解析几何压轴题型梳理及探讨
题型一:直线和圆锥曲线的位置关系问题 题型二:弦的垂直平分线问题 题型三:动弦过定点的问题
题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 题型五:共线向量问题 题型六:面积问题
题型七:中点弦多解性问题 题型八:弦长为定值问题 题型九:角度问题
题型十:四点共线问题
题型十一:范围问题(本质是函数问题) 题型十二、存在性问题
题型一:直线和圆锥曲线的位置关系问题
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:
14x y C m
+=始终有交点,求m 的取值范围 解:根据直线:1l y kx =+的方程可知,直线恒过定点(0,1),椭圆22
:
14x y C m
+=过动点
04m ±≠(,且,如果直线:1l y kx =+和椭圆22
:14x y C m
+=始终有交点,则
14m ≥≠,且,即14m m ≤≠且。
规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点:
:101l y kx =+?过定点(,) :(1)1l y k x =+?-过定点(,0)
:2(1)1l y k x -=+?-过定点(,2)
题型二:弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2
y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0),
使得ABE ?是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+,0k ≠,11(,)A x y ,22(,)B x y 。 由2
(1)y k x y x
=+??
=?消y 整理,得2222
(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点,得2
2
4
2
(21)4410k k k ?=--=-+>
即2
1
04
k <<
② 由韦达定理,得:212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22
211
(,)22k k k
--。 线段的垂直平分线方程为:2
21112()22k y x k k k --=--,令y=0,得02
1122
x k =-,则211(,0)22
E k - ABE ?Q 为正三角形,∴211
(,0)22
E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。 22
1212()()AB x x y y =-+-Q 222
141k k k
-=+g 212k d k += 222
314112k k k k
-+∴+=g 解得3913k =±满足②式此时053x =。 题型三:动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>满足
,2322=-a b a 且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程;
(II )若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点,直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论
解:(I )由已知椭圆C 满足
,2
3
22=-a b a 2a =,则得3,
1c b ==。从而椭圆的方程为2
214
x y += (II )设11(,)M x y ,22(,)N x y ,直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+,
由122
(2)44
y k x x y =+??
+=?消y 整理得222
121(14)161640k x k x k +++-=12x -Q 和是方程的两个根,21121164214k x k -∴-=+则211212814k x k -=+,1121
414k y k =+,即点M 的坐标为211
22
11284(,)1414k k k k -++, 同理,设直线A 2N 的斜率为k 2,则得点N 的坐标为2
22
22
22
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-Q 12122
k k k k t -∴=-+,Q 直线MN 的方程为:121121
y y y y x x x x --=--,
∴令y=0,得211212x y x y x y y -=-,将点M 、N 的坐标代入,化简后得:4
x t
=
又2t >Q ,∴402t <
3t ∴=,即433t =. 综上所述,当43 3 t =时,MN 过椭圆的焦点。 题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E :22221x y a b += (0)a b >>上的三点,其中点A (23,0)是椭 圆的右顶点,直线BC 过椭圆的中心O ,且0AC BC =u u u r u u u r g ,2BC AC =u u u r u u u r ,如图。(I)求点C 的 坐标及椭圆E 的方程;(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ,使得直线PC 与直线QC 关于直线3 x =对称,求直线PQ 的斜率。 解:(I) 2BC AC =u u u r u u u r Q ,且BC 过椭圆的中心O OC AC ∴=u u u r u u u r 0AC BC =u u u r u u u r Q g 2 ACO π ∴∠= 又Q ∴点C 的坐标为。 Q A 是椭圆的右顶点,a ∴=22 2112x y b += 将点 C 代入方程,得2 4b =,∴椭圆E 的方程为221124 x y += (II)Q 直线PC 与直线QC 关于直线x = ∴设直线PC 的斜率为k ,则直线QC 的斜率为k -,从而直线PC 的方程为: (y k x -= ,即)y kx k =+- ,由22)3120 y kx k x y ?=-?? +-=??消y ,整理得: 222(13)(1)91830k x k x k k ++-+-- =x =Q 229183 13P k k x k --∴=+ 即2 P x = 2 Q x = ))P Q P Q y y kx k kx k -=-++Q =()P Q k x x +- 22P Q x x -= 13P Q PQ P Q y y k x x -∴==- 则直线PQ 的斜率为定值1 3 。 题型五:共线向量问题 例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M :22 194 x y +=于P 、Q 两点,且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。 解:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),Q DP DQ l =uuu r uuu r \(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3)即121 23(3)x x y y l l ì=??