列的频谱，得到相应连续信号的频谱。 3、离散傅里叶变换（DFT ）能更好的反映序列的频域特性。 当序列()x n 的长度为N 时，它的离散傅氏变换为： 1 0()[()]()N kn N n X k DFT X n x n W -===∑ 它的反变换为： 10 1()[()]()N kn N n x n IDFT X k X k W N --===∑ 比较Z 变换式和DFT 式，令k N z W -=，则 10 ()|()[()]k N N kn N z W n X z x n W DFT X n --====∑ 因此有 ()()|k N z W X k X z -== 即k N W -是z 平面单位圆上幅角为2/w k N π=的点，也即是将单位圆 N 等分后的第k 点。所以()X k 是()x n 的Z 变换在单位圆上的 等距采样，或者说是序列傅氏变换的等距采样。 三、 如何提高估计精度 增大做FFT 运算的点数 四、 幅频特性曲线及结果分析
傅里叶变换及其应用 一． 傅里叶变换 傅里叶变换（Fourier 变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。傅里叶变换是一种线性的积分变换，在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如快速傅里叶变换和离散傅里叶变换。 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。 二． 计算方法 连续傅里叶变换将平方可积的函数f （t ）表示成复指数函数的积分或级数形式。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f （t ）的积分形式。 可以把傅里叶变换也成另外一种形式： t j e t f F ωπω),(21 )(= 可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。 )(2,21)(2121Ω-Ω==?Ω-ΩΩΩπδdt e e e t j t j t j 下面从公式解释下傅里叶变换的意义 因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和t j e ω求内积的时候，只有f(t)中频率为ω的分量才会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)