第七届中国东南地区数学奥林匹克

由余弦定理得
=妒[ t 一虹瓷‰铲】 DP：BD2+BF2—2BD．BFcos B
一 垒型三三
一( 苴+) ，) ( Y+彳) 。
堡坐．垒望
故婴塑：鲻 丛吐丝垃盟
”FH·DK
DF DF
ADⅦ ’CF％
= Y 丽 者 惫 百 “ ．一 DP( x+) ( y+z)
①…
理得
KF· HD=DF·HK+FH·DK．
2010年第12期
第 七 届 中国 东 南 地 区 数 学 奥林 匹 克
中圈分类号：C- 424．79 文献标识码：A 文章编号：1005—6416( 2010)12—0029—04
第一天
1．设口、b、c∈{ 0，1，…，9) ．若二次方程
a, x2+h+c=0有有理根，证明：三位数abc不
是质数．
BC切于点F、D， 直线AD、CF分别
与O， 交于另一点
图l
日、K．求证：
FD·HK，． FH． DK—J ‘
( 熊斌供题)
4．设正整数a, b满足1≤D<b≤100．若
存在正整数k，使得口6 I ( 口‘+b‘) ，则称数对
( 口，b) 是“好数对”．求所有好数对的个数． ( 熊斌供题)
第二天
5．如图2，△ABC为直角三角形，／ACB
( 李胜宏供题) 7．设／／, 是一个正整数，实数口l ，口2，…，口。 和r l ，r 2，…，r 。满足： 口l ≤口2≤…≤口。j FⅡ0≤r 1≤r 2≤…≤r 。．
求证：∑∑ai ai mi n(r ；，o) ≥o．
( 朱华伟供题)
8．在一个圆周上给定8个点A。，A：，…，
A。．求最小的正整数n，使得以这8个点为顶
旦 因为∑( Ⅱ^+6I ) =99 x2 ol l =奇数，所
t =1
以，集合A。≠鼠． 而P( Ai ) +尸( Bi )
=口心…口辨+Ⅱ( 2 011一口；) i =1 99
量a心…口钟+Ⅱ( 一ai ) i =l
- - 0( mod 2 011) ，
故2∑P( A；) =∑ P(A；)+∑Pi Bi )
P=以10) ：口( 10一聋。) ( 10一茄2) ， 4ap=( 20a一2似1) ( 20a一2似2) ． 易知，20a一2axl 、20a一2ax2均为正整 ．从而。 P I ( 20a一2axI ) 或P I ( 20a一2ax2) ．
不妨设PI( 20a一2毗。) ．则
p一<20a一2axl ．
‘ ；I
i =1
- f f i 0( mod 2 011) ．
因此，2 011 I宝 P( A。 )． i =l
证明2构造多项式
2 010
以n) =Ⅱn—i ) 一万2m02 010 1， ‘= t
其中，I I, ∈Z． 注意到2 011为质数，由威尔逊定理知 2 010 1善一l ( mod 2 011) ． 又由费马定理，当2 011、卜n时， 舻mo暑1( mo d 2 011)．
所以，对于每个n∈Z， ( 1) 当2 011’H时，
2 010
以，1) 葺I - [ (n—i ) - O(mod 2 011) ；
’( 2) 当2 011 n时，
2．．，0—10
以n)看儿( ，l - i ) - 2010 1
- =2 010 1—2 010 1- o( mod 2 011) ， 即对于每个n∈Z都有2 011 I 以n) ．
点的任意I ' g个三角形中，必存在两个有公共
边的三角形．
( 陶平生供题)
参考答案
第一天
1．用反证法． 假设abc=p是质数．则由二次方程八名) =a x2+bx+c =0的有理根是
2 一 b±1 “ 际 — — 了 ～ ， 髫I，2
易知，b2—4a c为完全平方数，茗。、石：均为负 数，且以茗) =口( 戈一 菇1) ( 菇一茹2) ．故
：丛 型尘土 亟业一竹 ：茗： +鲤 ．
。
v+z
' +z
由 切 割 线 毫 理 得 AH=等 =嘉 ．
2葫 放 肋 =AD-AH-A_D2矿 _x2=历 4(x’ ， y两 z．
腿 ， KF
因为△CDKGO△Cr D，所以，
DK=百DF．CD=而DF z．
又因为△AFH∽△ADF，所以，
朋 =1DF矿 ． AF=而 DF％
再 结 合 式 ① 即 得 膦 =3．
4．令a，b ) =d，a=sd，b=t d，( s，t ) =1( t >s) ． 于是，sM2 I 矿( s ‘+，)． 因为( st ，s‘+，) =1，所以，st ld‘．
2010年第12期
于是，St 的所有质因子都能整除d． 若s 或t 中有一个不小于11的质因子 p，则pl d．于是，P2 l 口或P2 b． 而P2>100。矛盾． 因此，St 的质因子只可能是2，3，5，7． 若St 的质因子中2，3，5，7至少出现三 个，则
( 张鹏程供题)
2．对于集合A={口。，a 2，…，口。) ，记
P( A) =口l 口2…口。。设Al ，A2，…，A。n=c 凳l o)
是集合( 1，2，…，2 010) 的所有99元子集．
求证：2 011 l ∑P( Ai )． ( 叶永南供题)
3．如图1，已
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
知△ABC内切圆
o，分 别与边AB、
于是，4 a>一20 a一2仳2，与x2 为负数矛盾． 所以，三位数abc不是质数． 2．证法1对于集合{l ，2，…，2 ol o}的 每个99元子集A；={口。，口：，…，口钟) ，其与 Bi ={6。，b：，…，699)_—一对应，其中， bI =2 01l 一口‘( 矗=l ，2，…，99)．
而以n) 是一个2 009次多项式，于是， 以，1)的各项系 都能被2 0l l 整除 ．
中等数 学
又一∑P( A；) 就是多项式八n) 中玎的
1 911次项的系数，故2 011 l ∑P( Ai ) ．
3．设AF=戈，BF=y，CD=厄 由斯特瓦尔特定理得
AD2=丽BD·AC2+丽CD·AB2一BD·DC
=900，M1、M2为
△ABC内 任意两
点， 肼为线段 ％
鸩的中点，直线
BMl 、BM2、BM与曰
边AC分别交于点
图2
Ⅳl 、Ⅳ2、Ⅳ．求证：
等 +警 ≥ 筹 ． ( 裘 宗 沪 供 题 )
6．设Z+为正整数集合，定义：口。=2，
口川=曲引耋寺+÷< 延z+】(n=-幺…，．
①
求证：a 川=a：一a 。+1．