í ?=+-??? 判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为:3,0y kx k =+≠,由22 3 4936y kx x y =+?? +=? 消y 整理后,得 22(49)54450k x kx +++=Q P 、Q 是曲线M 上的两点 22(54)445(49)k k ∴?=-?+=2144800k -≥ 即295k ≥ ① 由韦达定理得:121222 5445,4949k x x x x k k +=-=++ 21212 1221 ()2x x x x x x x x +=++Q 222254(1)45(49)k k λλ+∴=+即2222 36944 15(1)99k k k λλ+==++ ② 由①得211095k <≤,代入②,整理得 236915(1)5λλ<≤+, 解之得 155 λ<< 当直线PQ 的斜率不存在,即0x =时,易知5λ=或15 λ=。 总之实数l 的取值范围是1,55?? ???? 。 题型六:面积问题 例题6、已知椭圆C :12222=+b y a x (a >b >0)满足 ,36 22=-a b a 短轴一个端点到右焦点的距离为3。 (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为2 3 ,求△AOB 面积的最大值。 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ,依题意c a a ?=???? 1b ∴=,∴所求椭圆方程为 2 213 x y +=。 (Ⅱ)设11()A x y ,,22()B x y ,。(1)当AB x ⊥ 轴时,AB 。(2)当AB 与x 轴不垂直时, 设直线AB 的方程为y kx m =+ 2 23 (1)4 m k =+。 把y kx m =+代入椭圆方程,整理得2 2 2 (31)6330k x kmx m +++-=, 122 631 km x x k -∴+=+, 21223(1)31 m x x k -= +。 2 22 21(1)()AB k x x ∴=+-2222 22 23612(1)(1)(31)31k m m k k k ??-=+-??++?? 222222222 12(1)(31)3(1)(91) (31)(31)k k m k k k k ++-++== ++242 22121212 33(0)34196123696k k k k k k =+=+≠+=++?+++≤。 当且仅当2 2 1 9k k = ,即3k =±时等号成立。当0k = 时,AB , 综上所述max 2AB =。 ∴当AB 最大时,AOB △ 面积取最大值max 12S AB =?=。 题型七:中点弦多解性问题 例题7、已知椭圆的焦点()()121,0,1,0F F -,过10,2P ? ? ??? 作垂直于y 轴的直线被椭圆所截线段 ,过1F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;若A 是椭圆与y 轴负半轴的交点,求PAB ?的面积; (Ⅱ)是否存在实数t 使1 PA PB tPF +=u u u r u u u r u u u r ,若存在,求t 的值和直线l 的方程;若不存在,说明理由. .解:(Ⅰ)设椭圆方程为22221x y a b += ,由题意点122?? ? ??? 在椭圆上,22 1a b =+,所以22 6114(1)b b +=+,解得22 12x y +=;由题意1y x =-,所以,()410,0,,33A B ?? ??? ,12 1 =?=?B ABP x AP S (Ⅱ)当直线斜率不存在时,易求1,,1,22A B ???- ? ? ????,所以)21 ,1(),212,1(),212,1(1-=+-=-=PF 由1 PA PB tPF +=u u u r u u u r u u u r 得2t =,直线l 的方程为1x =. 当直线斜率存在时,所以112211,,,22PA x y PB x y ????=-=- ? ?????u u u r u u u r ,111,2PF ?? =- ?? ?u u u r 由1 PA PB tPF +=u u u r u u u r u u u r 得121211222x x t t y y +=???-+-=-??即121212 x x t t y y +=?? ?+=-?? 因为1212(2)y y k x x +=+-,所以12k =- .此时,直线l 的方程为()1 12y x =-- 注:由1 PA PB tPF +=u u u r u u u r u u u r 得1F 是AB 的中点或P 、A 、B 、1F 共线,亦可. 题型八:弦长为定值问题 例题8、在平面直角坐标系xOy 中,过定点C (0,p )作直线与抛物线x 2=2py (p>0)相交于A 、B 两点。 (Ⅰ)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点,求△ANB 面积的最小值; (Ⅱ)是否存在垂直于y 轴的直线l ,使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由。 (Ⅰ)依题意,点N 的坐标为N (0,-p ),可设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为y=kx+p, 与x 2=2py 联立得???+==. 22 p kx y py x 消去y 得x 2-2pkx -2p 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2pk,x 1x 2=-2p 2.于是 2122 1 x x p S S S ACN BCN ABN -?=+=??? =21221214)(x x x x p x x p -+=-=.228422 222+=+k p p k p p 222min 0p S k ABN ==∴?)时,(当. (Ⅱ)假设满足条件的直线l 存在,其方程为y=a,AC 的中点为为直与AC t O ,'径的圆相交于点P 、Q ,PQ 的中点为H ,则)点的坐标为( 2 ,2,11p y x O PQ H O +'⊥'2121)(2121p y x AC P O -+== 'Θ=22 121p y +. ,22 1211p y a p y a H O --=+-='2 22H O P O PH '-'=∴= 21221)2(4 1 )(41p y a p y ---+ =),()2 (1a p a y p a -+- 22)2(PH PQ =∴=.)()2(42?? ? ???-+-a p a y p a 令02=- p a ,得p PQ p a ==此时,2 为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为2p y =, 即抛物线的通径所在的直线. 解法2: (Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得 22222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +?+=-+?+=-+= =.21222+?+k k p 又由点到直线的距离公式得2 12k p d +=. 从而,,22122122121222 22+=+?+?+?=??