庞加莱猜想运用篇

（一）

庞加莱是法国数学家，1904年他在一组论文中提出有关空间几何结构的猜想，但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，这就是“庞加莱猜想”：在一个三维空间中，

假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。后来，

这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。丘成桐院士认为，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界流形性质

的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。

庞加莱猜想证明对用数学语言描述宇宙空间产生重要影响，我们可举在超弦理论上的

应用来说明。

首先我们要对庞加莱猜想的“点”作一个约定：庞加莱猜想中的“点”可以指数轴、

坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点......而不能指我们说的“曲点”和“点内空间”的点，不然就会产生矛盾。

因为我们说的“曲点”，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及“环绕数”收缩成的一点---如圈是“绳”一致分布中间没有打结的封闭线；在这种纽结理论定义中，两个圈套圈的

纽结，有一个交点；如果这种圈套圈有两次纽合，圈套圈的纽结“点”就包含了“环绕数”，把有一个以上“环绕数”的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个“曲点”。即“曲点”最直观的数学模型，是指包含“环绕数”的点。而我们说的“点内空间”的点，是指虚数一

类虚拟空间内的“点”。

如果把“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间

一定是一个三维的圆球”称为“庞加莱猜想正定理”，那么“曲点”和“点内空间”正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线

都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面---我们称为“庞加莱猜想逆定理”。庞加莱猜想至少有两个来源---一个是函数论，一个是代数拓扑学。

即有人认为，19世纪是函数论的世纪，庞加莱因发明自守函数而使函数论的世纪大放

异彩的。所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数。自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广。自守函数今天已包括那些在变换群

或这个群的某些子群作用下的不变函数。此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全

是不连续的。庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他

把这种群叫克莱因群。对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换

下不变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数。此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表

示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分。自守函数提供了具有某种奇点的解析

函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线。代数曲线的参考化定

理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值化定理”，这等

价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射。

其次，庞加莱是代数拓扑学(组合拓扑学)的奠基人，最先系统而普遍地探讨了几何学

图形的组合理论。现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造---其中

有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念

以及从该矩阵计算贝蒂)数的方法。籍助这些方法，庞加莱发现关于流形的同调的著名的对

偶定理；定义了基本群(第一个同伦群)，并证明它与一维贝蒂数的关系，还把贝蒂数和微

分形式的积分联系在一起，以及欧拉多面体定理的推广---现称之为欧拉—庞加莱公式：

x（D）=F－E+V （1）

这个式子的右边是和三角剖分的方式有关，但实际上x（D）和剖分的方式无关，它是曲面的一个拓扑不变量。对于紧致曲面，边界曲线不出现，仍然可以作三角剖分，因可求得：

（1）球面：x=2；

（2）环面：x=0；

（3）二个洞的曲面：x=－2；

（4）n个洞的曲面：x=－2（n－1）。

根据拓扑学的定理可知，任何定向的二维紧致曲面的欧拉--庞加莱示性数总是取

2，0，－2，…，－2n，…中的一个，而且示性数相同的紧致曲面同胚。因此，x就完全给出了定向的紧致曲面的拓扑分类。称为s的亏格，即s的洞数。因此，可以求出：球面的亏格为0，环面的亏格为1，这也是球面与环面不同伦的区别。

亏格涉及事物的整体性质，20世纪以来，人们对整体性质研究得非常多，但其实很多性质仍然是从子系统的研究得出的。微分几何和拓扑学首先注意到，许多曲面，如球面，

环面，椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面等，都是一个整个，除了它们各个小片所具有的

几何性质外，还有整个曲面所具有的几何性质，称为整体性质。比如说，球面的任何一条

测地线都是闭曲线（大圆），又如平面上任何一条测地线（直线）可以无限延伸，这就是整体性质。设U为二维欧氏空间的一个矩形区域（a

的区域，如单位圆内部，平面上凸区域等，r(u，v) 是U到三维欧氏空间E3的一个映照。r(u，v)=(x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)) （2）

S是这个映照的像。球面、环面都是紧致的，而平面则是非紧致的。一般地，曲线可能穿

过若干个坐标区域，那么在每一坐标区域中都可有它自己的表达式，在每个区域中的部分，就可以计算出它的弧长。假设D是S上的一个区域，它的边界是由互不相交的n条简单的分段光滑闭曲线所组成；这些弧之间除连接点外没有交点，由拓扑学可知，可以把D三角剖分，即把D分割成许多以三条曲线段为边界的曲面三角形。如果所考察的曲面是定向的，设法线方向为大拇指方向，依右手规则可以定出每一三角形的边界的定向，这时内部边界

的定向刚好相互抵消。经过这样剖分后得出三个数：F是三角形的个数，E是边的条数，

V是顶点的个数，它们就是前面欧拉-庞加莱示性数（1）中符号表示。

正是庞加莱提出的“亏格”表示的洞数，直指“庞加莱猜想正定理”和“庞加莱猜想逆定理”；也直指超弦理论中构造的开弦和闭弦这两个不同的庞加莱猜想版本。因为按庞加莱猜想在一个三维空间中，开弦曲线及其开弦运动形成的二维膜上的每一条封闭的曲线，都能

收缩成一点，因此它们形成的空间是类似同伦、同调、同胚于一个三维的圆球的；相反，

闭弦曲线及其闭弦运动形成的二维膜上的每一条封闭的曲线，都不能收缩成一个“庞加莱

猜想点”，因此它们形成的空间不是类似同伦、同调、同胚于一个三维的圆球，而是类似我们说的“曲点”。

（二）

庞加莱猜想证明封顶，对解决超弦理论和圈量子引力理论的统一带来了曙光。道理就在单

孔收缩与双孔收缩的性质不一样，其统一路线图如下。

1、庞加莱猜想证明揭示了点有三种实在论的性质，可联系宇宙中的物质、能量和信息三个“要素”。例如，在一张纸页上放一粒沙（类似实物），是一个“点”；在纸上打个针孔眼（类似破裂、虚空），是一个“点”；在纸上作个笔尖墨迹印子（类似中性），是一个“点”。物质类实，可对应粒沙“点”；能量类虚，可对应针孔“点”；信息类中性，可对应墨迹“点”。所以对庞加莱猜想中的“点”首先要作个约定，证明才不会有矛盾。即约定：粒沙“点”和墨迹“点”是归属“庞加莱猜想点”；而针孔“点”是归属我们说的“曲点”。其次，数学要考虑形式上的构造，也要考虑实际意义，对庞加莱猜想中的“收缩”也要作个

