设t 时刻流场中任一流体微团中某点 M(x+dx,y+dy,z+dz)的速度为
:
第五章 旋涡理论
本章主要研究：旋涡运动，不涉及力，属于运动学范畴。
由于旋涡场的特性不同于一般流场，在这里我们专门对其进行分析研究。 旋涡与船体的阻力、振动、噪声等问题密切相关。
旋涡运动理论广泛地应用于工程实际，比如 机翼、螺旋桨理论等。 旋涡的产生：与压力差、质量力和粘性力等因素有关。
根据边界层理论，流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严重的一薄层外，其余区 域的流动可视为理想流体的无旋运动。
图片：
§
5.1 旋涡运动的基本概念
流体微团：由大量流体质点所组成的，具有线性尺度效应的微小流体团。
別体
刚体的运动是由于平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成。
流体微团的运动一般除了平移和绕某瞬时轴的转动之外，还有线变形运动和角变形运动。
.速度分解定理:
平移
线变形
-角变形
流体
A(x,y,z)的速度为 V V 、V z ，则与点A 相邻的点
v mx
v x
V X
dx 1 V x 巴dy ￡上
V z
dz 1 V x V z
dz 1 V
y
X
2 y
x
2 z
X
2 z
x
2 x
V y
y
y
V
mx
V x
x
dx z
dy y
dz
y
dz
z
dy 同理：
V
my V
y
y dy
x
dz
z dx z dx
x
dz
V mz V z
z
dz
y
dx x dy
x
dy
y
dx
上式称为海姆霍茨(Helmholtz )速度分解定理。
二. 流体微团的运动形式：
这里仅分析正交微小六面体流体微团的一个平面的运动情况
(其它平面的情况可按同样的原则类推)
设t 时刻矩形ABCD 上A(x,y)点的速度分量为 Vx 、Vy ，则B(x+dx,y)点的速度分量为： t+dt 时刻，矩形 ABCD 变形运动
至 A''C '；如图所示。
A'、B 和D'的移动距离如图所示。
V x
Vx
dx 丄dy
v
x
dz
X
y z
v
my v
y
V
^dx
V y -dy y
V y
dz
V mz V z
V z dx 匕 dy 亠 dz x y z
引入符号:
V x
X
X
1 V z
V y
X —
2 y z
1
V x V z y 二
2
z
X
1 V z
V y
1 V x
V z
y
2
z X
1 V y
V x z —
2 x
y
z
］上匕
z
2
x
y
V
Bx
Vx . V x dx
X
V By V y
V y y dx X
D(x,y+dy) 点的速度分量为：
V
Dx
V x -^dy
V Dy V y
V y y
dy
y
y
V z X
1. V x 、v y （及V Z ）分别是流体微团在x,y （及z ）方向的平移速度。
2. x , y
和z
分别是流体微团在x,y 和z 方向的线变形速度（线变形率）
如上图，沿x
方向的绝对变形量为： V x V x
AB AB v x -dx dt v x dt - dxdt x - 故，x 是流体微团在X 方向的线变形率（在X 方向单位时间内的相对 变形量） 同理，y 、 z 分别是流体微团在y 、Z 方向的线变形率。 对于不可压缩连续流体，有: V x v y
V z x
y
z
￡称为流体的体积变形率。
事实上，这是不可压缩流体的连续性微分方程。 3. z 、 x 和y 分别是流体微团在xoy 、yoz 和zox 平面上的角变形速度（角变形率）
V y y
dxdt X
V y
L
dxdt X 上dt
X
dx V x -Vx
dx dt V x dt dx
X
d tan d 同理：d —匹dt y 定义：角变形量的一半对时间的变化率为角变形速度。 故，流体微团在xoy 平面上的角变形率为：
1 V x
2dt
同理，流体微团在
yoz 及zox 平面上的角变形速度分别为:
V x
角变形又称为剪切变形，角变形率也称为剪切变形率。
4. z 、
X 和y 分别是流体微团绕
Z 、x 和 y 轴的旋转角速度（角转速）
时针方向转动为正方向
d d
1 V y V X
z
2dt 2 x
y
同理，流体微团绕 x 、y 轴的旋转角速度分别为：
1 V z
V y
1 V x
V z
x
2 y
z
y
2 z
x
定义角速度矢量为:
b- x i