= ?k p k p k k p AB d S ABN .22max 02p S k ABN ==∴?)时,(当 (Ⅱ)假设满足条件的直线t 存在,其方程为y=a ,则以AC 为直径的圆的方程为 ,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得 ). (1)2(4))((4, 0))((12 1 112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+????? ? -=---?=----=则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P (x 2,y 2),Q (x 4,y 4),则有 .)()2(2)()2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=?? ? ???-+-=-= 令p PQ p a p a ===- 此时得,2,02为定值, 故满足条件的直线l 存在,其方程为2 p y =. 即抛物线的通径所在的直线。 题型九:角度问题 例题9、(如图(21)图,M (-2,0)和N (2,0)是平面上的两点,动点P 满足: 6. PM PN +=(Ⅰ)求点P 的轨迹方程;(Ⅱ)若2 · 1cos PM PN MPN -∠=,求点P 的坐标. 解:(Ⅰ)由椭圆的定义,点P 的轨迹是以M 、N 为焦点,长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2,长半轴a =3,从而短半轴b =225a c -=所以椭 圆的方程为22 1.95 x y += (Ⅱ)由2 ,1cos PM PN MPN =-g 得cos 2.PM PN MPN PM PN =-g g ① 因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点,故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN 中, 4,MN =由余弦定理有 2 22 2cos .MN PM PN PM PN MPN =+-g ② 将①代入②,得 2 2 2 42(2).PM PN PM PN =+--g 故点P 在以M 、N 为焦点,实轴长为2 213 x y -=上. 由(Ⅰ)知,点P 的坐标又满足22 195 x y +=,所以 由方程组2222 5945,3 3.x y x y ?+=??+=?? 解得x y ?=???? =?? 即P 点坐标为. 题型十:四点共线问题 例题10、设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>> 过点M ,且左焦点为1(F (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时,在线段AB 上取点Q ,满足AP QB AQ PB =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ,证明:点Q 总在某定直线上 解 (1)由题意: 2222222211c a b c a b ?=? ?+=???=-? ,解得22 4,2a b ==,所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一 设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。 由题设知,,,AP PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r 均不为零,记AP AQ PB QB λ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则0λ>且1λ≠ 又A ,P ,B ,Q 四点共线,从而,AP PB AQ QB λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r 于是 1241x x λλ-=-, 12 11y y λλ -=- 121x x x λλ+=+, 12 1y y y λλ +=+ 从而 22212241x x x λλ-=-,L L (1) 222 12 2 1y y y λλ -=-,L L (2) 又点A 、B 在椭圆C 上,即 2 2 1124,(3)x y +=L L 2 2 2224,(4)x y +=L L (1)+(2)×2并结合(3),(4)得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二 设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ,由题设,,,,PA PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r 均不为零。 且 PA PB AQ QB =u u u r u u u r u u u r u u u r 又 ,,,P A Q B 四点共线,可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±u u u r u u u r u u u r u u u r ,于是 1141,11x y x y λλλλ--==-- (1) 2241,11x y x y λλλλ ++==++ (2) 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上,将(1),(2)分别代入C 的方程22 24,x y +=整理 得 222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= (3) 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4) (4)-(3) 得 8(22)0x y λ+-= 0,220x y λ≠+-=∵∴ 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 题型十一:范围问题(本质是函数问题) 例题11、设1F 、2F 分别是椭圆14 22 =+y x 的左、右焦点。 (Ⅰ)若P 是该椭圆上的一个动点,求1PF ·2PF 的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围。 解: (Ⅰ)解法一:易知2,1,a b c === 所以( )) 12 ,F F ,设(),P x y ,则 ( )) 2212,, ,3PF PF x y x y x y ?=--=+-u u u r u u u u r ()22 21 133844x x x =+--=- 因为[]2,2x ∈-,故当0x =,即点P 为椭圆短轴端点时,12 PF PF ?u u u r u u u u r 有最小值2- 当2x =±,即点P 为椭圆长轴端点时,12 PF PF ?u u u r u u u u r 有最大值1 解法二:易知2,1,a b c === ( )) 12 ,F F ,设(),P x y ,则 222 12121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-?=??∠=???u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ( (2 2 2 2221 1232x y x y x y ??