x<sinx/cosx xcosx<sinx cosx<sinx/x
夹逼定理
tanα〃cotα=1 sinα〃cscα=1 cosα〃secα=1 商数关系
tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα平方关系
sinα2+cosα2=1 1+tanα2=secα21+cotα2=cscα2
cotx:余切函数cotx=1/(tanx)=(cosx)/(sinx),secx:正割函数secx=1/(cosx),
cscx:余割函数cscx=1/(sinx),
局部保号性:
如果f(x) 在x = x?附近连续且f(x?) 不等于0 ,那么在x = x?附近f(x) 的符号与f(x?) 的符号相同。只有从某一项开始,才能具有相同的正负号。(由于函数的连续性,在函数值为0的点,跟不为0点之间,我们可以插入无穷多个点,这些点的函数值不为0,具有相同的正号,或具有相同的负号。)
求渐近线的方法:
如果当x→∞时,f(x)→A,则曲线y=f(x)有一水平渐近线y=A;
如果当x→x?时,f(x)→∞,则曲线y=f(x)有一铅直渐近线x=x?;
如果极限x→+∞lim[f(x)/x]=a存在,且极限x→+∞lim[f(x)-ax]=b也存在,则曲线y=f(x)有渐近线,它的方程是:y=ax+b.
例如y=x3/(x2+2x-3)=x3/(x+3)(x-1)
有铅直渐近线x=-3和x=1;还有斜渐近线y=x-2.
不可导:
是否连续.再判左右极限是否相等.不连续的函数肯定是不可导的。
绝对值函数,在0点左右,会发生图像上下反折,产生尖角,此处左右导数不相等,因此不可导。
分母为0点,开平方内0点,是定义域的边界,可能不可导。函数值趋于无穷大的点,定义域的断点,端点,可能不可导。
1.含绝对值函数,出现尖点的。如y=|x^2-2x|,在x=0,x=2处不可导;
出现角点的。如y=|x|,在x=0处不可导
2.分段函数在分界点曲线发生突变的(包括尖点、角点);
3.个别幂函数。出现尖点的。如y=x^(2/3),在x=0处不可导。
1.(未定式) 不能用商的极限的运算法则,可以通过约去使分子分母同时为零的因式来求解。
2.若分母→0,分子≠0,则可求得倒数极限为0,再得原式=∞
3.(未定式)∞∞—不能用商的极限的运算法则,可用最高次幂同时去除分子分母,然后取极限。
4.(未定式)∞-∞,不能用差的极限的运算法则,可以恒等变形成“”
或“∞∞—”的极限,再用前面的方法求解。
5.
6.函数中含有根号时,可以直接约去或凑成平方差(有理化)。
7.可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点
第一类间断点 第二类间断点
8. 00—00—x0 x0)]([lim )]([lim →→=x x x u f x u f