二阶常微分方程的解法

南京师范大学泰州学院

毕业论文（设计）

（一六届）

题目：二阶常微分方程的解法

院（系、部）：数学科学与应用学院

专业：数学与应用数学

姓名：潘陆

学号08120146

指导教师：刘陆军

南京师范大学泰州学院教务处制

摘要：本文主要是介绍了二阶常微分方程众多解法中的三种，分别为特征方程法，拉普拉斯变换法和常数变易法，研究并讨论了二阶常微分方程在特征方程法中特征方程根为实根，复根和重根的情形。我们选用了弹簧振子系统的振子运动，用这三种不同的方法来解决该问题。

关键词：二阶常微分方程；特征根法；常数变易法；拉普拉斯变换

Abstract:The main purpose of this paper is the second-order ordinary many differential equation solution of three, respectively as the characteristic equation method, Laplace transform method and variation of constants method, study and discuss the second-order often differential equation in the characteristic equation of the roots of the characteristic equation for real roots, complex roots and root weight. We choose the spring oscillator the oscillator motion, these three different methods to solve the problem.

Keywords: second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform

目录

1 绪论 (3)

1.1 二阶常微分方程的起源和发展史 (3)

1.2 二阶常微分方程的介绍 (3)

1.3 研究二阶常微分方程的目的与意义 (4)

2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (5)

2.1 特征方程法 (5)

2.1.1 特征根是两个实根的情形 (5)

2.1.2 特征根有重根的情形 (6)

2.2 常数变易法 (7)

2.3 拉普拉斯变换法 (9)

3 二阶常微分方程解法的应用（分析例题） (11)

3.1 特征方程法 (11)

3.2 常数变易法 (13)

3.3 拉普拉斯变换法 (14)

4 结论和启示 (16)

谢辞 (18)

参考文献 (19)

1 绪论

1.1 二阶常微分方程的起源和发展史

既然说到了微分方程，就不能不提到海王星的故事，它的发现是人类智慧的硕果，微分方程在其中扮演了重要的角色，并且在其中也包含数学演绎法的作用。在发现了天王星之后，进行天文观测的人们发现它所处的位置总是和万有引力计算出的位置有些许不同，于是有人质疑万有引力定律的正确性。但也有一部分人认为，这也可能是天王星在受到一颗尚未发现的行星的吸引力才会造成的改变。不少人坚信这种假设是正确的，但却很少有人找到了正确的方法并付诸实践。而英国的一个学生亚当斯显然不是其中之一，他勇敢接受了这项任务，运用手头仅有的资料建立起微分方程，成功求出了海王星的位置与下次出现的时间。1843年10月21日，满怀信心的亚当斯把结果寄给了天文台长艾利，但换来的却是质疑，艾利并不相信籍籍无名的他。然而在两年后，另一名青年勒威耶也计算出了同样的数据，并把计算的结果给予了位于柏林天文台的助理员卡勒，在那个值得铭记的夜晚，卡勒在计算出的位置上发现了第七颗行星海王星。

从二十世纪三十年代以来，常微分方程的研究像是走上了快车道，迅速发展并建立起了多个分支。

1927－1945年期间定性理论的主要研究是与无线电技术紧密联系在一起的。在第二次世界大战期间由于对通讯等方面的需求越来越高，极大地激发了对无线电技术的研究进展，尤其是对非线性振动理论的研究取得了迅速的发展。

在四十年代之后各国大部分数学家们主要在研究对抽象动力系统的拓扑特征, 例如闭轨的存在性、结构的稳定性等, 对于二维系统来说，我们可以通过一些方法证明他的结构稳定性；而对于一般的系统来说这个问题依旧困扰着我们。在动力系统的研究方面, 目前采用的办法是从典范方程组到阻碍集有详尽的理论指导,成功解决了一系列困扰人类多年的问题, 其中最为突出的是C ’封闭引理的证明, 以及对结构稳定性的充要条件等方面都作出了杰出贡献。

在当今社会，由于信息技术的飞速发展，大量的领域需要用到常微分方程组进行描述。前赴后继的杰出的学者们，为了各种稳定性及专业问题，终其一生都在研究常微分方程，也取得了不朽的成就，但依然有很大的疑问等着我们去解开。

1.2 二阶常微分方程的介绍 二阶微分方程在时间上大致与微积分同时产生 。对于初学者来说，)(x f y ='这样的问题就是最简单的微分方程了。二阶常系数线性微分方程是形如)(x f qy y p y =+'+''的微分方程。与其对应的二阶常系数齐次线性微分方程为0=+'+''qy y p y ，其中q p ,是实常数。若函数1y 和2y 之比为常数，称1y 和2y 是线性相关的；若函数1y 和2y 之比不为常数，称1y 和2y 是线性无关的。

1.3 研究二阶常微分方程的目的和意义

就如上文所说，研究二阶常微分方程已经取得了不少成就，尤其是在对方程的求解方面。与此同时应用常微分方程的理论也经过大家的不懈努力，取得了丰硕的成果。但是对于进一步的发展所需，还是小巫见大巫，所以我们要更加努力的钻研，努力地完善这门学科的理论系统。在数学的发展历史中，数学分析占有非常重要的地位，我们大学学习的课程也都是以数学分析作为基础，而微分方程正是数学分析的关键所在。同时它也发展出了数学分析中大部分思想以及理论。众所周知的，常微分方程自始至终都是人类用来探索自然变换，研究自身社会结构，工程问题以及大自然的生态结构的便利的道具。常微分方程由于与现实生活息息相关，所以对其的研究一直没有停止过，而且表现出欣欣向荣的活力。并且在多个学术领域中，常微分方程都占着决定性的作用，可以说常微分方程带领着人类的进步。而二阶常微分方程同样在常微分方程的整套理论中有着弥足轻重的地位，在各个研究领域中都有十分广泛的应用。