约定：它类似连续统假设。所谓连续统假设指：在可数集基数和实数集基数之间再没有别

的基数。但中国古人对于无限的认识有“一日之棰，日取其半，万世不竭”；又有“至大无外，至小无内”。连续统假设建立在明确集合元素的意义和集合之间的关系是否相容，现有了连续统的“收缩”假设，就用不着反复讨论，否则可以无限的分下去，用老话讲就叫不

着边不靠谱。但同样的连续统在时间、空间、几何、数量的表示关系上是不一样的，数学

连续统假设的独立性存在任意性，有限与无限之间应该设定一个界限：集合永远不能属于

自身，全集合是不存在的；但绝不可以任意无原则的等同，庞加莱猜想中“收缩”的集合

条件是指，不管基数的大小即使量子化也是连续的，而对于没有现实意义的集合，这样做

没有意义。

2、用庞加莱猜想证明分析超弦理论并列构造的开弦、闭弦两个不同的庞加莱猜想版本，即开弦是对应在三维空间中，开弦曲线及其开弦运动形成的膜上的每一条封闭的曲线都能收

缩成“庞加莱猜想点”，因此是类似“庞加莱猜想正定理”对应的一个三维的圆球；而闭弦曲线及其闭弦运动形成的膜上的每一条封闭的曲线都不能收缩成“庞加莱猜想点”，因此是类似“庞加莱猜想逆定理”对应的一个三维的“曲点”。在超弦理论中开弦和闭弦是如何统一的呢？它是避开了庞加莱猜想这个程序，直接跳入轨形拓扑这个程序才解决的。因为在

有弦论之前，就有Kaluza-Klein理论考虑过有可能实际的空间是超过三维的：一加一维的

弦运动出来的这个曲面，存在的二维空间像一个管子一样，假设这个管子很细的话，在管

子的截面方向上均匀地分布的就是微小圈。把它变成三维跟二维的模拟的话，就是有两个

三维的空间，但是其中一个方向是被限制在一个很小的范围上，也许这个很小的距离加上

周期的边界条件，要求所有的物理量都有周期性的性质。但是为什么可以假设大部分的东

西都是在这个小的维度上均匀地分布呢？这是根据量子力学，这个在很小的维度的方向上

面如果有一个物质的质量有变化的话，那么总是可以对它分成正弦函数或者余弦函数的迭加，其中的每一个正弦或余弦函数，它对应到的动量或能量会和这里面出现的几个周期，

会由这个整数除以额外维度的宽度R这个数字决定。

3、用庞加莱猜想证明的分析，不但能分出了开弦与闭弦的对立，也能分出三维空间与额外维空间以及宏观与微观的定量区别。因为早在庞加莱猜想诞生之前，人们已经开始注意到

了庞加莱猜想中的“连续”与“间断”的共轭与区别，特别是19世纪末玻尔兹曼的“乌托子球”原子论对应庞加莱猜想的一个三维的圆球，能令人满意地解释固体、液体、气体和

等离子的许多性质，用其中的波尔兹曼常数能推出每立米中某种空气的“原子（分子）”数，为宏观与微观作出第一个的定量区别，从而加深了宏观与微观中粒子与波场的对立。

4、第二是在20世纪后的电子和光子等微观粒子的双缝实验中，“庞加莱猜想球”与“庞加莱猜想孔”在单缝实验中的粒子与波场的对立并不明显，从而加深了庞加莱猜想对宏观与

微观的再认识：即庞加莱猜想虽然把时空中分成了“连续”与“间断”的共轭，但在只有

一个“庞加莱猜想孔”的“间断”空间内，庞加莱猜想是等价的，即在“间断”的空间也

能收缩成一点；但在双缝实验类似有两个“庞加莱猜想孔”的情况下，“连续”与“间断”不能兼容，三维与额外维就以粒子与波场对立的几率幅的定量形式显示出来了。

5、第三是把单缝和双缝的缝宽与普朗克尺度作比较，电子等粒子的半径在大约10的－12

次方厘米到10的－15次方厘米对应的缝宽范围，动量和位置出现的不确定性显示的量子

干扰，是确定宏观与微观的又一定量区别；而且粒子的物质性与粒子的能量性的区别，定

量地显示出能利用庞加莱猜想反证的曲点，按戴德金的分割观点建构量子化---曲点自旋分割，产生时空和质能量子化曲点，沿相反方向的趋势飞散。其次，也不能再把时空曲点和

质能曲点当成是单独的一样东西；量子化由时间曲点和空间曲点对组成时空曲点群、质量曲点和能量曲点对组成质能曲点群。

6、于是再通过著名物理学家费曼拓展双缝实验建立的量子路径求和概念，就可以把超弦理论和圈量子引力理论的统一起来：费曼关于量子振幅的路径求和观点是：A、原始的双缝

实验，电子有两条可能的路径。B、源与探测器之间有两块屏，屏上共有五条缝，可能的

路径数目现在变成了六。C、插入更多的屏幕，每块屏幕上刻更多的缝，最后就跟完全没

有屏幕一样，电子从源S到探测屏D的总几率幅就变成了所有可能路径的求和。把费曼以上观点变成庞加莱猜想证明就是，A、原始的双缝实验，是两个“庞加莱猜想孔”式的曲点，电子有两条可能的路径。B、源与探测器之间有两块屏，屏上共有五条缝，是五个

“庞加莱猜想孔”式的曲点，可能的路径数目现在变成了六。C、插入更多的屏幕，每块

屏幕上刻更多的缝，类似时空全都是由曲点组成，最后时空就跟完全没有屏幕一样，电子从源S到探测屏D的总几率幅就变成了所有可能路径的求和。这个总几率幅是所有可能路径的求和，叫做超弦理论或圈量子引力理论的作用量，它是时空与质能内禀的度规和位置的矩阵的泛函，即可推出与现在超弦理论或圈量子引力理论相似的作用量公式。

