数列基础知识
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数列基础知识
-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
数列
基础知识梳理 一、 数列
1、 数列的定义
数列是按照一定顺序排列着的一列数,在函数的意义下,数列是某一定义域为正整数或它的有限子集{1,2,3,4,……,n}的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,其图像是无限个或有限个孤立的点,数列的一般形式为123,,,,,
,n a a a a 通常简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项,也叫通项。
注意:
1){}n a 与n a 是不同的概念,{}n a 表示数列123,,,,,
,n a a a a 而n a 表示的是
这个数列的第n 项
2)数列与集合的区别
集合中元素性质:确定性,无序性,互异性; 数列中数的性质:确定性,有序性,可重复性。 2、
数列的通项公式
当一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式
()n a f n =来表示,就把这个公式叫数列{}n a 的通项公式,可根据数列的通项公式算出数列的各项,也可判断给定的数是否为数列{}n a 中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式,数列的通项公式也不唯一。 3、
数列的表示方法
数列看成一个特殊的函数,所有从函数的观点出发,数列的表示方法有以下三种:
1)解析法:通项公式和递推公式两种; 2)列表法
3)图像法(数列的图像是一系列孤立的点)
4、
数列的分类
(1)有穷数列和无穷数列 (2)单调数列,搬动数列,常数列 5、
n n a 与S 的关系
11(n 1)
(n 2)n n
n S a S S -=⎧=⎨
-≥⎩ 6、
等差数列
1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示
定义的表示为:*n-1(n N ,n 2)n a a d -=∈≥或者*1n (n N )n a a d +-=∈ 公差d 可正可负或为零,为零时,数列为常数列。 2)等差数列的通项公式
()()11,n n m a a n d a a n m d
=+-=+-
对于第二个公式要求,n m a a 是数列中的项即可,也可表示为
1
,1
(n m)
n n m a a d n a a
d n m -=
--=≠-
3)等差数列的增减性
{}{}{}00=0n n n d a d a d a >⇔<⇔⇔等差数列为递增数列;等差数列为递减数列;
等差数列为常数列。
4)等差中项
任意两个数,a b 有且仅有一个等差中项 ,即2
a b
A +=
。 ,,2
a b
A a A b +=
⇔三个数构成等差数列。
5)等差数列前n 项和公式(倒序相加法)
()()
11;
21.
2
n n n n a a S n n S na d +=-=+ 第二个公式()112n n n S na d -=+
可整理成21n n 22n d d S a ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭,设
1,B 22
d d
A a =
=- 则2n n n S A B =+,n S 可看成是关于n 的二次函数(常数项为0)那么可以得出一下结论:
2
n 00(2){}S .
n n n d d a An Bn ><⇔=+(1)当是,S 有最小值;当是,S 有最大值;
是等差数列 7、
等比数列
1) 定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等差数列的公比,公差通常用字母(0)q q ≠ 表示 定义的表示为:
*n-1(n N ,n 2)n a q a =∈≥或者*1n
(n N )n a
q a +=∈ 公比0q ≠;当1q =时,数列为常数列。 2)等比数列的通项公式
11,.
n n n m
n m a a q a a q
--==
3)等比数列的增减性
{}{}{}{}111100
10100
01110n n n n a a a q q a a a q q q a q a ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩><⎧⎧⇔⎨
⎨<<>⎩⎩
=⇔<⇔或为递增数列;或为递减数列;为常数列;为摆动数列。
4)等比中项
如果在a b 与 中间插入一个数G 使,,a G b 成等比数列,那么G 叫做a b 与的等比中项。
如果G 是a b 与的等比中项,那么2,G =,G =G b
ab ab a G
=±即因此 ;只有同号的两个数才有等比中项。
一个等比数列从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)是它的前一
项与后一项的等比中项。
5)等比数列前n 项和公式
()11111;111.
n n n n a q a a q
q S q
q q S na --≠=
=
--==当时,当时,
等比数列前n 项和公式的特点:当0,1q q ≠≠且时 可以化为
11-11-n
n a a S q q q
=
-
1=
1a A q
-记 ,那么-=0n n
n n S A Aq S A Bq A B ==++或者(
).
二、 等差数列、等比数列的性质 1. 等差数列的性质
(1)若公差0d > ,此数列为递增数列;若公差0d <,此数列为递减数列;若
0d =,此数列为常数列。