第2章 粉体粒径分布的函数形状指数

数正态频率分布函数式为（2.17）：
q（0 lnDp）
1
2 ln g
（lnDp lnDg）2
e
2ln 2 g
d（dlQn0Dp）（2.17）
第2章 粉末的性能与表征
式2.17的频率分布函数也可转变为累积分布函数，如式 （2.18）：
Q0
1
2 ln g
e d（lnD ) Dp （lnD2lpn2lnDg g）2
❖ RRB能比较好的反应工业上粉磨产品的粒径分布
特性，被广泛使用。
第2章 粉末的性能与表征
2.1.3 平均粒径
设颗粒群粒径分别为：d1，d2，d3，d4，d5…di…dn 组成的集合体，其物理特性可表示为函数f(d)，f(d) 由组成粉体的各个粒径函数的加成表示，关系式为 (2.24)：
f(d)= f(d1)+ f(d2)+ f(d3)+… + f(dn) （2.24） 若将粒径不等颗粒群想象成由平均粒径D均一球 形颗粒组成，那么其物理特性可表示为f(d)= f(D)。 基于上述定义，可以推导出以个数为基准和质 量为基准的平均径计算公式。
a
,（ x）dx
1
（2.13）
a称为正态分布的位置参数，a愈大，函数图形越向右侧移 动。
σ的大小与曲线的形状有关，σ越小，曲线越尖陡，粒度分 布取值越集中，粒度分布越窄；σ越大，则相反。通常称σ为正 态分布的形状系数。
第2章 粉末的性能与表征
图2.10 正态分布函数图形
第2章 粉末的性能与表征
用正态分布函数表征粉体粒径分布时，x指颗粒粒径，a为
平均粒径 (Dp)，φ(x)表示颗粒x频率分布函数，是指颗粒数、质 量或其他参数对粒径的导数。若以个数为基准，粒径正态频率
分布函数式表示为：
q（0 Dp）
1
2
（Dp Dp）2
e 2 2
（2.14）
其中：
Dp
ni D pi N
（2.15）
[
第2章 粉末的性能与表征
2.1.2.4 粒径分布函数
1
正态分布
2
对数正态分布
3
Rosin-Rammler (WEIBULL分布）
第2章 粉末的性能与表征
（1）wk.baidu.com态分布
自然界中，凡是随机现象均是许多偶然因素共同作用的 总和，一切随机现象都具有其必然性，即它们出现的频率总 是符合统计规律地在某个常数附近摆动，这个随机现象的概 率模型就是正态分布。
De——特征粒径，表示颗粒宏观上的粗细程
度。
当Dp =De时， ，即 Q0 1 e-1 0.632 ，De定义为
累积分数达63.2%时的粒径。
第2章 粉末的性能与表征
依据表2.5数据， 绘制出粉末颗粒 的Rosin-Rammler 累积分布如图2.12 所示。
图2.12 粒径的Rosin-Rammler累积分布图
正态分布的概率密度函数（频率分布的函数）由式 （2.12）给出：
a,
1
2
( a)2
e 2 2
（2.12）
式中: x——自变量； a——平均值； σ——标准偏差。
第2章 粉末的性能与表征
图2.10 给出了不同参数的正态分布密度函数图形。其 中：a=0，σ=1为标准正正态分布，此时的正态分布函数 为式（2.13）：
ni (Dpi
Dp )2
1
]2
（2.16）
N
式中 ni——直径为Dpi的颗粒数量；
N——颗粒总数；
Dp ——与累积含量为50%时的粒径相对应（Q0=0.5）。
第2章 粉末的性能与表征
（2）对数正态分布
粉体的粒径分布有时也出现非对称分布，这时将正
态分布函数中的Dp和σ分别用ln
D
和
p
lnσg取代，得到对
0
p
（2.18）
几何平均粒径Dg和几何标准偏差σg分别由式(2.19)和式(2.20) 给出：
lnDg
ni ln Dpi N
（2.19）
ln n（i ln Dpi ln Dg）2
g
N
（2.20）
第2章 粉末的性能与表征
依据表2.5数据，绘制出图2.11粒径的对数正态分布图。虚 线和实线分别表示以质量为基准和以数量为基准，显然两者分 布明显不同。
d由D代替，得:
n1 D1+n2 D2+n3 D3+…ni Di…nnDn =∑(nD)=D∑n=f(D )
(2.26)
第2章 粉末的性能与表征
由f(d )= f(D )可得
∑（nd）= D∑n
（2.27）
整理（2.27）式可得式（2.28）：
D =∑(nd) /∑n
（2.28）
此粒径即为以个数为基准的个数平均径。
【例2】设颗粒是边长为d的立方体，颗粒群的总质
量为∑m，颗粒密度为ρp，试由比表面积的定义函数求 平均粒径。
第2章 粉末的性能与表征
解：比表面积定义为：
f(d )=
（6nidi ni pd
2） 3
i
（6nd m
2）
(2.29)
当全部颗粒视为边长为D的立方体时：定义函数
为式为：
f（D） （6nD2） （6nD2） （2.30）
图2.11 粒径的对数正态分布
第2章 粉末的性能与表征
（3）Rosin-Rammler（WEIBULL）分布 粉碎后粒径分布范围很宽 的细粉，利用对数正
态分布函数计算时偏差仍然很大。Rosin、Rammler和 Sperling等人通过对煤粉、水泥等物料粉碎实验的概 率和统计理论研究归纳出用指数函数表示的粒径分布 关系式，称为RRS方程。累积分布表达式(2.21)为：
np D3
m
由f(d )= f(D )可得出式（2.31）：
（6nd 2） （6nD2）
=
m
m
(2.31)
第2章 粉末的性能与表征
第2章 粉末的性能与表征
【例1】设粉末由d1，d2，d3，d4，d5…di…dn颗粒组 成，每种颗粒个数对应为n1，n2，n3，n4，n5…nn， 试由颗粒总长这一特性推导其平均粒径。
解：颗粒群的总长可表示成式（2.25）：
n1d1+n2d2+n3d3+…ni di…nndn=∑(nd)=f(d ) (2.25) 将全部颗粒视为粒径为D均一颗粒，式(2.25)中的
Q0 1 e-bDnp
（2.21）
1 在此基础上经过Bennet研究，取 b= Den ，则指数 一项可写成无因，次项，既得到RRB方程，累积分布表
达式为（2.22）：
第2章 粉末的性能与表征
（ D p ） n
Q0 1 e De
（2.22）
式中: n——均匀性指数，表示粒径分布范围的宽 窄，与 粉体物料的性质及其粉碎设备 有关， 对于同一种粉体，n为常数；