=+++-+-=+-? ??? (以下同解法一) (Ⅱ)显然直线0x =不满足题设条件,可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-, 联立22 2 1 4 y kx x y =-???+=??,消去y ,整理得:22 14304k x kx ??+++= ??? ∴12122243,1144 k x x x x k k +=- ?= + + 由()2 2 14434304k k k ???=-+ ?=-> ? ? ? 得:2k < 或2k >- 又000090cos 000A B A B OA OB <∠∠>??>u u u r u u u r ∴12120OA OB x x y y ?=+>u u u r u u u r 又()()()2 121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2 222 3841144 k k k k -=++++ 22114k k -+=+ ∵ 2223 1 01144 k k k -++>++ ,即24k < ∴22k -<< 故由①、②得22k -<<- 或 22 k << 题型十二、存在性问题(存在点,存在直线 m kx y +=,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正 方形),圆) 例题12、设椭圆E: (a,b>0)过M (2 ) , ,1)两点,O 为坐标原点, (I )求椭圆E 的方程; (II )是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且 ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。 解:(1)因为椭圆 E: (a,b>0)过M ( 2) ,,1)两点, 所以解得所以椭圆E 的方程为 (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且 ,设该圆的切线方程为解方程组得 ,即, 则△=,即 , 要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或 ,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 ,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒 22 221x y a b +=OA OB ⊥u u u r u u u r 22 221x y a b +=2222421611a b a b +=+=???????2211 8114 a b ?=????=??2284a b ?=?=?22184x y +=OA OB ⊥u u u r u u u r y kx m =+2218 4x y y kx m +==+?? ???222()8x kx m ++=222(12)4280k x kmx m +++-=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>22 840k m -+>1222 12241228 12km x x k m x x k ? +=-??+ ?-?=?+? 2222222 2 21 2121212222 (28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+= ++ +OA OB ⊥u u u r u u u r 12120x x y y + =22222 28801212m m k k k --+=+ +22 388 0m k --=22 3808m k -=≥2284 0k m -+>22238 m m ?>?≥?283m ≥3m ≥m ≤y kx m =+r =22222838131m m r m k ===-++ 3r =22 83x y +=y kx m =+3m ≥3 m ≤-x =22 184x y +=(OA OB ⊥u u u r u u u r 228 3 x y += 有两个交点A,B,且. 因为, 所以, , ①当时 因为所以,所以, 所以当且仅当时取”=”. ② 当时, ③ 当AB 的斜率不存 在时, 两个交点 为或,所以此时, 综上, |AB | : OA OB ⊥u u u r u u u r 122 2 12241228 12km x x k m x x k ? +=-??+?-?=?+? 2222 2 21212122222 4288(84) ()()4()41212(12) km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--?=+++||AB =====0k ≠||AB = 2 21448k k ++≥221101844k k < ≤++2232321[1]1213344k k <+≤++4 6||233 AB <≤22k =±0k =||AB =(33±(33 -±||3 AB =||AB ≤≤||AB ∈ 21.(本小题满分12分)[2017皖南八校]如图,点()2,0A -,()2,0B 分别为椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点,,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点,直线 ,AP BP 的斜率分别为12,k k ,且121 4 k k =- ,AP OM ∥,BP ON ∥. (1)求椭圆C 的方程; (2)判断OMN △的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由. 【答案】(1)2 2:14 x C y +=;(2)定值1. 【解析】(1)22 1,1144 2,AP BP b k k b a a ?=?=-??=??=? ,椭圆22:14x C y +=. (2)设直线MN 的方程为y kx t =+,()11,M x y ,()22,N x y , ()222 22 , 4184401,4 y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??, 122841 kt x x k +=-+,2122 44 41t x x k -=+, ()()1212121212121211 404044 y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=- ??=-?+=?+++=, ()()2 2121241440k x x kt x x t ++++=, ()22 22222448414402414141t kt k kt t t k k k ?? -+-+=?-= ?++?? , ()() ()( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2114MN k x x k x x x x ??= +-= ++-?? 解析几何压轴大题专题突破 1. 已知命题 p :方程 x 22m + y 29?m =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q :双曲线 y 25 ? x 2m =1 的离心率 e ∈( √6 2 ,√2),若命题 p ,q 中有且只有一个为真命题,求实数 m 的取值范围. 2. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 {x =√3cosα, y =sinα,(α 为参数),以坐标 原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρsin (θ+π 4 )=2√2. (1)写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程; (2)设点 P 在 C 1 上,点 Q 在 C 2 上,求 ∣PQ ∣ 的最小值及此时 P 的直角坐标. 3. 在直角坐标系 xOy 中,直线 C 1:x =?2,圆 C 2:(x ?1)2+(y ?2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C 1,C 2 的极坐标方程; (2)若直线 C 3 的极坐标方程为 θ=π 4(ρ∈R ),设 C 2 与 C 3 的交点为 M ,N ,求 △ C 2MN 的面积. 4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为 x =?1,直线 l 与抛物线相交于不同的 A ,B 两点. (1)求抛物线的标准方程; (2)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 OA ????? ?OB ????? 的值; (3)如果 OA ????? ?OB ????? =?4,直线 l 是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定点,试说明理由. 5. 已知抛物线 C:y 2=2px (p >0) 与直线 x ?√2y +4=0 相切. (1)求该抛物线的方程; (2)在 x 轴正半轴上,是否存在某个确定的点 M ,过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A ,B 两点,使得 1 ∣AM∣ +1∣BM∣ 为定值.如果存在,求出点 M 坐标;如果不 存在,请说明理由. 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 A 的坐标为 (2?3sinα,3cosα?2),其中 α∈R .在极坐标系(以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 C 的方程为 ρcos (θ?π 4 )=a . (1)判断动点 A 的轨迹的形状; (2)若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点,求实数 a 的值. 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :x 2a + y 2b =1(a >b >0) 的离心率为 √6 3 .且 过点 (3,?1). (1)求椭圆 C 的方徎; (2)动点 P 在直线 l :x =?2√2 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M ,N 两点,使得 PM =PN ,再过 P 作直线 l?⊥MN ,直线 l? 是否恒过定点,若是,请求出该定 点的坐标;若否,请说明理由. 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,C 1:{x =t, y =k (t ?1) (t 为参数).以原点 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 2:ρ2+10ρcosθ?6ρsinθ+33=0. (1)求 C 1 的普通方程及 C 2 的直角坐标方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 P ,Q 分别为 C 1,C 2 上的动点,且 ∣PQ ∣ 的最小值为 2,求 k 的值. 7.3 解析几何(压轴题) 命题角度1曲线与轨迹问题 高考真题体验·对方向 1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足 为N,点P满足. (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. (1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由得x0=x,y0=y. 因为M(x0,y0)在C上,所以=1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. (2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n), 则 =(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t -n). 由=1得-3m-m2+tn-n2=1. 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以=0,即. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. (1)证明由题知F. 设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0, 且A,B,P,Q,R. 记过A,B两点的直线为l, 则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. 由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2, 则k1==-b=k2. 所以AR∥FQ. (2)解设l与x轴的交点为D(x1,0), 则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=. 由题设可得|b-a|, 所以x1=0(舍去),x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1). 而=y,所以y2=x-1(x≠1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合. 所以所求轨迹方程为y2=x-1. 新题演练提能·刷高分 1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上. (1)求点B的轨迹E的方程; (2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点. (1)解设B(x,y),则AB的中点D,y>0. ∵C(0,1),则, 在☉C中,∵DC⊥DB, ∴=0,∴-+y=0, 即x2=4y(y>0). ∴点B的轨迹E的方程为x2=4y(y>0). (2)证明由已知条件可得曲线E的方程为x2=4y, 设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2). 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则解析几何(大题)
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