第七届中国东南地区数学奥林匹克

第一天（2009年7月28日上午8：00－12：00）江西·南昌1. 试求满足方程22-+=的所有整数对(,)21262009x xy yx y．（张鹏程供题）2. 在凸五边形ABCDE中，已知,,==≠，且,,,B C D EAB DE BC EA AB EA四点共圆．证明：,,,=．A B C D四点共圆的充分必要条件是AC AD（熊斌供题）3. 设,,x y z R+∈222=-=--；x y z y z x z x y(),(),()求证：2222()++≥++．a b c ab bc ca（唐立华供题）4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．（陶平生供题）第二天（2009年7月29日 上午8：00－12：00） 江西·南昌 5．设1,2,,9 的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ；X A ∀∈，记1239()239f X x x x x =++++ ，{()}M f X X A =∈；求M ． （其中M 表示集合M 的元素个数）（熊斌供题）6．已知O 、I 分别是ABC ∆的外接圆和内切圆；证明：过O 上的任意一点D ，都可以作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF ∆的外接圆和内切圆．（陶平生供题）7． 设(2)(2)(2)(,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x---=++++++++， 其中,,0x y z ≥ ，且1x y z ++=． 求(,,)f x y z 的最大值和最小值．（李胜宏供题）8．在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？（孙文先供题）第六届中国东南地区数学奥林匹克试题与解答第一天1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y ． （张鹏程供题）解： 设整数对(,)x y 满足方程22212620090x xy y -+-= …（1），将其看作关于x 的一元二次方程，其判别式()2222441262009500(4)36y y y ∆=-⨯-=-+的值应为一完全平方数； 若224y >，则0∆<；若224y <，则2y 可取2220,1,2,3，相应的∆值分别为8036,7536,6036和3536 ，它们皆不为平方数；因此，仅当224y =时，()2225004366y ∆=-+=为完全平方数．若4=y ，方程（1）化为2870x x -+=， 解得1=x 或7x =；若4-=y ，方程（1）化为 2870x x ++=，解得1-=x 或7x =-．综上可知，满足原方程的全部整数对为：()()()()(),1,4,7,4,1,4,7,4x y =----． 2. 在凸五边形ABCDE 中，已知,,AB DE BC EA AB EA ==≠，且,,,B C D E 四点共圆．证明：,,,A B C D 四点共圆的充分必要条件是AC AD =． （熊斌供题）证明：必要性：若,,,A B C D 共圆，则由,AB DE BC EA ==，得BAC EDA ∠=∠，ACB DAE ∠=∠，所以ABC DEA ∠=∠，故得AC AD =；充分性：记BCDE 所共的圆为O ，若AC AD =，则圆心O 在CD 的中垂线AH 上，设点B 关于AH 的对称点为F ，则F 在O 上，且因AB EA ≠，即D E D F ≠，所以,E F不共点，且AFD ∆≌ABC ∆，又由,AB DE BC EA ==，知AED ∆≌CBA ∆，因此，AED ∆≌DFA ∆，故由AED DFA ∠=∠，得AEFD 共圆，即点A 在DEF 上，也即点A在O 上，从而,,,A B C D 共圆．3. 设,,x y z R +∈222(),(),()x y z y z x z x y =--=-；求证： 2222()a b c ab bc ca ++≥++．（唐立华供题）()()(),y z z x x y =-+--()()()z x x y y z =-+--，()()()x y y z z x =-+--．所以[]2()()()()()()0y z z x x y y z z x x y =-+++---≤, 于是 2222()()a b b c c a a b c ++-++=0≤, 故 2222()a b c a b b c c a++≥++． 4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．（陶平生供题）解：设红点集为：{}1212,,,A A A A = ，过点1A 的弦有11条，而任一个含顶点1A 的三角形，恰含两条过点1A 的弦，故这11条过点1A 的弦，至少要分布于6个含顶点1A 的三角形中；同理知，过点(2,3,,12)i A i = 的弦，也各要分布于6个含顶点i A 的三角形中，这样就需要12672⨯=个三角形，而每个三角形有三个顶点，故都被重复计算了三次，因此至少需要72243=个三角形． 再说明，下界24可以被取到．不失一般性，考虑周长为12的圆周，其十二等分点为红点，以红点为端点的弦共有21266C =条．若某弦所对的劣弧长为k ，就称该弦的刻度为k ；于是红端点的弦只有6种刻度，其中，刻度为1,2,,5 的弦各12条，刻度为6的弦共6条；如果刻度为,,a b c （a b c ≤≤）的弦构成三角形的三条边，则必满足以下两条件之一：3或者a b c +=；或者12a b c ++=；于是红点三角形边长的刻度组(),,a b c 只有如下12种可能：()()()1,1,2,2,2,4,3,3,6,()()()()()()()()()2,5,5,1,2,3,1,3,4,1,4,5,1,5,6,2,3,5,2,4,6,3,4,5,4,4,4；下面是刻度组的一种搭配：取()()()1,2,3,1,5,6,2,3,5型各六个，()4,4,4型四个；这时恰好得到66条弦，且其中含刻度为1,2,,5 的弦各12条，刻度为6的弦共6条；今构造如下：先作()()()1,2,3,1,5,6,2,3,5型的三角形各六个，()4,4,4型的三角形 三个，再用三个()2,4,6型的三角形来补充．()1,2,3型六个：其顶点标号为：{}{}{}{}{}{}2,3,5,4,5,7,6,7,9,8,9,11,10,11,1,12,1,3； ()1,5,6型六个：其顶点标号为：{}{}{}{}{}{}1,2,7,3,4,9,5,6,11,7,8,1,9,10,3,11,12,5； ()2,3,5型六个：其顶点标号为：{}{}{}{}{}{}2,4,11,4,6,1,6,8,3,8,10,5,10,12,7,12,2,9；()4,4,4型三个：其顶点标号为：{}{}{}1,5,9,2,6,10,3,7,11；()2,4,6型三个：其顶点标号为：{}{}{}4,6,12,8,10,4,12,2,8．（每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得）．这样共得到24个三角形，且满足本题条件，因此，n 的最小值为24．第六届中国东南地区数学奥林匹克试题解答第二天5．设1,2,,9 的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ；X A ∀∈，记1239()239f X x x x x =++++ ，{()}M f X X A =∈；求M ．