（三）

把超弦/膜、圈量子引力、全息论变成“傻瓜”普及理论，接下来是利用庞加莱猜想证明仔细分析针孔眼“点”的那种庞加莱猜想式曲点的情况：时空是穿过针孔眼的，它实际上是环面。不管是用一张膜或一张纸，还是用两张膜或两张纸，作类似黎曼切口的轨形拓扑，可作25种卡--丘流形的规范轨形拓扑，且只能作25种；其中无孔的4种，有孔的21种。这实际是25种子流形，可联系25种宇宙模型或25种物质族基本粒子问题。由此，黎曼切口可等价环量子膜；点外时空或线外时空，点内时空或线内时空，它们的势能与动能，可分别对应能量与暗能量；而物质和暗物质，也可从环量子三旋规范夸克立方周期全表出发，以“量子避错编码”眼光看待，发现物质与暗物质共约162个量子编码，按广义泡利不相容原理及夸克的味与声的避错选择原则，宇宙物质约占24个。即可定义物质为宇宙量子避错码；暗物质为宇宙量子冗余码。

　从上面已知，在数学上，从庞加莱猜想对球量子与环量子“亏格”的几何拓扑分类看，超弦理论因保留有弦和圈不分，因此存在圈在先还是弦在先的问题。如果是弦在先，圈在后，有如下的“天使悖论”：在普朗克尺度数量级，这实际近乎一个点，超弦理论却认为它是一根不同振动模式的基本弦或膜，这实际近乎是一种曲线或曲面。如果赞成物质和时空存在“连续”与“间断”的想法，而对应实体和虚空，那么在高达10的15至19次方GeV的尺度上来观察自然时,就应赞成自然的终极组成不是粒子或场。就是说，在10的15至19次方GeV高能的作用下，可以聚焦到万有引力和量子理论中的基本长度单位---约为10的－33次方厘米的普朗克长度范围；由于场是多粒子系综状态，而对于是10的－33次方厘米之小，也许只能容下一个粒子。所以，若问在“乌托子环”三旋的“针尖”上能站几个“天使”跳舞？回答即使一个“天使”，也能由环量子自旋涨落分叉出正反粒子对的时空和物质场系综。但若问在超弦的“针尖”上能有几个“天使”跳舞？由于超弦用弦的场振动描述作用量，其悖论是，弦的振动驻波的波节，超出9个必然超出普朗克尺度规定的数量级；就是说，超弦“针尖”上的“天使”超出9个的小与多，都会与普朗克尺度规定的数量级相矛盾。若再问在圈量子引力理论的“针尖”上能有几个“天使”跳舞？圈量子引力理论没有困境，是因为它一开始就把普朗克尺度微单元和场的自旋网络并列的，即它的“针尖”既是站一个“天使”又是多个“天使”等着的，它们类似用圈套圈的纽结图组合的，“自旋”不是真正的环量子自旋。

圈套圈的纽结应用到普朗克尺度物理中，其耦合来自类似麦克斯韦的电磁场理论：变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场的联系，而形成一个不可分离的统一的场，这实际是一种“庞加莱猜曲点”套“庞加莱猜曲点”的线旋运动。这跟圈量子引力强调的理论必须背景独立是一致的：圈量子引力把广义相对论看成是一个以联络为位形变量，密度化的标架为动量变量的规范场论；因此利用曲点类似希尔伯特空间的由自旋网络函数为基构成的平方可积函数空间---相当于是无穷多个有限维希尔伯特子空间的直积空间，使其数学上可严格的定义出位形算符和动量算符，如几何算符的量子化，即面积、体积等几何量像原子能谱一样分立取值，而不是像经典理论那样可以连续的取值；这种分立性对应于动量在普朗克尺度下的截断，可解出曲点量子引力的运动学约束，得到了运动学希尔伯特空间。

而对于超弦理论的一根弦出现的又一个悖论是：弦只有普朗克尺度10的-33方厘米长，却具有普朗克质量大的质量；普朗克质量大约是质子质量的10的19次方倍。质量是由希格斯粒子提供，希格斯粒子质量大约是115GeV。根据物质族质量谱计算公式得出的Ve中微子质量是1.47X10的-11次方GeV，如以Ve中微子的质量作希格斯粒子质量的单位，希格斯粒子是Ve中微子的10的13次方倍。质量是由小组成大，没有由大组成小的；但超弦

理论和标准模型就有这个矛盾。质量曲点论主张希格斯粒子质量有微单元质量0.01X10的-11次方GeV，从而可把希格斯微单元与磁单极联系起来，解决弦在先圈在后的天使悖论。

这是把磁单极作弦，联系构筑闭弦旋圈。因为费曼认为，虽然至今尚无人见到磁单极，但磁单极的根本因素是粒子转动性质与它们的统计性质之间的联系：可以想象它像一根很长的条形磁铁，从磁铁的一端发出的磁通，就有点像这种磁单极发出的，因为另一端离开得很远。而一个电荷附近有一个磁单极，这个复合客体具有一个角动量的最简单方式是，一个电荷和一个磁单极连线组成的复合客体，以ω角度作圆锥面转动。而“庞加莱猜想”的曲点三旋是：体旋——曲点绕圈面内轴线的旋转，面旋——曲点绕垂直于圈面的圈中心轴线的旋转，线旋——曲点绕圈体内环状中心线的旋转。如果曲点三旋是“内禀”运动，就只能存在于环量子中。

在这里，曲点三旋称电荷和磁单极的连线为转轴，称电荷或磁单极为转点；环量子就是超弦理论认为的一维弦的包含着卷缩在普朗克尺度中的卷缩维。弦的微单元可分到10的-33次方厘米，因这仅是长度单位，不和质量单位的希格斯微单元0.01X10的-11次方GeV 矛盾。对比弦的质量是质子质量的10的19次方倍，弦实际是希格斯微单元质量的系综，其数目也不是趋于无限大。这也说明，为什么至今尚无人见到磁单极？就因为相通的磁单极，只能存在于弦及希格斯的微单元。这个“形象思维”是，一般的开弦和闭弦是由若干有限的希格斯质量微单元类似的曲点串联起来的，如果这些希格斯微单元类似电荷和一个磁单极连线组成的像一端不动，另一端连同整体作圆锥面转动的复合客体，那么开弦就存在“内禀”的类似三维圆球的体旋自旋运动，而闭弦则存在“内禀”的类似超导线圈磁场的线旋自旋运动。再由量子环的三旋密码，也可以建构夸克三旋模型。

庞加莱猜想证明应用于类似时空全都是由曲点组成的三维空间，自恰的弦论要求空间必须是九或者以上数目，就不成问题，因为庞加莱猜想证明时空在波尔兹曼常数计数粒子的地方，或大约在10的－12次方厘米到10的－15次方厘米以上范围，是属于三维空间，小于这个界面由于动量和位置的不确定性，额外的空间维数，可由理论的约定推导选择。五维时空就是曲点选择的基本时空。庞加莱认为这里，对于不连续的几率函数的情况，它将起哈密顿微分方程的作用；而任何孤立系统乃至宇宙也象粒子一样，会突然地从一个状态跃迁到另一个状态，但是在间歇期间，它依然是不动的。庞加莱猜想证明应用于类似时空全都是由曲点组成的三维空间，能量量子化由曲点三旋单群决定，可以变成像矩阵的东西，

