巧用旋转进行证明与计算

巧用旋转进行证明与计算

【经典母题】

已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．

(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形；

(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的

判断．

图Z15－1 经典母题答图

解：(1)如答图所示；

(2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略．

【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口．

【中考变形】

1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC ＝∠EOC，其中正确结论的个数是(D)

图Z15－2

A．1个B．2个

C．3个D．4个

2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝(B)

A ．1∶ 2

B ．1∶2 C.3∶2

D ．1∶ 3

图Z15－3

中考变形2答图

【解析】 如答图，连结AP ，PP ′，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′， ∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝90°.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝90°，∴∠ABP ＝∠CBP ′.在△ABP 和△CBP ′中，

⎩⎨⎧BP ＝BP ′，

∠ABP ＝∠CBP ′，AB ＝CB ，

∴△ABP ≌△CBP ′(SAS )，∴AP ＝P ′C .∵P ′A ∶P ′C ＝1∶3，∴AP ＝3P ′A . ∵△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P ＝45°，PP ′＝2PB .∵∠AP ′B ＝135°，∴∠AP ′P ＝135°－45°＝90°，∴△APP ′是直角三角形．设P ′A ＝x ，则AP ＝3x ，根据勾股定理，得PP ′＝AP 2－P ′A 2＝（3x ）2－x 2＝22x ，∴P ′B ＝PB ＝2x ，∴P ′A ∶PB ＝x ∶2x ＝1∶2.

3．[2017·徐州]如图Z15－4，已知AC ⊥BC ，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连结DC ，DB . (1)线段DC ＝__4__； (2)求线段DB 的长度．

图Z15－4

中考变形3答图

解：(1)∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴DC ＝AC ＝4；

(2)如答图，作DE ⊥BC 于点E . ∵△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD ＝60°，又∵AC ⊥BC ，

∴∠DCE ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－60°＝30°，

在Rt △CDE 中，DE ＝12DC ＝2，CE ＝DC ·cos30°＝4×3

2 ＝23， ∴BE ＝BC －CE ＝33－23＝ 3.

在Rt △BDE 中，BD ＝DE 2＋BE 2＝22＋（3）2＝7.

4．如图Z15－5①，在△ABC 中，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝BE ，D 是AE 上的一点，且DE ＝CE ，连结BD ，CD .

(1)判断BD 与AC 的位置关系和数量关系，并给出证明；

(2)如图②，若将△DCE 绕点E 旋转一定的角度后，BD 与AC 的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？

(3)如图③，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD

与

AC 夹角的度数．

图Z15－5

解：(1)BD 与AC 的位置关系是BD ⊥AC ，数量关系是BD ＝AC .证明：

如答图①，延长BD 交AC 于点F . ∵AE ⊥BC 于点E ， ∴∠BED ＝∠AEC ＝90°. ∵AE ＝BE ，DE ＝CE ， ∴△DBE ≌△CAE (SAS )，

∴BD ＝AC ，∠DBE ＝∠CAE ，∠BDE ＝∠ACE . ∵∠BDE ＝∠ADF ，∴∠ADF ＝∠ACE

.

中考变形4答图①

∵∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠ADF ＋∠CAE ＝90°，∴BD ⊥AC ； (2)否．证明：如答图②，AC 与BD 交于点F ， ∵∠AEB ＝∠DEC ＝90°，

∴∠AEB ＋∠AED ＝∠DEC ＋∠AED ，

即∠BED ＝∠AEC . ∵AE ＝BE ，DE ＝CE ， ∴△BED ≌△AEC (SAS )，

∴BD ＝AC ，∠BDE ＝∠ACE ，∠DBE ＝∠CAE .

∵∠BFC ＝∠ACD ＋∠CDE ＋∠BDE ＝∠ACD ＋∠CDE ＋∠ACE ＝90°，∴BD ⊥AC ；

(3)如答图③，AC 与BD 交于点F . ∵△ABE 和△DEC 是等边三角形，

∴AE ＝BE ，DE ＝EC ，∠EDC ＝∠DCE ＝60°， ∠BEA ＝∠DEC ＝60°，

∴∠BEA ＋∠AED ＝∠DEC ＋∠AED ， ∴∠BED ＝∠AEC ， 在△BED 和△AEC 中，

⎩⎨⎧BE ＝AE ，

∠BED ＝∠AEC ，DE ＝CE ，

∴△BED ≌△AEC (SAS )，∴∠BDE ＝∠ACE ， ∴∠DFC ＝180°－(∠BDE ＋∠EDC ＋∠DCF )＝60°， ∴BD 与AC 的夹角度数为60°或120°. 5．阅读下面的材料：

小伟遇到这样一个问题：如图Z15－6①，在正三角形ABC 内有一点P ，且P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数．小伟是这样思考的：如图②，利用旋转和全等的知识构造△AP ′C ，连结PP ′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

(1)请你回答：图①中∠APB ＝__150°__； 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

中考变形4答图②

中考变形4答图③