（其中M 表示集合M 的元素个数）．（熊斌供题）解：我们一般地证明，若4n ≥，对于前n 个正整数1,2,,n 的所有排列12(,,,)n n X x x x = 构成的集合A ，若123()23n n f X x x x nx =++++ ，{()}n M f X X A =∈，则366n n n M -+=．下面用数学归纳法证明：n M (1)(2)(1)(2)(1)(21),1,,666n n n n n n n n n ++++++⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭．当4n =时，由排序不等式知，集合M 中的最小元素是{}()4,3,2,120f =，最大元素是{}()1,2,3,430f=．又，{}(){}(){}()3,4,2,121,3,4,1,222,4,2,1,323f f f ===，{}(){}(){}(){}()3,2,4,124,2,4,1,325,1,4,3,226,1,4,2,327f f f f ====， {}(){}()2,1,4,328,1,2,4,329ff ==，所以，4M ={}20,21,,30 共有11=34466-+个元素．因此，4n =时命题成立．假设命题在1n -（5n ≥）时成立；考虑命题在n 时的情况．对于1,2,,1n - 的任一排列1121(,,,)n n X x x x --= ，恒取n x n =，得到1,2,,n 的一个排列121,,,,n x x x n - ，则1nkk kx=∑121n k k n kx -==+∑．由归纳假设知，此时1nk k kx =∑取遍区间222(1)(1)(1)(21)(5)(1)(21),,6666n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤-+--+++⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上所有整数． 再令1n x =，则11111(1)(1)2n n n k k k k k k n n kx n kx n k x --===-=+=+-+∑∑∑11(1)(1)2n k k n n k x -=+=+-∑， 再由归纳假设知，1nkk kx=∑取遍区间2(1)(1)(1)(1)(1)(21)(1)(2)2(2),,262666n n n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+-++--+++⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上的所有整数．因为222(2)(5)66n n n n ++≥，所以，1nk k kx =∑取遍区间(1)(2)(1)(21),66n n n n n n ++++⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上的所有整数．即命题对n 也成立．由数学归纳法知，命题成立．由于 3(1)(21)(1)(2)6666n n n n n n n n ++++-+-=，从而，集合n M的元素个数为366n n -+．特别是，当9n =时，9121M M ==．6．已知O 、I 分别是ABC ∆的外接圆和内切圆；证明：过O上的任意一点D ，都可作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF ∆的外接圆和内切圆．（陶平生供题）证：如图，设OI d =，,R r 分别是ABC ∆的外接圆和内切圆半径，延长AI 交O 于K ，则2s in 2AK I K B R ==，sin 2r AI A =，延长OI 交O 于,M N ；则()()2R d R d IM IN AI KI Rr +-=⨯=⨯=，即222R d Rr -=；过D 分别作I 的切线,DE DF ，,E F 在O 上，连EF ，则DI 平分EDF ∠，只要证，EF 也与I 相切；设DI O P = ，则P 是 EF的中点，连PE ，则 2sin 2DPE R =，sin2r DI D =，()()22ID IP IM IN R d R d R d ⋅=⋅=+-=-，所以2222sin 2sin 22R d R d D DPI R PE DI r --==⋅==，N F由于I 在角D 的平分线上，因此点I 是DEF ∆的内心， （这是由于，()()0011180180222D E PEI PIE P F +∠=∠=-∠=-∠=，而 2D PEF ∠=，所以2EFEI ∠=，点I 是DEF ∆的内心）． 即弦EF 与I 相切． 7．设(2)(2)(2)(,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x---=++++++++， 其中,,0x y z ≥ ，且 1x y z ++=． 求(,,)f x y z 的最大值和最小值．（李胜宏供题）解：先证1,7f ≤当且仅当13x y z ===时等号成立. 因(31)121313x x y xf x y x y+-=∑=-∑++++ … ()*由哥西不等式:2()113(13)(13)x x x y x x y x x y ∑∑≥=++∑++∑++，因为7(13)(24)2.3x x y x x y z xy ∑++=∑++=+∑≤从而 3,137x x y ∑≥++3112,77f ≤-⨯=max 1,7f =当且仅当13x y z ===时等号成立. 再证0,f ≥当1,0x y z ===时等号成立.事实上，(2)(2)(2)(,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x---=++++++++=2121()()13131313xy xz x y y z z x x y -+-++++++++21()1313yz y z z x+-++++ 77(13)(13)(13)(13)xyz xyz x y y z z x x y =+++++++++70(13)(13)xyzy z z x +≥++++ 故min 0f =，当1,0x y z ===时等号成立．另证：设{}min ,,z x y z =，若0z =，则22(,,0)0131242xy xy xy xyf x y x y y x y x y=-=-=+++++；下设,0x y z ≥>，由()*式，要证0f ≥，只要证，1132x x y ≤++∑ …①注意到12242x yx y x y =+++，于是①等价于 8()()()132413213241313z x x y y z x yz x x y x y x y y z x y x y y z≤-+-=++++++++++++++即 248131313x y x yz x x y y z+≤+++++++ …②而由柯西不等式，可得228(2)1313(13)(13)/2x y x y x y y z x x y y y z +=+++++++++ 222(2)24(3)(3)/213x y x yx x xy y y yz z x++≥=+++++++ 即②成立，从而0f ≥，故min 0f =，当1,0x y z ===时等号成立.8．在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？（孙文先供题）答：至少要如下图挖去14个小方格．如右图，将8×8棋盘切为五个区域．中央部份的区域至少要挖去2个小方格才能使T 形的五方块放不进去。