也可以把这个矩阵对角化，然后这个对角的这些数字就当作在测量的时有可能会量到的数字。这个过程也叫做量子化；正是它们引导庞加莱猜想曲点证明，应用往来于数学世界和实在世界

庞加莱猜想

庞加莱猜想 百科名片 庞加莱猜想电脑三维模型 庞加莱猜想是法国数学家提出的一个猜想，是悬赏的（七个千年大奖问题）之一。2006年被确认由俄罗斯数学家最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的。 目录 展开 庞加莱猜想图示 令人头疼的世纪难题 缘起 如果我们伸缩围绕一个表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，已经知道，球面本质上可由单连通性来刻画，他

提出(中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 一位史家曾经如此形容1854年出生的（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。 1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的的：在一个中，假如每一条封闭的都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n 维球面的n维封闭流形必定于n维球面。”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。 猜想的简单比喻 如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象： 我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里 庞加莱猜想 面看，这就是一个球形的房子。 我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。 好，现在我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。 我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点； 另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。 为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。

浅析笛卡尔

浅析笛卡尔“我思故我在” 李子纯 西南大学马克思主义学院，重庆400715 摘要：笛卡尔“我思故我在”是笛卡尔哲学的第一原理，他正是以此作为根基而构建起整个形而上学体系的。笛卡尔以自我的原则形成自身独有的体系，确立了主体性原则，唤醒了主体意识的觉醒。“我在”指的是“人的真实存在”，“故”则强调的是一种“决定”与“被决定”的逻辑顺序。这一次转折给西方哲学打上了深深的烙印，同时也使之难以摆脱二元论的限制。 关键词：笛卡尔，我思故我在，普遍怀疑 笛卡尔的“我思故我在”是一个广为大家所熟知的哲学命题，在传统意义上，“我思故我在”是一个唯心主义的论断，但是在被提出来的时代具有一定的跨时代转折意义，同时，也对当今学术界有一定的研究和借鉴意义，同时也成为了理解笛卡尔哲学、甚至解读整个西方近代哲学发展逻辑的关键。除此之外，这个命题也有其弊端和不利的影响，虽然至今哲学界对于这一命题的理解多数仍旧停留在经验论的立场之上，并且大多数哲学研究者在把握其内涵上仍旧充满着疑惑和疑问。因此，我们需要返回到笛卡尔唯理论的哲学立场上，重新审视和考察“我思故我在”的真正含义，具有着十分重要的学术研究意义。 1.笛卡尔的人生轨迹 笛卡尔（1596—1650），法国数学家、物理学家、哲学家、解析几何的创始人。笛卡尔是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。被称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。是西方伟大的哲学家之一，是理性主义和二元论的奠基人，与培根并称为近代哲学之父，在西方影响深远。① 笛卡尔出生在一个法国贵族式家庭，遇上了经院哲学走向末路时代。笛卡尔 ①申晓娜,辛玮琰. 笛卡尔的“我思故我在”的含义及其意义. 出国与就业,理论探讨,2011 年 4 月 ,118页

哥德巴赫 庞加莱猜想

哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可分为两个猜想（前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想，后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想）：1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。 这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。其实，后一个命题就是前一个命题的推论。哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道："我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数(就是质数)之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。" 欧拉回信说：―这个命题看来是正确的‖。但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。 哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（и．M．Bиногралов,1891-1983），用他创造的"三角和"方法，证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"。不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。关于偶数可表示为a个质数的乘积与b个质数的乘积之和(简称―a + b‖问题)进展如下: 1920年，挪威的布朗证明了―9 + 9‖。1924年，德国的拉特马赫证明了―7 + 7‖。

方法论-笛卡尔

《谈谈方法》 笛卡尔 【全名为《谈谈正确引导理性在各门科学上寻找真理的方法》。文章以半自传的形式,深入浅出地介绍了作者新的哲学方法及其形成过程。作者从几何学和代数学的优缺点总结出四条原则:(一)不要把任何事物看成是真的,除非对它已经认识清楚了。(二)要用逐步分析的方法系统地解决问题。(三)思考时,由简到繁。(四)要彻底复查一切,做到确实无遗漏。在四条规则中,作者指出了三种具体的方法:怀疑的方法、分析、演绎和列举推理的方法。尤其主张普遍怀疑,认为一切都可怀疑,只有怀疑者本身不可怀疑,从而得出"我思故我在"这一哲学公式。对于作者,怀疑和怀疑的克服学说是哲学的入门途径,这种学说的锋芒是直接针对当时占统治地位的经院哲学,因此被誉为西方近代哲学的宣言。】 第一段 在世界上的一切事物中,惟有健全的理性是为人人所最均等分有的。因为每一个人都认为他已经充分地有了这种天然的禀赋,所以甚至那些在任何别的事上最难感觉满意的人,独在理性方面除了他们所已有的外,通常也更不望再有多求。?在这件事上既然不像人人都会 犯错误,这便可以证明正确的判断力和分辨真伪的能力,即所称为健全的常识或理性是人类与生俱来的共有之物。这样看来,我们彼此之所以有不同的意见,并不是因为我们当中某些人比其他的人赋有更多的理性,乃是纯粹因为我们把思想引领到不同的路线,以及各人所注意的对象并不相同。仅有一个元气充健的心性是不够的,主要的条件是要能善于运用。最大的心性可能造成最高的优德,也可能造成最大的恶行;那些行走缓慢而遵循正径的人,可以比那些飞奔疾驰而背离正道的人有更真实的进步。

