定积分的计算方法研究毕业论文

编号2013110110研究类型理论研究分类号O17

学士学位论文

Bachelor’s Thesis

论文题目定积分的计算方法研究

作者姓名施莉

学号2009111010110

所在院系数学与统计学院

学科专业名称数学与应用数学

导师及职称许绍元教授

论文答辩时间2013年5月25日

湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书

目录

1.定积分的产生背景及定义 (3)

1.1曲边梯形面积 (3)

1.2定义1 (3)

1.3定义2 (3)

2.定积分的几种计算方法 (4)

2.1定义法 (4)

2.2换元法求定积分 (4)

2.3牛顿莱布尼兹公式 (8)

2.4利用对称原理求定积分 (10)

2.5利用奇偶性求函数积分 (13)

2.6利用分部积分法计算定积分 (15)

2.7欧拉积分在求解定积分中的应用 (16)

3.结论 (20)

4.参考文献 (20)

定积分的计算技巧研究

施莉（指导老师：许绍元）

（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）

内容摘要：定积分在微积分中占有极为重要的位置，它与微分相比，难度大、方法灵活﹒

如果单纯的按照积分的定义来计算定积分，那将是十分困难的﹒因此，我们

要研究定积分的计算方法﹒常用的方法有定义法、莱布尼兹公式法、分步积

分法、换元法以及其他的特殊方法﹒下面我们将探讨一下定积分的计算技巧﹒

本文主要根据定积分的定义、性质、被积函数的奇偶性和对称性、以及某些

具有特征的函数总结了牛顿莱布尼兹公式、换元法、分部积分、凑微分﹒目

前，对于定积分的求法和应用的研究是比较全面和完善的﹒我们要学会总结

归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法﹒同时，将定积分

应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的﹒关键词：定积分；求法；应用

定积分的计算技巧研究

1.定积分的产生背景及定义

1.1曲边梯形面积

设f 为闭区间上的连续函数，且由曲线直线以及轴所围成的平面图形，成为曲边梯形

11()()i i i n

i x x i i i S f x x ξ=-=≈∆∆=-∑

变力做功：

11()()i i i n

i x x i i i W f x x ξ=-==∆∆=-∑

定积分的意义：

定义1：设闭区间上有1n -个点，依次为：0121n n a x x x x x b -=<<<

<<=,它们把

[],a b 分成n 个小区间i ∆=[]1,i i x x -，1,2,3,,i n =﹒这些分点或者这些闭子区间构成

[],a b 的一个分割，记为：{}011,,

,,n n T x x x x -=或者{}12,,,n ∆∆∆，小区间i ∆的长度记

为i x ∆=i x -1i x -，并记：T =max {}i x ∆,称为T 的模﹒

注：由于i x ∆≤T ，1,2,3,

,i n =，因此T 可用来反映[],a b 被分割的细密程度﹒

另外，分割一旦给出，T 就随之而确定；但是，具有同一细度的分割却有无限多﹒ 1.2定义1

设f 是定义在[],a b 上的一个函数，对于[],a b 的一个分割{}12,,

,n T =∆∆∆，任取

i i ξ∈∆，1,2,3,

,i n =，并作和式1

()i i n

i x i f ξ==∆∑，称此和式为f 在上的积分和，也是黎曼

和﹒显然积分既和分割T 有关，又与所选的点集{}i ξ有关﹒ 1.3定义2

设f 是定义在上的一个函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一正

数，使得对的任一分割T ，以及在其上任选的点集，只要T δ≤就有

1

()i

i n

i

x i f J ξε==∆

-<∑，

则称f 在[,]a b 上可积或者黎曼可积﹒记作J =()b

a

f x dx ⎰﹒其中，f 称为被积函数，x 为积分

变量，为积分区间，\a b 为积分的下限和上限﹒

几何意义：设()f x 为闭区间上的连续函数，定积分的值由曲线()y f x =在x 轴上方部分所有曲边梯形的证面积和下方所有曲边梯形的负面积的代数和﹒

2.定积分的几种计算方法

2.1定义法

通过对积分区间作等分分割，并取适当点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分:

1

30

x dx ⎰

.

解：i i

n

ξ=

则1

3

0x dx ⎰=311lim ()i n

n i i n

n =→∞=∑=2333

2441

11

lim (12)lim (1)44

n n n n n n n →∞→∞++

+=+=.

另外，在求数列极限时，有时也可根据定积分的意义定义化成求定积分的运算。 例：33

34

1lim

(12)n n n →∞+++.

解：333

41

lim (12)n n n

→∞++

+=311lim ()i n

n i i n n =→∞=∑=13

0x dx ⎰=4140x =14.

2.2换元法求定积分

利用换元法求定积分时，要注意换元的条件，要满足在积分区间上单调切具有连续导数。在做变量替换的同时，应相应替换积分的上限和下限。被积函数f(x)、积分上、下限(),a b 、积分变元的微分dx 三者同时替换。换元后不必换成原定积分的变量，直接利用牛顿莱布尼兹公式计算。

定理：设函数()f x 在区间[],a b 上连续，函数()x t ϕ=，满足条件：