第三届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2006年7月27日， 8：00－12：00， 南昌）一、 设0,a b >>2()2()4a b x abf x x a b++=++．证明：存在唯一的正数x ，使得11333()()2a b f x +=．二、 如图所示，在△ABC 中，90,,ABC D G ∠=︒是边CA 上的两点，连接BD ，BG 。

过点A ，G 分别作BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接CF 。

若BE ＝EF ，求证：ABG DFC ∠=∠。

三、 一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）. 试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。

四、 对任意正整数n ，设n a 是方程31xx n+=的实数根，求证：(1) 1n n a a +>； (2) 211(1)nn i ia i a =<+∑。

第二天（2006年7月28日， 8：00－12：00， 南昌）五、 如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，ABC ∆的内切圆I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G ，证明：12FG BC =。

六、 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ，b ，c ，都有333222(61m a b c a b c ++≥+++）（）。

七、 （1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。

（2）对于给定的整数k >1，证明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。

首届中国东南地区数学奥林匹克第一天一、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥ 二、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。

如果DE=DF ， 求证：DM=DN三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。

如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。

求棋盘中“优格”个数的最大值。

第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州）五、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。

六、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。

求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。

但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。

如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。

注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。

第二届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2005年7月10日8：00－12：00 福州）一、（1）设R a ∈，求证抛物线()1222+-++=a x a x y 都经过一个定点，且顶点都落在一条抛物线上.（2）若关于x 的方程()01222=+-++a x a x 有两个不等的实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝 供题）二、如图，圆O （圆心为O ）与直线l 相离，作l OP ⊥，P 为垂足.设点Q 是l 上任意一点（不与点P 重合），过点Q 作圆O 的两条不同的切线QA 和QB ，A 和B 为切点，AB与OP 相交于点K . 过点P 作QB PM ⊥，QA PN ⊥，M 和N 为垂足.求证：直线MN 平分线段KP .（裘宗沪 供题）三、设n 是正整数，集合{}n M 2,,2,1⋅⋅⋅=. 求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于14+n .（张鹏程 ，李迅 供题）四、试求满足2005222=++c b a ，且c b a ≤≤的所有三元正整数组()c b a ,,.（陶平生 供题）第二天（2005年7月11日， 8：00－12：00， 福州）五、已知直线l 与单位圆S 相切于点P ，点A 与圆S 在l 的同侧，且A 到l 的距离为)2(>h h ，从点A 作S 的两条切线，分别与l 交于C B ,两点. 求线段PB 与线段PC 的长度之乘积.（冷岗松 ，司林 供题）六、将数集},...,,{21n a a a A =中所有元素的算术平均值记为)(A P ，（na a a A P n +++=...)(21）. 若B 是A 的非空子集，且)()(A P B P =，则称B 是A 的一个“均衡子集”. 试求数集}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=M 的所有“均衡子集”的个数.（陶平生 供题）七、（1）讨论关于x 的方程a x x x =+++++|3||2||1|的根的个数.（2）设n a a a ,...,,21为等差数列，且507222*********=-+⋅⋅⋅+-+-=++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++n n n a a a a a a a a a 求项数n 的最大值.（林常 供题） 八、设2,,0πγβα<<，且1sin sin sin 333=++γβα， 求证：.233tan tan tan 222≥++γβα （李胜宏 供题）。