至于我自己,我从来没有幻想到我的心性比其他一般人更完全。相反地,我毋宁常希望我自己跟一些别的人能够同有敏捷的思想,或清晰明了的想象力,或充沛与持久的记忆力。除了这些之外,我再也想不出有任何东西可以帮助完成心性的功能。理性或常识即是造成人之所以为人,和人之所以异于禽兽的唯一事物,我便相信它是全部为人人所同有的。在这一点上,我采纳一般哲学家共同的意见,认为程度多少的差异,仅可以在偶然的意外的事上发生,但是在同一种类之内,一切(个体)的本性或(格式)(Form)却无分别之可言。 然而我可以毫无踌躇地说,我特别幸运,早在童年时代便已踏入沉思和爱好金玉良言的途径,由此而理出了一种思想方法。藉着这种思想的方法,我认为我已经有了一个在我平凡的才能和短促年寿里可以充分地逐步增进知识,以达于最高峰的工具。因为根据我经验的成果,虽然我已经有一样不是徒劳无益的,但是我却在追求真理已经获得的进步上,得到了无上的满足,而且不自禁地怀抱着一种未来的希 望,相信在人类一切的事业中,如果有任何一种是真正高贵而重要的,那便是我所选择的事业了。 然而我很可能有错,以至于将一块小小铜片和玻璃误认为黄金和钻石。我深知我们是如何地容易在与我们本身有关的事上发生迷惘之见,同时也深知我们是如何地应当置疑于外人友辈对我们的褒扬之词。但是我将尽力在这个方法论中讲述我所依循的途径,并且描绘我的生平,以便让每个读者各加自己的评论。这样我便可以从众人的意见中获得新的指示,把它拿来加入我所惯于采用的思想方法中。 因此,我的计划并不是要在这里指示一个为要善用理性人人都当遵循的方法,乃是仅愿描述我自己如何督导自己的理性。凡是以教师自居的人们,很自然地要以为自己比受教的人更有熟练的技能;所以他们如果在很微小的事上发生了错误,便应当受人指责。但是这个小册子既然只是一个历史的或故事的叙述,其中除了一些或者值得仿效的范例之外,多半恐怕是不大适宜采用的。所以我希望这个小册子能够有助于一些人,而无害于任何人;也希望凡读它的人,还能同情我的直爽和坦白。自童年时代起,我始终是与书文为伍。为了有人会这样说服我:书文是足以帮助人生旅

庞加莱猜想应用篇

（一） 庞加莱是法国数学家，1904年他在一组论文中提出有关空间几何结构的猜想，但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，这就是“庞加莱猜想”：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。丘成桐院士认为，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。 庞加莱猜想证明对用数学语言描述宇宙空间产生重要影响，我们可举在超弦理论上的应用来说明。 首先我们要对庞加莱猜想的“点”作一个约定：庞加莱猜想中的“点”可以指数轴、坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点......而不能指我们说的“曲点”和“点内空间”的点，不然就会产生矛盾。 因为我们说的“曲点”，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及“环绕数”收缩成的一点---如圈是“绳”一致分布中间没有打结的封闭线；在这种纽结理论定义中，两个圈套圈的纽结，有一个交点；如果这种圈套圈有两次纽合，圈套圈的纽结“点”就包含了“环绕数”，把有一个以上“环绕数”的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个“曲点”。即“曲点”最直观的数学模型，是指包含“环绕数”的点。而我们说的“点内空间”的点，是指虚数一类虚拟空间内的“点”。 如果把“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球”称为“庞加莱猜想正定理”，那么“曲点”和“点内空间”正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面---我们称为“庞加莱猜想逆定理”。庞加莱猜想至少有两个来源---一个是函数论，一个是代数拓扑学。 即有人认为，19世纪是函数论的世纪，庞加莱因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的。所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数。自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广。自守函数今天已包括那些在变换群或这个群的某些子群作用下的不变函数。此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的。庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群。对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数。此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分。自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线。代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射。 其次，庞加莱是代数拓扑学(组合拓扑学)的奠基人，最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论。现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造---其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂)数的方法。籍助这些方法，庞加莱发现关于流形的同调的著名的对偶定理；定义了基本群(第一个同伦群)，并证明它与一维贝蒂数的关系，还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，以及欧拉多面体定理的推广---现称之为欧拉—庞加莱公式： x（D）=F－E+V （1） 这个式子的右边是和三角剖分的方式有关，但实际上x（D）和剖分的方式无关，它是曲面的一个拓扑不变量。对于紧致曲面，边界曲线不出现，仍然可以作三角剖分，因可求得：

几何化猜想----庞加莱猜想的推广

几何化猜想 编辑 威廉·瑟斯顿（Thurston）的几何化猜想（geometrization conjecture）指的是，任取一个紧致(可能带边)的三维流形尽量作连通和以使其成为尽可能简单的三维流形的连通和，对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割，有唯一的方法沿着一些环面(如果是带边流形还要加上平环)割开得 到尽可能简单的若干小块，这些小块均为八种标准几何结构之一。 八种标准几何结构均为完备的黎曼度量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。 1.标准球面S ，具有常曲率+l 2.欧氏空间R ，具有常曲率0 3.双曲空间H ，具有常曲率-1 4.S ×S 5.H ×S 6.特殊线性群(2，R)上左不变黎曼度量 7.幂零几何 8.可解几何 威廉·瑟斯顿

编辑 威廉·瑟斯顿Thurston，William）1946年10月30日出生于美国，1982年获菲尔兹奖，获奖前后的工作地点是普林斯顿大学。他讨论了三维流形上的叶状结构，并对一般流形上叶状结构的存在、性质及其分类得出了普遍的结果；基本完成了三维闭流形的拓扑分类。 目录 1获奖情况 2主要成就 3几何化猜想

3几何化猜想 美国康奈尔大学的数学家威廉·瑟斯顿(William Thurston)，他说：“数学是真正的人类思维，它涉及人类如何能有效地思考,这就是为什么好奇心是一个好向导的道理。”他认为好奇心与人类直觉紧密相连。 1970年,瑟斯顿提出几何化猜想,指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。几何化猜想是一个有关三维空间几何化的更强大、更普遍的猜想,认为任何空间都可还原成少数几个基本的图形。《美国数学会会志》的文章认为,瑟斯顿的伟大之处在于他深刻认识到如何用几何学的方法来认识三维流形的拓扑学。 “瑟斯顿的猜想列出了一个清单,如果它是正确的,那么庞加莱猜想的证明则迎刃而解。”瑟斯顿因几何化猜想而获得了1982年的菲尔茨奖。拓扑学家们努力发展一系列精致的工具来研究和分析形状,但一直没有进展。[1] 参考资料

