第二讲 参数方程
第一节 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程
一、选择题
1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点 ( )． A ．(2，3)
B ．(1，5)
C.?
?
???0，π2
D ．(2，0)
解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0. ∴过点(2，0)． 答案 D
2．将参数方程???x ＝2＋sin 2 θ，
y ＝sin 2
θ(θ为参数)化为普通方程为
( )．
A ．y ＝x －2
B ．y ＝x ＋2
C ．y ＝x －2 (2≤x ≤3)
D ．y ＝x ＋2 (0≤y ≤1)
解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]，故选C. 答案 C
3．若曲线的参数方程是???
??x ＝1－1t ，
y ＝1－t 2
(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是 ( )．
A ．(x －1)2
(y －1)＝1
B ．y ＝x （x －2）
（1－x ）2
C ．y ＝
1（1－x ）2－1 D ．y ＝x
1－x 2
解析 由x ＝1－1t ，得1
t ＝1－x ，由y ＝1－t 2，得t 2＝1－y .
∴(1－x )2
·(1－y )＝? ????1t 2·t 2
＝1.整理得y ＝x （x －2）（1－x ）
2. 答案 B
4．已知直线l 的参数方程为???x ＝a ＋t y ＝b ＋t ，(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，
则点P 1与P (a ，b )之间的距离为
( )． A ．|t 1|
B ．2|t 1|
C.2|t 1|
D.22|t 1|
解析 点P 1对应的点的坐标为(a ＋t 1，b ＋t 1)， ∴|PP 1|＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝2t 21＝2|t 1|.
答案 C 二、填空题
5．若曲线???x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ经过点? ????
32，a ，则a ＝________．
解析 点? ????
32，a 代入曲线方程得cos θ＝12，a ＝2sin θ＝±2
1－1
4
＝±3.
答案 ±3
6．(2012·北京高考)直线??? x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线???
x ＝3cos α，
y ＝3sin α(α为任意实
数)的交点个数为________．
解析 消参后，直线为x ＋y ＝1，曲线为圆x 2＋y 2＝9，圆心(0,0)到直线的距离为2
2，小于半径3，所以直线与圆相交，因此，交点个数为2. 答案 2
7．把圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．
解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的标准方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， 圆心为(－1，2)，半径为2，
故参数方程为?????x ＝－1＋2cos θ，
y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．
答案 ???x ＝－1＋2cos θ
y ＝2＋2sin θ
(θ为参数)
8．将参数方程???x ＝sin θ＋cos θ，
y ＝sin θcos θ化成普通方程为__________．
解析 应用三角变形消去θ，同时注意到|x |≤ 2. 答案 x 2＝1＋2y (|x |≤2) 三、解答题
9．已知曲线C ：???x ＝cos θ，
y ＝－1＋sin θ，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求
实数a 的取值范围． 解 ∵???x ＝cos θ
y ＝－1＋sin θ，
∴x 2＋(y ＋1)2＝1.
∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |
2≤1，
解得1－2≤a ≤1＋ 2.
10．(圆的参数的应用)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρ·cos ? ?
???θ－π4＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．
解 (1)由ρ2－42ρcos ? ????
θ－π4＋6＝0，得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，
得圆的参数方程为???x ＝2＋2cos α，
y ＝2＋2sin α
(α为参数)．
(2)由上述可知
x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin ? ?
???α＋π4，
故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.
11．已知C (r,0)(r ＞0)，动点M 满足|MC |＝r ，根据下列选参数的方法，分别求动点M 的轨迹方程．
(1)以x 轴正方向到CM 所成角θ为参数； (2)以x 轴正方向到OM 所成角α为参数．
解 (1)如图所示，依题意动点M 的轨迹是以C (r,0)为圆心，r 为半径的圆，设圆和x 轴的正半轴交于A ，OA 为直径．
设M (x ，y )，作MN ⊥Ox 于N ， 在Rt △MCN 中，|CM |＝r ，∠ACM ＝θ， ∴x ＝ON ＝OC ＋CN ＝r ＋r cos θ，y ＝MN ＝r sin θ.
