静态场及其边值问题的解

第6章 静态场的边值问题
9
6.3.1 镜像法的基本原理
1. 问题的提出 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会
出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的
分布。 几个实例
非均匀感应电荷
q
接地导体板附近有 一个点电荷，如图所 示。
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求 解，可以用等效电荷的电位替代
第6章 静态场的边值问题
10
接地导体球附近有一个点电荷，如图。
等效电荷
q′
q
非均匀感应电荷
非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代
接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。 结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷
或线电荷的作用。 问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
且在边界面S 上有
0 S1 S2 S 0
或
0
n
Sn1
Sn2
S
0
或
0
S1
1
S1 2
S1
0,
0
n
S2n1
S2n2
S2
0
第6章 静态场的边值问题
7
由格林第一恒等式
V( 2 )d V S nd S
V
可得到 V( 0)2dVS0 n 0dS0
(0)2 0
0 0
0 C
S
对于第一类边界条件： 0 S 0
2
x
P
图3 介质2的镜像电荷
2(x,y,z)4π12
qq x2y2(zh)2
(z 0)
第6章 静态场的边值问题
24
利用电位满足的边界条件
1 z0 2 z0
1z1
z0
2
2
z
z0
可得到
1
1
(q
q)
1
2
(q
q )
q q q q
q
1 1
2 2
q
q
1
2
q
1 2
说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面 的无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为
分析方法：计算电介质 1 中的电位时，用 位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上 的极化电荷，并把整个空间看作充满介电 常数为 1 的均匀介质，如图2所示。
z
q
1 h x
2
图1 点电荷与电介质 分界平面
z
q
P
1 h
R
1 h
R x
q
图2 介质1的镜像电荷
第6章 静态场的边值问题
23
介质1中的电位为
A2π(122I1)ln
1 x2(zh)2
(z 0)
相应的磁场可由 B 求得A。
第6章 静态场的边值问题
28
6.3.5 导体球面的镜像 1. 点电荷对接地导体球面的镜像
如图所示，点电荷q 位于半径
P
r
R
a
q
为a 的接地导体球外，距球心为d 。 d
球面上的感应电荷可用镜像电荷
C 0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0 Q 0
C 0
1 2
对于第三类边界条件： 0 S1 0
C 0
1 2
第6章 静态场的边值问题
8
6.3 镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
第6章 静态场的边值问题
13
4. 镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。 等效求解的“有效场域”。
5. 确定镜像电荷的两条原则 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。
像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。
第6章 静态场的边值问题
A22(2 Iπ I)ln
1 x2(zh)2
(z 0)
第6章 静态场的边值问题
27
利用矢量磁位满足的边界条件
A 1z 0A 2z 0, 1 1 A z1z 01 2 A z2z 0
可得到
I 1(IIII)I 2(I I)
I
I
2 2 2
1I
1
1
I
2 1
故
A 12 1 π Ilnx 2 ( 1 z h )2 2 1 π ((2 2 1 1 )) Ilnx 2 ( 1 z h )2 ( z 0 )
(2π)
自然边界条件 （无界空间）
limr有限值
r
2π
衔接条件 不同媒质分界面上的边界条件，如
12, 1n12n2
r
S
1
1
2
2
例：
y
b
U0
O
第6章 静态场的边值问题
4
ax
2 2
x2 y2 0
(0 ,y)0 ,(a ,y)0
(x,0)0,(x,b)U 0
（第一类边值问题）
例：
y
b
U0
0 x
为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据
为求解结果的正确性提供了判据
第6章 静态场的边值问题
6
唯一性定理的证明
反证法：假设解不唯一，则有两个位函数 1
V
和 2 在场域V内满足同样的方程，即
21 f ,
22 f
且在边界面S 上满足同样的边界条件。
S
令0 1 2 ，则在场域V内
20 21 22 f f 0
(x ,y ,z)q[
1 1]
4 π x 2 y2 (z h )2 x 2 y2 (z h )2
(z 0)
导体平面上的感应电荷密度为
S z z02π(x2qyh2h2)32
q
h
导体平面上的总感应电荷为
q inS Sd S 2 q h π (x2 d y x 2 d yh 2)32
第6章 静态场的边值问题
1
第6章 静态场边值问题的解
边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程
本节内容
6.1 边值问题的类型 6.2 唯一性定理
第6章 静态场的边值问题
2
6.1 边值问题的类型
第一类边值问题（或狄里赫利问题）
V
已知场域边界面S 上的位函数值，即
|S f1(S)
率为 2 的均匀介质，如图3所示。
z
I I
2 h
R
2
x
P
因为电流沿 y 轴方向流动，所以矢 量磁位只有y 分量，则磁介质1和磁介质
图3 磁介质2的镜像 线电流
2中任一点的矢量磁位分别为
A 12 1 π Ilnx 2 ( 1 z h )22 1 π Ilnx 2 ( 1 z h )2 ( z 0 )
第6章 静态场的边值问题
11
2. 镜像法的原理
用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代 该边界上未知的较为复杂的电荷分布，在保持边界条件不变的情 况下，将边界面移去，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换 成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的 一种间接求解法。
第6章 静态场的边值问题
第6章 静态场的边值问题
22
6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像