第六届中国东南地区数学奥林匹克试题第一天1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y ．（张鹏程供题）2.在凸五边形ABCDE中，已知,,AB DE BC EA AB EA ==≠，且,,,B C D E 四点共圆．证明：,,,A B C D 四点共圆的充分必要条件是AC AD =．（熊斌供题）3. 设,,x y z R+∈，222(),(),()a x y z b y z x c z x y =-=-=-；求证： 2222()a b c ab bc ca ++≥++．（唐立华供题）4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．（陶平生供题）第六届中国东南地区数学奥林匹克试题第二天5．设1,2,,9 的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ；X A ∀∈，记1239()239f X x x x x =++++ ，{()}M f X X A =∈；求M ．（其中M 表示集合M 的元素个数）．（熊斌供题）6．已知O 、I 分别是ABC ∆的外接圆和内切圆；证明：过O 上的任意一点D ，都可作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF ∆的外接圆和内切圆．（陶平生供题）7．设(2)(2)(2)(,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x---=++++++++，其中,,0x y z ≥ ，且1x y z ++=． 求(,,)f x y z 的最大值和最小值．（李胜宏供题）8．在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？ （孙文先供题）FHBAC DEFEIO BCA D第六届中国东南地区数学奥林匹克解答第一天1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y ．（张鹏程供题）解： 设整数对(,)x y 满足方程22212620090x xy y -+-= …（1），将其看作关于x 的一元二次方程，其判别式()2222441262009500(4)36y y y ∆=-⨯-=-+的值应为一完全平方数； 若224y >，则0∆<；若224y <，则2y 可取2220,1,2,3，相应的∆值分别为8036,7536,6036和3536 ，它们皆不为平方数；因此，仅当224y =时，()2225004366y ∆=-+=为完全平方数．若4=y ，方程（1）化为2870x x -+=， 解得1=x 或7x =；若4-=y ，方程（1）化为 2870x x ++=，解得1-=x 或7x =-．综上可知，满足原方程的全部整数对为：()()()()(),1,4,7,4,1,4,7,4x y =----．2. 在凸五边形ABCDE 中，已知,,AB DE BC EA AB EA ==≠，且,,,B C D E 四点共圆．证明：,,,A B C D 四点共圆的充分必要条件是AC AD =．（熊斌供题）证明：必要性：若,,,A B C D 共圆，则由,AB DE BC EA ==，得BAC EDA ∠=∠，ACB DAE ∠=∠，所以ABC DEA ∠=∠，故得AC AD =；充分性：记BCDE 所共的圆为O ，若AC AD =，则圆心O 在CD 的中垂线AH 上，设点B 关于AH 的对称点为F ，则F 在O 上，且因AB EA ≠，即D E D F ≠，所以,E F不共点，且AFD ∆≌ABC ∆，又由,AB DE BC EA ==，知AED ∆≌CBA ∆，因此，AED ∆≌DFA ∆，故由AED DFA ∠=∠，得AEFD 共圆，即点A 在DEF 上，也即点A在O 上，从而,,,A B C D 共圆．FHBACDE3. 设,,x y z R +∈，222(),(),()a x y z b y z x c z x y =-=-=-；求证： 2222()a b c ab bc ca ++≥++．（唐立华供题）证明：先证,,a b c 不能构成三角形的三边．因为()()(),b c a y z z x x y +-=-+-- ()()()c a b z x x y y z +-=-+--， ()()()a b c x y y z z x +-=-+--．所以 (b c a +-)(c a b +-)(a b c +-)[]2()()()()()()0y z z x x y y z z x xy =-+++---≤, 于是 2222()()a b b c c a a b c ++-++=()(a b c b c a +++-)(c a b +-)(a b c +-)0≤, 故 2222()a b c a b b c c a++≥++．4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．