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例9.已知A,B,C为三个正角. 且sin2A+sin2B+sin2C=1. 求证: A+B+C<900.
解:假设A+B+C ≥900, 由于A,B,C为三个正角, 所以 它们都为锐角, 且有cos(A+B)<cos(A-B). 1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B) <1-cos2(A-B) ≤1. 矛盾! 假设不成立. 从而, A+B+C<900.
例8. 已知 : f (x)=x2+px+q. 求证 : |f (1)|, |f (2)|, |f (3)|中至少有一个不小于 ½.
1 解：假设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 都小于 . 2 由题意, f (1) 1 p q, f (2) 4 2 p q, f (3) 9 3 p q 有 f (1) 2 f (2) f (3) 2 所以 2= | f (1) 2 f (2) f (3) | ≤ | f (1) | 2 | f (2) | | f (3) | 1 1 1 < +2× + =2，矛盾! 假设不成立,原结论成立。 2 2 2
已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD 不全是直径 C 求证：AB、CD不能互相平分。 P
A O
B
D
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例5.求证： 2 是无理数.
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n ∴ m = 2n ∴ m 2 = 2n2
从而有4k = 2n ，即n = 2k
2 2 2 2
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2） 0 = ∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
4
例4.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能 互相平分.
选修1-2：第三章 推理与证明
韩城· 象中· 毋宁
例1. 已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个数是偶数。
证明：设整数a的平方能被2整除.
假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2m+1(m是整数) ∴a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1 ∴a2是奇数，与已知矛盾。 ∴假设不成立，所以a是偶数。
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例6.已知a+b+c>0, ab+bc+ca>0, abc>0.
求证: a,b,c>0
证明: 假设c<0, 则a+b>0, ab<0.
ab+bc+ca=ab+(a+b)c<0. 矛盾!假设不成立.
所以, a,b,c>0.
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例7.已知0<a,b,c<1, 求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a不可能同时大于1/4. 证明: 假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a同时大于1/4. 则 1-a +b (1-a)b > 1 b-a >0 (1), 2 2 1-b+c 1 (1-b)c > c-b>0 (2), 2 2 1-c +a 1 (1-c)a > a-c >0 (3). 2 2 (1)+(2)+(3)得: 0>0,矛盾! 假设不成立.
9 所以,(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a不可能同时大于1/4.
例7.已知0<a,b,c<1, 求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a不可能同时大于1/4. 证明: 假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a同时大于1/4. 1 1 则 (1 a)b a (1), 4 4b 1 1 (1 b)c b (2), 4 4c 1 1 (1 c)a c (3). 4 4a 1 1 1 (1)+(2)+(3)得: 3 (a ) (b ) (c ) 3 4a 4b 4c 10 矛盾! 假设不成立.原结论成立.
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推理 合情推理 （归纳、类比） 证明 直接证明 （分析法、综合法） 间接证明 （反证法） 演绎推理 （三段论）
数学—公理化思想
13
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
6
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论；
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 这一类的命题；
(4)结论为 “唯一”类的命题。
正难则反!
2
例2.证明：如果a>b>0，那么 a > b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
Hale Waihona Puke Baidu
故假设不成立，结论 a > b成立。
3
例3.已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有 一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