问题：如图 1 所示，介电常数分别为 1 和 2 的两种不同电介质的分界面是无限大 平面，在电介质 1 中有一个点电荷q ，距
分界平面为h，求空间各点的电位 。
特点：在点电荷的电场作用下，电介质产 生极化，在介质分界面上形成极化电荷分 布。此时，空间中任一点的电场由点电荷 与极化电荷共同产生。
d
体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至 无穷远时电场力所做的功。
=∞
-d q'
由镜像法，感应电荷可以用像电荷 q q替代。当电荷q 移 至x时，像电荷 q 应位于－x，则像电荷产生的电场强度
E(x)ex
q
4π0(2x)2
Wo
We
q2
16π0d
We d qE(x)dx
q2
4π0
d(21x)2dx16πq20d
6.3.2 接地导体平面的镜像 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
h
h
h 镜像电荷 qq,hh
电位函数 4π q(R 1R 1)（ z0） 因 z = 0 时，RRz00
满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。
14
q
R R
q
第6章 静态场的边值问题
15
上半空间( z≥0 ）的电位函数
1 (x,y,z)4 11 x2y2 q z h 2x2y2 q 'z h 2 ( z 0 )
计算电介质 2 中的电位时，用位 于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面 上的极化电荷，并把整个空间看作充
满介电常数为 2 的均匀介质，如图 3
所示。介质2中的电位为
z
q q
2 h
R
d2 R1
得到满足。
电位函数
q (1111) 4π R R1 R2 R3
d2 q3
R3 d1
1
d1
R
R2 d1
q d2
2
d2 q2
第6章 静态场的边值问题
21
例6.3.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移
至无穷远处，需要做多少功？
x
解：移动电荷q时，外力需要克服电
q
场力做功，而电荷q受的电场力来源于导 0
17
例6-7 一水平架设的双线传输线，距地面的高度为h，两线间的距
Biblioteka Baidu
离为d，导线的半径为a，如图所示。求双线传输线单位长度的
电容。设d>>a,h>>a。
解：把地面作为无限大导体平面，电位为0，因为a<<(d,h)，所
以可近似把 l 及 l看作是分别处在传输线轴线上，采用镜像法
求解。镜像电荷的分布如图所示。地面上部空间任一点P的电位
分析方法：在计算磁介质1中的磁场时， 用置于介质2中的镜像线电流来代替分界 面上的磁化电流，并把整个空间看作充满 磁导率为 1 的均匀介质，如图2所示。
z
I
1 h x
2
图1 线电流与磁介质 分界平面
z
1 h 1 h
I
P
R
R x
I
图2 磁介质1的镜像线 电流
第6章 静态场的边值问题
26
在计算磁介质2中的磁场时，用置于 介质1中的镜像线电流来代替分界面上的 磁化电流，并把整个空间看作充满磁导
l1 1 2 2l ,l1 1 2 2l
第6章 静态场的边值问题
25
6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像
问题：如图1所示，磁导率分别为 1 和 2 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面， 在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于 分界平面，且与分界平面相距为h。 特点：在直线电流I 产生的磁场作用下， 磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流 分布，空间中的磁场由线电流和磁化电 流共同产生。
12
3. 镜像法的理论基础—— 解的唯一性定理
在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不 变的前提条件下，根据唯一性定理，只要找出的解答满足在同一 给定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且 是唯一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多 种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。
如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点 电荷q 位于(d1, d2 )处。
对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 )
显然，q1 对平面 2 以及 q2 对平 面 1 均不能满足边界条件。
q1
d1
只有在(－d1, －d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能
qh 2π 2π 0
rdrd
0 (r2h2)32
q
第6章 静态场的边值问题
16
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：ll,hh
电位函数 l lnR (z0) 2π R
有效区域
h
l
R R
当z = 0 时，r r 0
h
l
满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。
第6章 静态场的边值问题
S
第二类边值问题（或纽曼问题）
已知场域边界面S
上的位函数的法向导数值，即
n
|S
f2 (S )
第三类边值问题（或混合边值问题）
已知场域一部分边界面S1 上的位函数值，而另一部分边界面
S2 上则已知位函数的法向导数值，即
|S1
f1(S1)、
n
|S2
f2 (S2 )
第6章 静态场的边值问题
3
周期边界条件
就等于这四个线电荷所产生的电位之和，即
l lnr1' l lnr2 2π r1 2π r2'
导线1的电位 1
第6章 静态场的边值问题
18
1
l 20
l
n
a2 4h2 a
ln
da
da2 4h2
l 20
l
n2hl a
n
d d24h2
2l0
ln a
2hd d2 4h2
2
l 20
ln
da2 4h2
0 x
O
ax
2 2
0 x2 y2
x x0
0,
x
xa
0
(x,0)0,(x,b)U 0
（第三类边值问题）
第6章 静态场的边值问题
6.2 唯一性定理 唯一性定理的表述
在场域V 的边界面S上给定 或 的
n 值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具 有唯一值。
5
V S
唯一性定理的重要意义 给出了静态场边值问题具有唯一解的条件
ln da
a
a24h2
l 20
ln
d2 4h2 d
ln2ah2l0
lna
d2 4h2 2hd
第6章 静态场的边值问题
19
1 22 l0 l n ad 2 2 h 4 d h2 2 l0ln ad 2 2 h 4 d h2
第6章 静态场的边值问题
20
3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像