（陶平生供题）解：设红点集为：{}1212,,,A A A A = ，过点1A 的弦有11条，而任一个含顶点A 1的三角形，恰含两条过点A 1的弦，故这11条过点A 1的弦，至少要分布于6个含顶点A 1的三角形中；同理知，过点(2,3,,12)i A i = 的弦，也各要分布于6个含顶点i A 的三角形中，这样就需要12672⨯=个三角形，而每个三角形有三个顶点，故都被重复计算了三次，因此至少需要72243=个三角形． 再说明，下界24可以被取到．不失一般性，考虑周长为12的圆周，其十二等分点为红点，以红点为端点的弦共有21266C =条．若某弦所对的劣弧长为k ，就称该弦的刻度为k ；于是红端点的弦只有6种刻度，其中，刻度为1,2,,5 的弦各12条，刻度为6的弦共6条；如果刻度为,,a b c （a b c ≤≤）的弦构成三角形的三条边，则必满足以下两条件之一：或者a b c +=；或者12a b c ++=；于是红点三角形边长的刻度组(),,a b c 只有如下12种可能：()()()1,1,2,2,2,4,3,3,6,()()()()()()()()()2,5,5,1,2,3,1,3,4,1,4,5,1,5,6,2,3,5,2,4,6,3,4,5,4,4,4；下面是刻度组的一种搭配：取()()()1,2,3,1,5,6,2,3,5型各六个，()4,4,4型四个；这时恰好得到66条弦，且其中含刻度为1,2,,5 的弦各12条，刻度为6的弦共6条；今构造如下：先作()()()1,2,3,1,5,6,2,3,5型的三角形各六个，()4,4,4型的三角形 三个，再用三个()2,4,6型的三角形来补充．()1,2,3型六个：其顶点标号为：{}{}{}{}{}{}2,3,5,4,5,7,6,7,9,8,9,11,10,11,1,12,1,3； ()1,5,6型六个：其顶点标号为：{}{}{}{}{}{}1,2,7,3,4,9,5,6,11,7,8,1,9,10,3,11,12,5；()2,3,5型六个：其顶点标号为：{}{}{}{}{}{}2,4,11,4,6,1,6,8,3,8,10,5,10,12,7,12,2,9；()4,4,4型三个：其顶点标号为：{}{}{}1,5,9,2,6,10,3,7,11； ()2,4,6型三个：其顶点标号为：{}{}{}4,6,12,8,10,4,12,2,8． （每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得）． 这样共得到24个三角形，且满足本题条件，因此，n 的最小值为24．121110987654321第六届中国东南地区数学奥林匹克试题解答第二天5．设1,2,,9 的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ；X A ∀∈，记1239()239f X x x x x =++++ ，{()}M f X X A =∈；求M ．（其中M 表示集合M 的元素个数）．（熊斌供题）解：我们一般地证明，若4n ≥，对于前n 个正整数1,2,,n 的所有排列12(,,,)n n X x x x = 构成的集合A ，若123()23n n f X x x x nx =++++ ，{()}n M f X X A =∈，则366n n n M -+=．下面用数学归纳法证明：n M (1)(2)(1)(2)(1)(21),1,,666n n n n n n n n n ++++++⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭．当4n =时，由排序不等式知，集合M 中的最小元素是{}()4,3,2,120f =，最大元素是{}()1,2,3,430f=．又，{}(){}(){}()3,4,2,121,3,4,1,222,4,2,1,323f f f ===，{}(){}(){}(){}()3,2,4,124,2,4,1,325,1,4,3,226,1,4,2,327f f f f ====， {}(){}()2,1,4,328,1,2,4,329ff ==，所以，4M ={}20,21,,30 共有11=34466-+个元素．因此，4n =时命题成立．假设命题在1n -（5n ≥）时成立；考虑命题在n 时的情况．对于1,2,,1n - 的任一排列1121(,,,)n n X x x x --= ，恒取n x n =，得到1,2,,n 的一个排列121,,,,n x x x n - ，则1nkk kx=∑121n k k n kx -==+∑．由归纳假设知，此时1nk k kx =∑取遍区间222(1)(1)(1)(21)(5)(1)(21),,6666n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤-+--+++⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上所有整数． 再令1n x =，则11111(1)(1)2n n n k k k k k k n n kx n kx n k x --===-=+=+-+∑∑∑11(1)(1)2n k k n n k x -=+=+-∑， 再由归纳假设知，1nkk kx=∑取遍区间2(1)(1)(1)(1)(1)(21)(1)(2)2(2),,262666n n n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+-++--+++⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上的所有整数．