∴动点M 轨迹的参数方程是???
x ＝r (1＋cos θ)
y ＝r sin θ(θ为参数)．
(2)设点M 的坐标为M (x ，y )，OA ＝2r ， 则ON ＝OA cos α·cos α＝2r cos 2 α， NM ＝OA cos α·sin α＝2r sin α·cos α＝r sin 2α. ∴点M 的轨迹方程是???
x ＝2r cos 2 αy ＝r sin 2α
(α为参数)．
高二数学圆的一般方程人教版 (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径、掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件、 (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程、 (3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题、 教学重点和难点 重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数， D、E、F、 难点：圆系的理解和应用、 教学过程设计 (一)教师讲授： 请同学们看出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r、 把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0、 我们把它看成下面的形式： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ① 这个方程是圆的方程、
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆、 ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？ (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示 (2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示 (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形 ∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、 做圆的一般方程、 现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同，不等于0、 ②没有xy这样的二次项、 同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0、且没有xy 这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件、但不是充分条件、 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、 (二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标、 [解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、 把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组
讲义:圆与方程 圆得标准方程与一般方程 1、圆得标准方程:222 ()()x a y b r -+-=(圆心(),A a b ,半径长为r ); 圆心()0,0O ,半径长为r 得圆得方程222 x y r +=。 2、圆得一般方程:() 2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> (1)当22 40D E F +->时,表示以,22D E ??-- ??? 为圆心为半径得圆; (2)当2240D E F +-=时,表示一个点,22D E ??-- ???;(3)当2240D E F +-<时,不表示任何图形、 特点:(1)①2x 与2 y 得系数相同,且不等于0; ②没有xy 这样得二次项 (2)确定圆得一般方程,只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了 (3)与圆得标准方程比较,它就是一种特殊得二元二次方程,代数特征明显,圆得标准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 3、过圆上一点得切线方程: ),(00y x M 在圆222r y x =+上,过M 得切线方程为200r y y x x =+ 当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上,过M 得圆得切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 典型例题 例1、已知一个圆得直径得端点就是A(-1,2)、B(7,8),求该圆得方程。 例2、求过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上得圆得方程。 例3、求以)3,1(O 为圆心,且与直线0743=--y x 相切得圆得方程、 例4、已知圆得方程就是222r y x =+,求经过圆上一点),(00y x M 得切线方程。 例5、求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)得圆得方程,并求这个圆得半径长与圆心坐标。 巩固练习: 1、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称得圆得方程为 ( ) A.22(2)5x y -+= B.22(2)5x y +-= C.22(2)(2)5x y +++= D.22(2)5x y ++= 2、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处得切线方程为( ) A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x 3、求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --得圆得方程、 4、求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点得圆得方程。 5、求经过点A(0,4),B(4,6)且圆心在直线x ―2y ―2=0上得圆得方程; 直线与圆、圆与圆得关系 1、点与圆得位置关系: 设圆得标准方程222 ()()x a y b r -+-=,点00(,)M x y ,将M 带入圆得标准方程,
高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程： 情境设置： 问题：①圆的定义？ 学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。 问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？ 二、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （１）2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 （２）2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 （３）2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 （一）练习 １、指出下列方程表示的圆心坐标和半径： （１） 222=+y x ； （２） 5)1()3(22=-+-y x ； （３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。
高中数学-圆的标准方程练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2 =25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2 =25 解析：以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 . 答案：D 2.以点A(-5，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2 =16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2 =25 解析：∵圆与x 轴相切，∴r=|b|=4.∴圆的方程为(x+5)2+(y-4)2 =16. 答案：A 3.圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为____________. 解析：设其圆心为P(a,a)，而切点为A(1，0)，则P A⊥x 轴，∴由PA 所在直线x=1与y=x 联立，得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2 =1.也可通过数形结合解决，若圆与x 轴相切于点(1，0),圆心在y=x 上,可推知与y 轴切于(0，1). 答案：(x-1)2+(y-1)2 =1 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.设实数x 、y 满足(x-2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值是( ) A. 2 1 B.33 C.23 D.3 解析：令 x y =k,即y=kx ，直线y=kx 与圆相切时恰好k 取最值. 答案：D 2.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2 =4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2 =4 解：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(2 1 1, 211+--),即(0,0)，直线AB 的斜率为k AB =11)1(1----=-1,则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y-0=1 1--(x-0),即y=x.所以圆心坐标 (x,y)满足?? ?=-+=. 02, y x x y 得y=x=1. ∴圆的半径为])1(1[)11(2 2 --+-=2.因此，所求圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4. 答案：C 3.设点P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9上各点距离为d,则d 的最大值为_____________. 解析：由平面几何性质，所求最大值为P(2，-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9的圆心距离加上圆的半径，即d max =2 2 )53()42(--+++3=13.