笛卡尔读书笔记

探求真理的指导原则读书笔记 这本书写了笛卡尔总结的二十一个探索真理的指导原则，原则一：研究的目的，应该是指导我们的心灵，使它得以对于【世上】呈现的一切事物，形成确凿的、真是的判断。原则二：应该仅仅考察凭我们的心灵似乎就足以获得确定无疑的认识的那些对象。原则三：通过直观和演绎来获得真知。原则四：方法，对于探求事物真理是绝对必要的。原则五：全部方法，只不过是：为了发现某一真理而把心灵的目光应该观察的那些事物安排为秩序。就是简化。原则六：要从错综复杂事物中区别出最简单事物，然后予以有秩序的研究，就必须在我们已经用他们直接演绎出某些真理的每一系列事物中，观察哪一个是最简单项。原则七：要完成真知，必须以毫无间断的连续的思维运动，逐一全部审视他们所要探求的一切事物，把它们包括在有秩序的充足列举之中。原则八：如果在要寻求的事物顺序中出现一些事物，是我们的悟性不能直观得足够清楚的，那我们就必须暂且停顿、多加考虑。原则九：应该把心灵的目光全部转向十分细小而且极为容易的事物，长久加以审视，使我们最终习惯于清清楚楚、一目了然地直观事物。原则十：心灵如要获致灵巧，它就必须探求他人所应发现者，还必须有天理地通观人类技艺的甚至最微末的一切结果，但是，只要还是考擦表明一某种秩序为前提的那些结果。原则十一：在查看了若干个单纯命题之后，要想从中得出其他推论的话，不妨以连续的毫不间断的思维运动把那些命题通观一遍，考虑它们互相之间的关系，也不妨择出若干尽可能清楚地全面加以构想。原则十二：最后，应该充分利用悟性、想象、感觉和记忆所提供的一切助力，以便得知所求，使人的奋勉努力之所及不致有所遗憾。原则十三：我们要透彻领悟一个问题，就必须把它从任何多余的观念中抽象出来，把它归结为一个十分简单的问题，并且把它分割为尽可能最细小的部分，同事却不忽略把这些部分一一列举。原则十四：应该把问题转至物体的真正广延上去考虑，并把它通盘提供给想象借助于单纯形象去观察。原则十五：描绘这些形象，把它们对我们的外在感觉显示出来。原则十六：心灵观察时无需加以注意的事物，使用十分简略的符号来标志。原则十七：应该直接通观的所提困难，用若干次真正通观去查看它们是怎样互相依存的。原则十八：仅仅要求四则运算。原则十九：应该运用这种推理方法，寻求在同一数中表现为两种不同方式的量，使我们假定未知项已知，一遍直接通观困难。原则二十：方程式一旦找到，就应该把原来略去的演算完成，每逢需要用除法时，绝对不要用。原则二十一：这类方程式如有几个，就必须把它们统统归结为单一的一个方程式。 书中写了而是你个原则，我只写其中个别的原则的感想。 书中对原则一有具体的解释，我从中的理解是我们学习科学时，应该把各种科学联系起来，而不是把它们分开隔离开。还有就是各种科学的研究都是服务于人类智慧或者说是“良知” 书中对原则二的说明中，开始说让我们不要研究那些困难的、无从分辨真伪的东西，后来一段有说我们如果遵循这一原则，我们会发现我哦们可以研究的事物极少，，科学每一个问题都会有不同的人又不同的见解，可能他们中有一人是对的，可能他们都是错的，从中说明我们不可能获得充分的真知，引出只有算术和几何是无误的。到最后他得出结论：探求真理正道的人，对于任何事物，如果不能获得相当于算术和几何那样的确信，就不要去考虑他。而我自己的看法则是，我们固然也要考虑简单确信的事物，对于困难的事物，其实是有争议的、难以确信的也要去考虑，没考虑过又怎么知道它是否能获得想算术和几何那样的确信，如果按照这个原则，杨振宁就不会得到在基本粒子弱相互作用的领域内，宇称并不守恒这个真理了。 原则六在我的理解是说我们研究事物时，可以先观察其他事物是怎样推论出来的按照怎样的秩序从而类推我们所研究的事物。在书中说，我们必须把它们互相区别，考察它们互相

庞加莱猜想浅谈

庞加莱猜想浅谈 庞加莱猜想，故名思意，最早是由法国数学家庞加莱提出的，这是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里?佩雷尔曼（俄语：ГригорийЯковлевичПерельман，1966年6月13日出生）完成了最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但可以，佩雷尔曼在颁奖典礼上并未现身领奖。 猜想是庞加莱在1904年发表的一组论文中提出，猜想本身并不复杂： 任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。 解释来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻以下，如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而防真轮胎面不是。 该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。 对于猜想的破解，前后经历了近100年的时间： 20世纪 这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。 1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名，但是证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。1981年美国数学家麦克·傅利曼（Michael Freedman）证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。 1982年，理查德·哈密顿引入了“瑞奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。 21世纪 在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在https://www.doczj.com/doc/e35233693.html,发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。 在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的

奥赛学习心得体会

奥赛学习心得体会 苗玉莲首先非常感谢学校领导给我们提供的这次外出学习的机会，这次培训使我受益匪浅，感触很多。作为一名教师，我深知自己在数学教学上是不成熟的，教学工作中还有很多不足，我感觉在以前的工作过程中，自己进入了一个不能自拔旳瓶颈中，虽然工作勤勤恳恳，但教学成绩一直很差，每天心情很是纠结，工作的激情越来越低。通过这次学习使我进一步了解教师这一职业的责任，我充分认识到数学教学不是简单的知识教学和技能培养，数学教学还要注重培养学生的数学思维，教会学生用数学的思维去发现问题，分析问题和解决问题。数学还要注重培养学生的态度与价值观，这一点我一直觉得很迷茫，于凤军老师的一句话对我启示很大：“学生的态度和价值观主要体现在学生是不是喜欢数学上”。 在过去的教学实践活动中，我只满足于在其中扮演“教材的执行者”的角色，这和教师本身的教学观有关，也和课改以前我国的大教育体制环境以及其对教师的相应要求有关。但在新的课程改革的要求下，再走老路，在教学中按照课程的严格规定亦步亦趋地进行操作，而很少发挥教师的自主性，那就很难再适应新课改的要求了。教师是一种发展学生、完善自我的职业，能以服务社会为自己的职业理想，并从服务社会的高度赋予自己发展、完善的实践意义，明确自身发展与学生发展的互动关系，在发展学生中发展自己，在发展自己中服务社会。教师是以一种高度的责任感从专业角度来审视自己的教学，反思自己的情感，净化自己的品德，完善自己的智慧。能够自觉地注重教育行为的科学和教育情感的理性，并不断地追求着学生发展和自我发展的更高效益。 通过培训，我认为新课程要求教师努力和学生建立平等互动的师生关系，教学过程首先是师生交往互动的过程，这种交往主要表现为以语言为中介进行沟通，教师与学生凭借自己已有的经验，用各自独特的精神表现方式，在教学过程中通过心灵的对话、意见的交换、思想的碰撞、合作的探讨，实现知识的共同拥有与个性的全面发展。它要求教师不仅有教学策略和教学方法的改变，而且要有角色的转化——从传授者、管理者变为引导者和促进者，同时还有个性的自我完善—民主的精神、平等的作风、宽容的态度、真挚的爱心和悦纳学生的情怀。此外，在这个过程中教师也会受到很多启发，对学生有的了解，这些无疑对教师的专业化发展也是十分有益的。 我从事教育工作才有五年多，是一位有冲劲但没有丰富经验的教师，面对当今的形式，时代要求教师不断进步，吸取营养，为教育事业能够有突飞猛进的发展贡献自己为薄力量。 在这次学习中名师们为我们总结了数学的思想方法和活动经验，这让我在数学理念上有了更深刻的认识。我在实际教学中缺乏高度和深度。这需要在日常教学中每天细心备课，认真钻研教材，利用课余时间常翻翻高等数学，数学分析，数论的大学教材，研究自主招生数学试题及应试策略。除了教师自身要具备较高的随机应变的能力外，更重要汲取丰富理念，这样才能真正具备驾驭课堂的能力。空谈理论不切实际，屏弃理论也不合逻辑。我们应理论结合实际，在日常工作中根据自身工作量在学期初为自己制定好工作目标，如细致备多少节课，进行多少节课堂教学研究等。简单的说，就是有选择性