因为222(2)(5)66n n n n ++≥，所以，1nk k kx =∑取遍区间(1)(2)(1)(21),66n n n n n n ++++⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上的所有整数．即命题对n 也成立．由数学归纳法知，命题成立．由于 3(1)(21)(1)(2)6666n n n n n n n n ++++-+-=，从而，集合n M的元素个数为366n n -+．特别是，当9n =时，9121M M ==．6．已知O 、I 分别是ABC ∆的外接圆和内切圆；证明：过O 上的任意一点D ，都可作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF ∆的外接圆和内切圆．（陶平生供题）证：如图，设OI d =，,R r 分别是ABC ∆的外接圆和内切圆半径，延长AI 交O 于K ，则2sin2AKI KB R ==，sin 2r AI A =，延长OI 交O 于,M N ；则()()2R d R d I M I N A I K I R r+-=⨯=⨯=，即222R d Rr -=；过D 分别作I 的切线,DE DF ，,E F 在O 上，连EF ，则DI 平分EDF ∠，只要证，EF 也与I 相切；设DI O P = ，则P 是 EF的中点，连PE ，则 2sin 2DPE R =，sin2r DI D =，()()22ID IP IM IN R d R d R d ⋅=⋅=+-=-，所以2222sin 2sin 22R d R d D DPI R PE DI r --==⋅==， 由于I 在角D 的平分线上，因此点I 是DEF ∆的内心， （这是由于，()()0011180180222D EPEI PIE P F +∠=∠=-∠=-∠=，而 2D PEF ∠=，所以2EFEI ∠=，点I 是DEF ∆的内心）． 即弦EF 与I 相切． K PN M FEIOBC ADFEI O BCAD7．设(2)(2)(2)(,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x---=++++++++， 其中,,0x y z ≥ ，且 1x y z ++=． 求(,,)f x y z 的最大值和最小值．（李胜宏供题） 解：先证1,7f ≤当且仅当13x y z ===时等号成立. 因(31)121313x x y xf x y x y+-=∑=-∑++++ … ()* 由哥西不等式:2()113(13)(13)x x x y x x y x x y ∑∑≥=++∑++∑++，因为7(13)(24)2.3x x y x x y z xy ∑++=∑++=+∑≤从而 3,137x x y ∑≥++3112,77f ≤-⨯=max 1,7f =当且仅当13x y z ===时等号成立. 再证0,f ≥当1,0x y z ===时等号成立.事实上，(2)(2)(2)(,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x---=++++++++=2121()()13131313xy xz x y y z z x x y -+-++++++++21()1313yz y z z x+-++++ 77(13)(13)(13)(13)xyz xyz x y y z z x x y =+++++++++70(13)(13)xyzy z z x +≥++++ 故min 0f =，当1,0x y z ===时等号成立．另证：设{}min ,,z x y z =，若0z =，则22(,,0)0131242xy xy xy xyf x y x y y x y x y=-=-=+++++；下设,0x y z ≥>，由()*式，要证0f ≥，只要证，1132x x y ≤++∑ …①注意到12242x yx y x y =+++，于是①等价于 8()()()132413213241313z x x y y z x yz x x y x y x y y z x y x y y z≤-+-=++++++++++++++即 248131313x y x yz x x y y z+≤+++++++ …②而由柯西不等式，可得228(2)1313(13)(13)/2x y x y x y y z x x y y y z +=+++++++++ 222(2)24(3)(3)/213x y x yx x xy y y yz z x++≥=+++++++ 即②成立，从而0f ≥，故min 0f =，当1,0x y z ===时等号成立.8．在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？ （孙文先供题）答：至少要如下图挖去14个小方格．如右图，将8×8棋盘切为五个区域．中央部份的区域至少要挖去2个小方格才能使T 形的五方块放不进去。