y j
z
k
1 V z V
y
1 V x V z 1 V y
V x - 1 —
i
j
k (V)
2 y z
2 z x 2 x
y 2
V
称为速度的旋度。
在圆柱坐标系中，旋转角速度的三个分量表示为：
1 1 V x
V 1 V r V x 1
V V 1 r
2 r
x
2
x r
x
2
r r r
旋转角速度矢量的正方向按右手螺旋法则确定。
总之，流体微团的运动一般包括：平移，线变形运动，角变形运动和绕某瞬时轴的转动。
三. 有旋流动和无旋流动：
每一流体微团的旋转角速度都等于零的流动，称为无旋流（无涡流）。
把BAD 之平分线绕z 轴的旋转角速度定义为
流体微团绕z 轴的旋转角速度
z ，并规定逆
这时:
V z V x
0,
V y
V z
V x
v y
最后说明一下：
1. 流动是有旋流或无旋流取决于流体微团本身是否旋转，与其运动轨迹无关。
故流体流动是无旋流。
四. 旋涡强度:
1. 涡量:
涡量一一速度矢量的旋度。
涡量常用来表示。
由矢量运算规则，有:
这是涡矢量的一个重要特性。
2. 涡通量（涡管强度）：
面积S 上的涡通量 强）。
常用J 表示。 旋转角速度在S 上法向分量的积分。若
S 为涡管截面也称为涡管强度 （或涡
ndS n dS
n 面积S 上的法向单位矢量。
1 V x V z y
2 _z _X
-------- ---------- --------- ；
运动轨迹为直线，却为有旋流。
2. 无旋流一般存在于理想流体之中，而有旋流一般存在于粘性流体之中。 微团转
动。
（由于内摩擦切应力使流体
解:
已知流体流动的流速场为 =ax ,V
y
= by , V
z
= 0，试判断该流动是无旋流还是有旋流?
1 V z
V y
x
2 y z
V z
V y
V x
y
即旋转角速度的两倍值，称为涡量。
x
i
z
k
这里:
x
2 x ,
Z 。
v) 0
五.涡线、涡面和涡管：
1. 涡线：
⑴.涡线的定义：
某瞬时，如果流场中的某一条曲线上每一点的切线都与该点的流体微团的旋转角速度方向相同，则称此曲线为该瞬时的一条涡线。
涡线就是沿该曲线上各流体微团的瞬时转动轴线。
的方向按右手法则确定。
⑵.涡线的特征：
1).只有当流体的流动为有旋流动时，才存在涡线。
2).涡线具有瞬时性，在不同的瞬时，涡线的形状一般不同。定常流动时涡线的形状保持不变。
3).一般情况下，涡线与流线不是重合而是相交。
⑶.涡线微分方程：
设涡线微段为：ds dxi dy j dzk
该点流体微团的旋转角速度为： - ￥■
x i y
j z k
由于//ds,两矢量的分量对应成比例：
dx dy dz
x(x, y,乙t)y(x,y, z,t)z(x, y,z,t)
若已知3 x、3 y、3 z,积分上式可得涡线。与流线的积分一样，将t看成参数。t取定值就得到该瞬时的涡线。
2. 涡面、涡管：
某瞬时通过给定曲线(不是涡线) C上的每一点的涡线所构成的曲面称为涡面。
在涡量场中任意绘一条非涡线的封闭曲线，在该曲线上的每一点作涡线，这些涡线所围成的管状面称为涡管(vortex tube )。
涡管横截面积上的旋涡强度也称为涡管强度。
涡管中充满着作旋转运动的流体，称为涡束。截面积为无限小的涡束称为涡索（或涡丝vortex filame nt ）。
也有的教材把上述概念用张量表示为:
V M i V i | —d X j
x J V
i ij
1 (
X j ij ij2(
V i V j 1
斤^)2(
V V i
V
J)
X j X i
ij A
-CL
x
i xx xy xz
ij yx yy yz ij
zx zy zz
V
x
x
V
y 1 (V y V x 2(
1
2( x 1 / V x rr V x
x)
y
V
z)
x
1( y
Vx)
x y
V
y
y
V z V y)
z
1 V
2V
2(上
2 y
V z
z
V
z)
x
h
z
ij十(上—)
2 X j X j
丄L
!(V z
2 y
1 V x
2( z
1 / V y
2( x
yz
zx
xy
V
y)
z
V
z)
X
V
z)y
流体的变形张量：二阶对称张量，有26个独立分量。
. 1
x i y j z k 3 2 V
■XX
V 23
流体运动的涡量
流体平均旋转角速度
例2:设流场的速度分布为V r =0, V e = r 3,3= con st.，求涡线方程。