天体运动问题的基本模型与方法
天体运行问题的分析与求解，是牛顿第二定律与万有引力定律的综合运用，问题的分析与求解的关键是建模能力。
一、基本模型
计算天体间的万有引力时，将天体视为质点，天体的全部质量集中于天体的中心；一天体绕另一天体的稳定运行视为匀速圆周运动；研究天体的自转运动时，将天体视为均匀球体。
二、基本规律
1．天体在轨道稳定运行时，做匀速圆周运动，具有向心加速度，需要向心力。所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。设质量为m的天体绕质量为M的天体，在半径为r
的轨道上以速度v匀速圆周运动，由牛顿第二定律及万有引力定律有：。这就是分析与求解天体运行问题的基本关系式，由于有线速度与角速度关系、角速度
与周期关系，这一基本关系式还可表示为：或。
2．在天体表面，物体所受万有引力近似等于所受重力。设天体质量为M，半径为R，其
表面的重力加速度为g，由这一近似关系有：，即。这一关系式的
应用，可实现天体表面重力加速度g与的相互替代，因此称为“黄金代换”。3．天体自转时，表面各物体随天体自转的角速度相同，等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力最大。对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛
顿第二定律有：，式中N为天体表面对物体的支持力。如果天体自转角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，“甩”出的临界条件是：N=0，此时有：
，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自
转的角速度，由及可计算出天体不瓦解的最小密度。
三、常见题型
1．估算天体质量问题
由关系式可以看出，对于一个天体，只要知道了另一天体绕它运行的轨道半径及周期，可估算出被绕天体的质量。
例1．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高200km，运行周期为127分钟。若还知道引力常量和月球半径，仅利用以上条件不能求出的是
A．月球表面的重力加速度B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月运行的速度D．卫星绕月运行的加速度
解析：设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，卫星高度为h，运行周期为T，线速度为v，加速度为a，月球对卫星的吸引力为F。
对于卫星的绕月运行，由万有引力定律及牛顿第二定律有：
，由此式可求知月球的质量M。由“黄金代换”有：，由这两式可求知月面重力加速度g。由线速度的定义式有：，由此式可求知卫星绕月运行的速度。由万有引力定律及牛顿第二定律有：，由此式可求知
绕月运行的加速度。由万有引力定律有：，由于不知也不可求知卫星质量m，因此，不能求出月球对卫星的吸引力。故，本题选B。
2．估算天体密度问题
若已知天体的近“地”卫星（卫星轨道半径等于天体半径）的运行周期，可以估算出天体的密度。
例2．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝
6.67×10-11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为
A．1.8×103kg/m3 B．5.6×103kg/m3 C．1.1×104kg/m3 D．2. 9×104kg/m3
解析：对于近地卫星饶地球的运动有：，而，代入已知数据解得：ρ=2.9×104kg/m3。本题选D
3．运行轨道参数问题
对于做圆周运动的天体，若已知它的轨道半径，可以计算它的运行线速度、角速度、周期等运行参数，并且可以看出，这些参数取决于轨道半径。
例3．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100陪。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有
A．恒星质量与太阳质量之比 B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比 D．行星运行速度与地球公转速度之比
解析：由万有引力定律和牛顿第二定律有：，解得：，
由题意可知，能求出恒星质量与太阳质量之比。由及题意可知，能求出行星运行速度与地球公转速度之比。本题选AD。
4．人造地球卫星问题
人造卫星运行轨道的中心与地球球心重合。同步通信卫星的轨道与赤道平面重合，运行的角速度（或周期）与地球的自传角速度（或周期）相同，距地面的高度一定。近地卫星的轨道半径与地球半径相等。
例4．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响
（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期解析：（1）第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度。设卫星的质量为m，地球的质量
为M，在地球表面附近满足，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引
力，即，解得：；
（2）对于卫星绕地球的运动，由万有引力定律及牛顿第二定律有：
，而，解得：
例5．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳照射的此卫星。试问春分那天（太直射赤道）在日落后12小时有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。
解析：如图1所示，E为地球赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心。由图知春分那天日落后，当卫星由位置S运动到S/位置过程中，恰好处于地球的阴影区域，卫星无法反射，观察者看不到卫星。设地球质量、卫星质量分别为M、m，卫星轨道及地球半径分别为r、
R，由万有引力定律及牛顿第二定律有：，由几何关系有：，
观察不到卫星的时间为：，在地球表面有：。解得：
。
5．“相遇”问题
若某天体有两颗轨道共面的卫星，从某次它们在天体中心同侧与天体中心共线（两卫星相距最近）到下次出现这一情形的时间与两卫星角速度、间满足关系：
,。
例6．如图2所示，A是地球的同步卫星。另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ωo，地球表面的重力加速度为g，O 为地球中心。
（1）求卫星B的运行周期。
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
解析：（1）对卫星B绕地球的运行，由万有引力定律和牛顿第二定律有：
，在地面有：，解得：。
（2）由题意应有：，而，由于卫星A是同步卫星，故：
，解得：
6．外星上的物理问题
若已知某天体的半径及质量，由黄金代换式可求出天体表面的重力加速度，此后可运用有关物理规律求解在外星表面的进行的与重力加速度有关的物理问题。