21世纪中国最恐怖的⼀道⾼考数学题，30万⼈⽆⼀⼈答对，平均分0.31分，连院⼠也被此题惊动！2008年，⼀道⾼考数学题的出现震惊了全国，这⼀道题⽬让30万⼈体验到了被⽀配的恐惧，这道题⽬也创造了中国数学⾼考历史上最低平均分数的纪录，这道题⽬更是让全国所有⾼考⽣明⽩了⼀个道理，永远永远永远永远不要在那个省份的孩⼦⾯前提⾼考数学题有多难，这是⼀道被称之为21世纪中国最恐怖的⾼考数学题，没有之⼀！2016年6⽉7⽇下午，作为江西省影响⼒最⼤的江西都市报发表了这样⼀个报道，“⽆数⾼考学⼦相⽐于上午考完语⽂后的⼀脸轻松，数学考试结束之后，⼤多考⽣的⼼情如坐⼭车般，表情⼀脸凝重，去年的⾼考数学题⽬被称为“史上最难数学卷”，但今年⼤多考⽣的反应是，相⽐于今年，去年的数学卷太容易了”，接着有⼈在下⾯评论道：“⽆知的⼀群⼈！就这种题也敢称为史上最难，⾃从10年数学改⾰之后，江西省的数学⾼考就没有难度，因为你们根本不知道那个⼈的存在！”，接着⼀个⼈的名字慢慢从已经沉淀的历史中浮现出来，他，他如神⼀般秒杀了三届九⼗余万的江西考⽣，他创造了21世纪以来⾼考数学题的最低得分，全省⽆⼀⼈答对的恐怖记录，让江西⾼考卷最后⼀题有了仅供欣赏的优良传统，他就是经常给国家各类初、⾼中数学竞赛、国家集训队等提供考题的⾼级教练，也是中国东南地区数学奥林匹克竞赛主试委员会主席，更是曾经当任2008年到2010年江西省的⾼考数学命题⼩组组长，他被⽆数⼈称为“谜⼀样的数学竞赛界⾼⼈”、“最⽜⾼考数学卷命题⼈”，他叫陶平⽣.2008年，江西省数学⾼考的最后⼀道题让⽆数当年的考⽣痛哭流涕，因为这道题⽬全省30余万⼈⽆⼀⼈能全部答出，⽽这道题⽬的难度之⼤也惊动了当时已经是中国科学院院⼠的张景中教授，⼀个经历过这道数学题的⼈回忆道：“在我们学校⼀个公认的数学⾼⼿，每次⾼三数学考试的平均分都在147以上，他⾼考时在⼀个⼩时完成了所有的数学题，接着将画⾯的⼀个⼩时花在了这道题⽬上，但却毫⽆结果”，⽽全省能做出这道题的⽼师也屈指可数.2009年6⽉15⽇，江西省⾼考评卷⼯作已经进⼊第5天，来⾃全省各地的1818名⾼校和中学教师正在紧张地阅卷中，数学评卷点位于南昌⼤学北校区的⼀栋办公楼上，共有480名教师参与数学阅卷，理科数学卷各主观题平均得分⼀⽬了然，⽽最后⼀道数学题的分值为14分，但是平均分仅为0.31分，近乎所有考卷的最后⼀题都是触⽬惊⼼的空⽩，在江西那⼏年，每次快临近数学⾼考时，近乎所有学校的⽼师都会⼀⽽再再⽽三的叮嘱学⽣道：“最后⼀题仅供观赏，千万不要耽误时间”.那⼏年江西许多⾼考⽣⼀听到陶平⽣这个名字都胆颤⼼惊，那时候⽆数⼈把他称为“江西的撒旦”，有⽹友给他做了⼀⾸模仿江城⼦的词：“拿到试卷透⼼凉，⼀紧张，公式忘，似曾相识，解法却不详，向量⼏何两茫茫，看数列，泪千⾏。

