卫生统计学课件第五章 参数估计基础

第二节 t 分布 (t-distribution)
一、t 分布的概念 1908年英国统计学家W.S.Gosset 以笔名“student ”发表了著名的t分布
设： X ~ N 0 , 1 , Y ~ 2 n , 且X与Y相互独立，称随机变量
t
X
Y /
n
服从自由度为n
的学生氏分布（student
t
表5-1 从N（155.4 ， 5.32） 抽到的100份随机样本的计算结果（n=30）
样本号 1 2 3 4 … 52 53 … 57 … 59 … 96 99
100
均数 156.7 158.1 155.6 155.2
… 153.7 154.8
… 158.2
… 153.4
… 152.7 154.6 156.6
黑球比例% 5.0~ 8.0~ 11.0 ~ 14.0~ 17.0~ 20.0~ 22.0~ 25.0~ 28.0~ 31.0~ 34.0~ 40.0~ 合计
频数 3 7 5 8 16 22 15 7 7 5 3 2
100
% 3.0 7.0 5.0 8.0 16.0 22.0 15.0 7.0 7.0 5.0 3.0 2.0 100.0
标准误 0.91 0.95 1.16 1.03 … 0.80 0.89 … 0.97 … 0.91 … 0.75 0.71 1.16
95%置信区间
154.8
158.6
156.2
160.1*
153.3
158.0
153.1
157.3
…
…
152.1
155.4*
153.0
156.6
…
…
156.2
160.2*
抽样误差估计
p
1
n
或总体率 未知时，近似值 S p
p1 p
n 1
p1 p
n
例5-2 某市随机调查50岁以上中老年妇女776人，其中骨质疏松症者322人， 样本患病率为41.5%，试估计样本率的抽样误差。
n 776 , p 41.5% ,
Sp
0.415 0.585 1.77% 776
…
…
151.5
155.3*
…
…
151.1
154.2*
153.2
156.1
154.2
159.0
表5-2 均数的抽样分布
组段下限值（cm） 152.6~ 153.2~ 153.8~ 154.4~ 155.0~ 155.6~ 156.2~ 156.8~ 157.4~ 158.0~ 合计
频数 1 4 4 22 25 21 17 3 2 1
100
频率% 1.0 4.0 4.0 22.0 25.0 21.0 17.0 3.0 2.0 1.0
100.0
一、样本均数的抽样分布与抽样误差
1.各样本均数未必等于总体均数； 2.各样本均数之间存在差异； 3.样本均数的分布具有近似对称性； 4.样本均数的变异范围较之原变量的变异范围大大缩小。
若X服从正态分布 则X服从正态分布
第五章 参数估计基础
( parameter estimation)
要求： 1.掌握抽样分布规律与抽样误差测算 2.掌握t 分布的概念 3.掌握总体均数与总体概率的置信区间估计
第一节 抽样分布与抽样样误差
假定某地13岁女学生身高服从总体均数μ=155.4cm ，标准差σ=5.3cm的 正态分布。现从当地女学生中随机抽取了100次，每次抽取30名为一个样本 Xi。（见表5-1）由于个体之间的差异，每次样本平均数不大可能恰好等于 该地女学生身高的总体均数（ μ=155.4cm ）。这种由个体变异产生的差异 称为抽样误差（sampling error)。在抽样研究中，抽样误差是不可避免的， 但怎样估计抽样误差的大小，这是进行统计推断 (statistical inference) 必须 考虑的问题。
结论若X不服从正态分布
n大，则X 近似服从正态分布 n小，则X不服从正态分布
样本均数的标准差称为均数标准误（s tan dard error）,
用 表示，实际中用S S 估计
X
n
X
n
例5-1
抽取某地健康成年男子27名，得到血红蛋白量的均数为125g/L，标准 差为15g/L。试估计该样本均数的抽样误差。
distribution）
简称t分布，记作t ~ t(n) ,其密度函数f (t)为：
f (t)
n
2
1
n n
1
t2 n
n1 2
2
t
其中: n xn1exdx 0
二、 t 分布图和特征
图5-3 不同自由度v下的t分布图
n 1
t界值表
t 分布形成
设x1 ，x2 ，... xn 为正态总体N ， 2 的一个样本，则
s n
（双侧）， x t ,v
s n
（单侧）
大样本（n>50）：
x Z / 2 s （双 在例5-1中某地27名健康成年男子的血红蛋白含量均数为125g/L，标准 差为15g/L。试求该地健康成年男子血红蛋白含量95%和99%的置信区间。
n 27 v 27 1 26
t0.05/ 2,26 2.056 t0.01/ 2,26 2.779
一、置信区间的概念
区间估计是按预先给定的概率（1–α）所确定的包含未知总体参数的一个 范围。该范围称为参数的可信区间或置信区间（confidence interval, CI）, 用 L~U表示，（1–α）称为置信度， （1–α）常取95%或99%。
二、置信区间的计算
（一）单总体均数的置信区间
小样本（n≤50）：x t / 2,v
x ~ N , n 2 对x 作Z标准化
Z x ~ N 0 ,1 ,当用s代替 时，
n
新统计量t : t x ~ tn 1
sn
称统计量 x 服从自由度 n 1 的t分布。
sn
t分布主要用于总体均数的区间估计和t检验。
第三节 总体均数及总体概率的估计
1.点估计（point estimation) 2.置信区间估计（confidence interval)
n 27 , x 125 , S 15
Sx
S n
15 2.89 g / L 27
二、样本频率的抽样分布与抽样误差
假定一口袋中有黑白两种球，已知黑球比例为20%（总体率π=0.2）。现从口袋 中任摸一球看清颜色后放回，重复摸球35次（n=35），计算摸到黑球的百分比（样 本率p）。重复这样的实验100次，每次得到黑球的比例及频数结果见下表。