数学史

①宋元四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 ②欧拉：《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》。 ③莱布尼茨：微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，简称《新方法》； 积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》 ④克莱因：《爱尔朗根纲领》：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变 的性质的学问，或者说任何一种的集合学只是研究与特定的变换群有关的不变量。 ⑤微积分的形成、发展和完善：形成：牛顿主要著作《运用无限多项方程的分析》、《流 线法与无穷级数》、《曲线求积分》、《流线简论》；莱布尼茨主要著作：《新方法》、《深奥的几何与不可分量及无限的分析》；发展：欧拉著作：《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》；完善（严格化）：柯西发表《分析教程》、《无限小计算教程概论》，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号，这种严格化的突出表现是创造了一套（）语言，用以重建分析体系；它们以严格化为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数微分、收敛积分等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。 ⑥数学三次危机：1、无理数的发现 2、无穷小是零吗？ 3、悖论的产生 ⑦哥德巴赫的猜想：他的假设相当于：每个偶数是两个素数之和，每个奇数是三个素数 之和。这就是著名的哥德巴赫猜想，用语言来叙述，分两部分内容，第一部分叫奇数的猜想，第二部分叫偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数之和；偶数的猜想指出，任何一个大于等于4的偶数都是两个素数之和。 ⑧《九章算术》包括哪些内容：一：算术方面. 分数四则运算法则、比例算法、盈不足 术。二：代数方面. 方程术、正负术、开方术。三：几何方面. 面积计算、体积计算、勾股定理。 ⑨数学发展中心的迁移：公元前600年---公元前后：古希腊。公元前后---公元14世纪： 中国、印度、阿拉伯。15世纪---17世纪，意大利、法国。17世纪---18世纪：英国。 18世纪---19世纪前半：法国、德国。19世纪后半---20世纪30年代：德国、法国。

庞加莱猜想与超弦革命

庞加莱猜想与超弦革命 有些弦理论家提出，彻底认识全息原理和它在弦理论中的应用，将会第三次导致超弦革命。此话怎讲？量子引力理论有近十种，如半量子引力、欧几里德量子引力、超引力、扭量理论、非对易几何、离散引力、圈量子引力、拓扑场论、超弦和M理论等，难道全息原理都能统一起来吗？其实，在我们宇宙中，场和粒子何者是原初的或派生的？对这个深奥的问题能给出肯定的解答的，至今还只有庞加莱猜想。因为物质进化，可以出现千姿百态的复杂的和特殊的事物，何者是原初或何者是进化，正是要从庞加莱猜想出发，才能分清各种层次的位置，例如，平面几何和非欧几何都是成立的，但我们要把它们分成两个层次，一般说来平面几何比非欧几何更初等些。同理，一般拓扑学和轨形拓扑学都是成立的，但在近十种的量子引力理论中，并没有分清它们的层次位置，这使得在它们的动力学作用量方程中，使用的类似

规范场代数式、非对应几何代数式等作解，需要庞加莱猜想来作再认识。 一、庞加莱猜想与唯象规范场 我们知道，如果黒洞内部有一个奇点，转动黒洞的内部就有一个奇环。奇点和奇环的存在与坐标的选取无关，这反映了时空的内禀性质，也为超弦理论的“开弦”和“闭弦”提供了先验的几何图像。 1、奇异超弦论中的庞加莱猜想熵流 代数与几何相比，图形比代数式要直观一些，即唯象些。规范场分阿贝尔规范场和非阿贝尔规范场，它们都有整体对称和定域对称两种区别，只是在定域对称上，非阿贝尔规范场比阿贝尔规范场要求有更严格的条件，代数式也更复杂化些。把整体对称和定域对称联系庞加莱猜想，庞加莱猜想熵流有三种趋向： A、庞加莱猜想正定理：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是等价于一个三维的

笛卡尔坐标系

笛卡儿坐标系 （在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用表示；而其大小则用来表示。） 在数学里，笛卡儿坐标系（Cartesian坐标系），也称直角坐标系，是一种正交坐标系。参阅图1 ，二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。 采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。例如，一个圆圈，半径是2 ，圆心位于直角坐标系的原点。圆圈可以用公式表达为：。 图1 笛卡尔坐标系是由法国数学家勒内·笛卡尔创建的。1637年，笛卡尔发表了巨作《方法论》。这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展，有很大的贡献。为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》的附录中，他增添了另外一本书《几何》。有关笛卡儿坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。 二维坐标系统 参阅图 2 ，二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为x-轴和y-轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为O ，既有“零”的意思，又是英