第四届中国东南地区数学奥林匹克第一天(２00７年7月27日, 8:00-12:０0， 浙江镇海)一、 试求实数a 的个数,使得对于每个a ,关于x 的三次方程31x ax a =++都有满足1000x <的偶数根。

二、 如图，设Ｃ、D 是以O 为圆心、ＡＢ为直径的半圆上的任意两点，过点B 作O 的切线交直线CD 交于Ｐ,直线PO 与直线CA 、ＡＤ分别交于点E 、Ｆ。

证明:O Ｅ＝OF 。

三、 设*min i i a k k N k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭,试求[][]2212n n S a a a ⎡⎤=+++⎣⎦的值，其中[]2,n x ≥表示不超过x 的最大整数。

四、 求最小的正整数n ，使得对于满足条件12007ni i a ==∑的任一具有n 项的正整数数列12,,,n a a a ，其中必有连续的若干项之和等于３０。

第 二 天（200７年7月2８日, 8:00-12:００， 浙江镇海）五、 设函数()f x 满足:()()121f x f x x +-=+（x R ∈),且当[]0,1x ∈时有()1f x ≤,证明:当x R ∈时，有()22f x x ≤+。

六、 如图，直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点,MB AB ⊥，MD 交ＡC 于N ;MC 的延长线交A Ｂ于E 。

证明：DBN BCE ∠=∠。

七、 试求满足下列条件的三元数组(a , ｂ, ｃ):(i) a ＜b <c <100,ａ、b 、c 为质数; (ii) a +1、b +1、c ＋1组成等比数列。

八、 设正实数a 、b 、c 满足:ａｂc ＝1，求证:对于整数2k ≥,有32k k k a b c a b b c c a ++≥+++AF答案一、 令02x n =，n 为整数,且|2|1000n <,即||499n ≤，所以至多取24991999⨯+=个数，即{499,498,0,1,,499}n ∈--，。