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
讲义：圆与方程 圆的标准方程与一般方程 1、圆的标准方程：222 ()()x a y b r -+-=（圆心(),A a b ，半径长为r ）； 圆心()0,0O ，半径长为r 的圆的方程222 x y r +=。 2、圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> （1）当2240D E F +->时，表示以,22D E ??-- ???为半径的圆； （2）当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ??- - ??? ；（3）当2240D E F +-<时，不表示任何图形. 特点：（1）①2x 和2 y 的系数相同，且不等于0； ②没有xy 这样的二次项 （2）确定圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数F E D ,,就可以了 （3）与圆的标准方程比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标 准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 3、过圆上一点的切线方程： ),(00y x M 在圆222r y x =+上，过M 的切线方程为200r y y x x =+ 当),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上，过M 的圆的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 典型例题 例1、已知一个圆的直径的端点是A(-1,2)、B(7,8)，求该圆的方程。
例2、求过点A(1，-1)、B(-1,1)且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程。 例3、求以)3,1(O 为圆心，且与直线0743=--y x 相切的圆的方程. 例4、已知圆的方程是2 22r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程。 例5、求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
第一课时 4.1.1 圆的标准方程 教学要求：使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程 教学重点：圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程． 教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 教学过程： 一、 复习准备： 1.提问：两点间的距离公式？ 2.讨论：具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？ 二、讲授新课： 1. 圆的标准方程： ①建系设点： A. C 是定点，可设C(a ，b)、半径r ，且设圆上任一点M 坐标为(x ，y)． ②写点集:根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r} ④化简方程: 将上式两边平方得22 ()()x a y b r -+-= (建系设点→写点集→列方程→化简方程?圆的标准方程 (standard equation of circle)) ⑤思考：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ ⑥师指出：只要a ，b ，r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a 、b 、r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决． 2. 圆的标准方程的应用 ①.写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； (指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．) ②.已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ (从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决) ③ ABC 的三个定点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程 （ 用待定系数法解） ④ .已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),却圆心C 在直线L:10x y -+=上，求圆心为C 的圆的标准方程。 3. 小结： ①．圆的方程的推导步骤：建系设点→写条件→列方程→化简→说明 ②．圆的方程的特点：点(a ，b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径； ③．求圆的方程的两种方法：（1）待定系数法；确定a ，b ，r ； (2)轨迹法：求曲线方程的一般方法． 三、巩固练习： 1. 练习：P131 14 2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切； (2) 过点A(3，2)，圆心在直线y=2x 上，且与直线y=2x+5相切． 3. 已知：一个圆的直径端点是A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)． 证明：圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0． 4. 作业 P134 习题4 1、2题. 第二课时 4.1.2圆的一般方程 教学要求：使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由
（数学2必修）第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 １．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A ．37-或 B ．2-或8 C ．0或10 D ．1或11 5．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 二、填空题 1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0 ,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。 3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . ４．已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。
标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心 (a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程 （1） ； 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系： 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内 （2） 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为?- D E ? ，半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点； 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 （3） 求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . （1） 此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （2） 若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习： 1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（ ） Ａ．以(1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｂ．以(1，2) 为圆心， 为半径的圆 Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｄ．以(-1，2) 为圆心， 为半径的圆 2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（ ） Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1 Ｃ． a < -1 或 a > 1 Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ． 1 D 2 + E 2 - 4F
4.1.1 圆的标准方程 三维目标： 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆 的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问 题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情 和兴趣。 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程： 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条 件r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明222 ()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程， 并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程。） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC 外接圆的标
高一数学 高中数学圆的方程专题（四个课时） 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2 221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2 224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2 221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2 224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．