语“Origin”的首字母。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为xy-平面，又称为笛卡儿平面。通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地（见右图），x-轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；y-轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。两个坐标轴这样的位置关系，称为二维的右手坐标系，或右手系。如果把这个右手系画在一张透明纸片上，则在平面内无论怎样旋转它，所得到的都叫做右手系；但如果把纸片翻转，其背面看到的坐标系则称为“左手系”。这和照镜子时左右对掉的性质有关。 图2 为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。假设，我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称x-轴刻画的数值为x-坐标，又称横坐标，称y-轴刻画的数值为y-坐标，又称纵坐标。虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为。 任何一个点P 在平面的位置，可以用直角坐标来独特表达。只要从点P画一条垂直于x-轴的直线。从这条直线与x-轴的相交点，可以找到点P的x-坐标。同样地，可以找到点P 的y-坐标。这样，我们可以得到点P 的直角坐标。例如，参阅图 3 ，点P 的直角坐标 是。 直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空间 (higher dimension) 。 参阅图 3 ，直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分，称为象限，分别用罗马 数字编号为，，，。依照惯例， 象限的两个坐标都是正值；象限的x-坐标是负值，y-坐标是正值；象限的两

世界7大数学难题

世界七大数学难题 这七个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想 千年大奖问题 美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。 其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。） “千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。可以预期，“千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。 P问题对NP问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因式分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。 霍奇(Hodge)猜想

【丘先生关于庞加莱猜想证明的简介】

【丘先生关于庞加莱猜想证明的简介】庞加莱(Poincare)：思想仅是漫漫长夜中的一个闪光，但这闪光意味着所有一切。丘成桐：庞加莱猜想的破解，是一件令我们中国人很骄傲的事情。因为在中国本土上，我们第一次完成了一个伟大数学猜想的最后一步，震动了全球数学界!我觉得特别骄傲，因为从1979年那次回国开始，我一直期望中国本土能做出一流的工作。相信我们年轻的朋友、学生也因庞加莱猜想的破解而受到鼓舞。 三维空间的结构 丘成桐 哈佛大学数学系 请到http：//https://www.doczj.com/doc/e35233693.html,/Active/20060626_005.ppt看原文及极漂亮的图片。 (所有图形取自顾险峰，王雅琳，丘成桐的合作文章，由顾险峰提供) 先生们，女士们： 今天我将会告诉你们数学上的一页篇章是如何结束和新的篇章正在开始。 请允许我先从一些基本的观察开始。 (1)几何结构

几何学的主要目的是描述与分类有趣的几何结构。我们在日常生活中看到许多有趣的几何结构。我举几个例子： (2)连通和 构造曲面的一个抽象和主要的方法是作曲面的连通和。 (3)曲面结构定理 定理(曲面分类定理) 任意闭的可定向的曲面是如下曲面之一：球面，环面或有限多个环面的连通和。 (4)共形几何 为了更深入理解曲面，庞加莱建议理解这些2维对象上的共形几何。 例子：在地球上我们利用经线和纬线来确定方位。它们互相垂直。当我们将方形的地图映到球面上的时候，距离产生了扭曲。比如，北极附近很小的区域在方形地图上是很大的区域。不过，经线与纬线的正交性在映照下保持不变。所以，如果一艘船在海上航行，我们可以用地图精确地指引它的航向。 (5)共形结构：庞加莱(Poincare)发现，我们可以在任何曲面上绘制经线(篮色曲线)与纬线(红色曲线)。我们可以沿着曲面上某些特殊的曲线切割，然后把曲面在平面或 圆盘上展开。在这个过程中，经线与纬线保持不变。 曲面上共形结构的例子： 定理(庞加莱单值化定理)：任意2维封闭空间必与一常高斯

笛卡尔的情书

笛卡尔德情书 《廊桥遗梦》里有一句经典对白——爱情并不遵从我们的想象，爱情的神秘在于它的纯洁与纯粹。 1956年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。 那时，落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活，全部的财产只有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。生性清高的笛卡尔从来不开口请求路人施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。 一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。他如此沉溺于数学世界，身边过往的人群，喧闹的车马队伍。都无法对他造成干扰。 突然，有人来到他旁边，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。她就是瑞典的小公主，国王最宠爱的女儿克里斯汀。 她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。

和女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依旧每天坐在街头写写画画。 几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到了从远处传来的银铃般的笑声。转过身，他看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。慌忙中，他赶紧低头行礼。 从此，他当上了公主的数学老师。 公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。 在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。 在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。 然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。 当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后不久，便染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。 在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。

庞加莱猜想还证明了什么

庞加莱猜想还证明了什么: 好的科学家首先要坐得住 百年数学难题庞加莱猜想已被数学家证明，这一重大成果还从另 一个层面证明了什么？国际著名数学家丘成桐认为——好的科学家 首先要坐得住 “中国年轻的数学家很有前途。中国很快会上去的。” “在数学研究的开拓引领方面，中国与国外还有相当差 距。与上世纪６０年代初华罗庚为首的中国数学界相比，无 论是学风，还是成就，今天的中国数学界都有一段距离。” ６月初，本报记者就庞加莱猜想采访世界著名数学家丘 成桐，这位华人数学界的领军人物并未“就事论事”。当话 题转到中国数学研究的现状和希望时，５７岁的丘成桐教授 充满了忧思与期待。 做学问要脚踏实地 对待名利，不要跟小孩一般见识 谈到庞加莱猜想的证明，丘成桐告诉记者一个鲜为人知 的细节。“麻省理工学院想请朱熹平去做正教授，朱没有去，

也从来没有到媒体上去大肆宣扬。这些年来，他不大去管经费的事，也不想着评院士，有这么一股脚踏实地的精神，才能坚持下来。” “今天的中国，中央政府很重视科教兴国。”但丘成桐对学术界的浮躁学风，很有自己的看法。“重视是一回事，是不是真的就能够上去？要看是不是愿意给年轻人提供好的环境，他们的成长会不会受到各种干扰。” 做学问的人无法脱离社会而存在，各种各样的世俗观念都会对学者形成冲击。这一点丘成桐本人也不能例外。尽管拿到了数学界最高荣誉“菲尔兹奖”，可在家里，孩子们一直觉得他只是个“会吹牛皮”的普通数学家，直到他获得美国总统奖之后，他们才因为这个来自白宫的奖项而对自己的父亲肃然起敬。 “这是小孩子的见识。”丘成桐严肃地说，“现在很多人很在乎做院士，很在乎评奖，很在乎媒体报道。教授一出名，学而优则仕，评奖鉴定、参政议政，什么都参加，每年至少有几十天时间参加社会活动，哪有时间做学问？我想不应当过多地做这些事情。好的科学家首先要坐得住。” “愿将己身化为桥” 要将中国最好的年轻人培养起来