反证法及其应用

问题 1.证明:若 p q 2 ,则 p q ≤ 2 .
2 2
分析:直接证不好下手.
将 “ 若 p q 2 , 则 p q ≤ 2 ” 看成 原命题 ,由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性，要证原命题为真命题，可 以 证明 它的 逆否 命题 “ 若 p q 2 , 则 2 2 p q 2 ”为真命题.
有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久 推不开，弄得满头大汗. 后面传来一位小姐轻轻的声音：“先生别推， 请向后拉！” 大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大 汉奇怪地问：“这门上并没有写拉字，你怎么知 道是拉门的呢？” 小姐答：“因为我看到你推了半天，门还不 动，那就只有拉了！” 数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去.
2 2
要证明“若 p2 q2 2 ,则 p q ≤ 2 ”是 真命题，
2 2 即证明 为真命题 “若p q 2, 则p q 2.”
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
2014-5-2
幻灯片切换
练习3.求证:正弦函数没有比2∏更小 的正周期.
证明:假设T是正弦函数的周期,且0<T<2 ∏, 则对任意的实数x,都有 sin(x+T) =sinx 成立. 令x=0得 sinT =0. 即T= k∏. K ∈ Z. 又0<T<2 ∏,故T= ∏.从而对任意的实数x, 都有sin(x+T) = sinx 这与sin(∏ /2+ ∏) ≠sin ∏/2 矛盾. 所以 2014-5-2,正弦函数没有比2 ∏小的正周期.
──它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 ( 如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
2014-5-2
反证法
要证明某一结论A是正确的，但不 直接证明，而是先去证明A的反面（非A） 是错误的，从而断定A是正确的。
即反证法就是通过否定命题 的结论而导出矛盾来达到肯定命 题的结论，完成命题的论证的一 种数学证明方法。
2014-5-2
他运用了怎样的推理方法？
假设自己的前额没有被涂黑, 那么另一个哲学家也不会有异常行为, 这与另一个哲学家笑个不停矛盾,
所以假设“自己的前额没有涂黑”不正确, 于是自己的前额也被涂黑了.
2014-5-2
反证法
反证法及其应用
2014-5-2
知 识 要 点
原命题 若 p则 q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
2014-5-2
（4）否定性或肯定性命题。
练习1.圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，
且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分. 证明：假设弦AB、CD被P平分， 由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径 定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，
2014-5-2
百度文库
练习3
2014-5-2
1、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。 2、导出矛盾有四种可能：
（1）与原命题的条件（题设）矛盾； （2）与定义、公理、定理等矛盾； （3）与结论的反面（反设）成立矛盾。 （4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
3、反证法的使用范围：
（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题； （2）唯一性命题； （3）“至多”或“至少”性命题；
练习2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0
∴原命题的逆否命题正确， 所以原命题也正确.
2014-5-2
反证法的一般步骤：
1.假设结论的反面成立；
反设
归谬 2.由这个假设出发，经过正确的推理 导出矛盾； 推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 结论
2014-5-2
几点注意：
C A O P B D
即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。 所以，弦AB、CD不被P平分。 反证法是一种重要的数学思想方法，对于那些含有否 定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题，尤为适 宜. 牛顿说： “反证法是数学上最精良的武器之一”. 这就充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的 , 重要地位。 2014-5-2
得证
这表明原命题的逆否命题为真命题 ,从而原命 题也为真命题.
2014-5-2
思考探究：
问题 2 证明:“若 a b 2a 4b 3 0 , 则 a b 1 .”为真命题.
2 2
证明:假设 a b 1 , 2 2 则 a b 2a 4b 3 = (a b)(a b) 2(a b) 2b 3 = a b 1 =0
2014-5-2
第8计 小姐开门 何等轻松
在古希腊时,有三个哲学家，由于争论 和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里 的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个 爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当 他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会 儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察 到什么了？
自己的前额也被涂黑了
小结：
1、反证法的推导问题的模式：
与已知条件矛盾 否定命 题结论
推导过程中 引出矛盾
与已有公理、定 理、定义矛盾；
否定 假设 肯定 结论
2、应用反证法的情形 自相矛盾。 (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” “否定”类命题； (4)结论为 “唯一”类命题；
牛顿说:“反证法是数学上最精良的武 器之一 .”数学上很多有名的结论都是用反 证法得证的 . 比如说 , 素数有无穷多个等 . 2014-5-2
问题 1.证明:若 p q 2 ,则 p q ≤ 2 .
2 2
证明: 假设 p q 2 ,
2
假设原命题结论 的反面成立
则 ( p q) 4 , 看能否推出原命题条 2 2 ∴ p q 2 pq 4 , 件的反面成立 ∵ p2 q2 ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p q ) 4 , ∴ p q 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p q 2.