高一数学必修二圆与方程 知识点整理 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理 一、标准方程 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件方程形式 圆心在原点()2220x y r r +=≠ 过原点()()()22 22220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上()()2220x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上()()2220x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点()()2220x y b b b +-=≠ 与x 轴相切()()()2220x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切()()()22 20x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 4 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
高二数学圆的方程练习 【同步达纲练习】 A 级 一、选择题 1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2 -12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( ) A.-3＜a ＜7 B.-6＜a ＜4 C.-7＜a ＜3 D.-21＜a ＜19 2.圆(x-3)2+(y-3)2 =9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.使圆(x-2)2+(y+3)2 =2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2) C.(4，1) D.(2 +2，2-3) 4.若直线x+y=r 与圆x 2 +y 2 =r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A. 2 2 B.1 C.2 D.2 5.直线x-y+4=0被圆x 2 +y 2 +4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8 B.4 C.22 D.42 二、填空题 6.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2 -2x+2y+1=0相切的直线的方程为 . 7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)｜(x-a)2+y 2 ≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是 . 8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2 -8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ，过点P 的最长弦所在直线方程是 . 三、解答题 9.已知圆x 2+y 2 +x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值. 10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+2 4x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围. AA 级 一、选择题 1.圆(x-3)2+(y+4)2 =2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y-4)2=2 B.(x-4)2+(y+3)2 =2 C.(x+4)2+(y-3)=2 D.(x-3)2+(y-4)2 =2 2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2 =1的内部，则实数a 的取值范围是( )
习题精选精讲圆标准方程 已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆 心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程 例1 (06卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543= +-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x (C)9)1() 2(22 =++-y x (D)9)1()2(22=-++y x 解 已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ， 故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题 例2 (06卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+ 解 化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切；? 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 三维目标： 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程： 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的 方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程， 并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）22 00()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）22 00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）： ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用 待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和 (2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长 等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程。） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、 例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 提炼小结： 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。 高中数学圆与方程知识点分析 1. 圆的方程：（1）标准方程：2 22()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ） （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心（-2D ，-2 E ）半径 F E D 421 22-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r 为相交，d 第二十二课时：坐标轴的平移（一） 【教学目标】 知识目标： （1）理解坐标轴平移的坐标变换公式； （2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标： 通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高． 【教学重点】 坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算． 【教学难点】 坐标轴平移的坐标变换公式的运用． 【教学设计】 学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方． 【课时安排】 1课时． 【教学过程】 揭示课题 2.1坐标轴的平移与旋转 创设情境 兴趣导入 在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系． 例如，圆心在O 1(2,1),半径为1的圆的方程为 1)1()2(22=-+-y x ． 对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点1O 处，那么，对于新坐标系111x O y ，该圆的方程就是 12121=+y x ． 图2-1 动脑思考 探索新知 只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移． 下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式． 图2-2 如图2-2所示，把原坐标系xOy 平移至新坐标系111x O y ，1O 在原坐标系中的坐标为),(00y x ．设原坐标系xOy 两个坐标轴的单位向量分别为i 和j ，则新坐标系111x O y 的单位向量也分别为i 和j ，设点P 在原坐标系中的坐标为),(y x ，在新坐标系中的坐标为),(11y x ，于是有 OP =x i +y j ，1O P =x 1i +y 1 j ， 1OO =x 0i +y o j ， 因为 11OP OO O P =+， 所以 0011 x y x y x y +=+++i j i j i j ， 即 0101 )()x y x x y y +=+++i j i j （．（转下节） 第二十三课时：坐标轴的平移（二） 【教学目标】 知识目标： （1）理解坐标轴平移的坐标变换公式； （2会利用坐标轴平移化简曲线方程． （3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标： 通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高． 【教学重点】 坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算． 【教学难点】高中数学-圆的标准方程教案
高中数学圆与方程知识点
职高高二数学教案坐标变换与参数方程(供参考)
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