第二章 卫星轨道、星座和系统概念
本书的这一部分讲述卫星轨道机制这一主题，讨论卫星与地面终端之间的一些几何关系。同时介绍几种用于建立起区域或全球卫星系统的不同卫星星座。
§2.1卫星轨道
在17世纪早期，Johannes Kepler 发现一些重要的行星运动特性，这些特性被总称为Kepler 定律。
—第一定律（1602）：行星在一个平面内运动；轨道为环绕太阳的椭圆，且太阳在该椭圆的一个焦点上；
—第二定律（1605）：太阳与行星之间的线在相同的时间间隔内扫出相同的面积。
—第三定律(1618)：轨道周期T 的平方和轨道椭圆主半轴a 的立方之比值，对所有行星而言，是相等的。
这些定律适应于受引力作用的任意二体系统，因此也能够用来描述卫星环绕地球的运行。轨道力学机制的广泛处理详见教材书[BMW71，MB93，Dav85]。
2.1.1 椭圆和圆周轨道
图2.1表示了遵循Kepler 第一定律的椭圆卫星轨道的几何体制。卫星轨道呈椭圆形，其中地球位于它的一个焦点上。这个椭圆由两个参数确定：长半轴a 和短半轴b 。椭圆的形状也可以由数字离心率来描述 a
apogee ——远地点
perigee ——近地点
由这一参数：焦点到椭圆中心的距离可以被表示为e ·a 。卫星到地球中心的距离定义为半径r 。轨道的半径最小点定义为近地点p r r =。轨道的半径最大点定义为远地点a r r =。
由Kepler 第二定律可以推理出卫星在近地点附近运行快，在远地点附近运行慢。由图
2.1以及公式（2.1）我们可以建立起下面的关系式：
2
a p
r r a += a p a p
r r e r r -=+ (1)a r a e =+
(1)p r a e =- （2.2）
卫星与地球中心和近地点的连线所成夹角θ通常被称为“真近点角”。这一夹角能够被用来确定卫星沿椭圆轨道的半径r ：
2(1)1cos a e r e θ
-=+ （2.3） 卫星与椭圆中心和近地点的连线所成夹角E 定义为“偏近点角”，其与θ的关系式可以如下表示：
cos cos (cos )1cos a E e E e r e E
θ-=
-=- （2.4） 时刻t 与过近地点的时刻p t 之间的时间间隔和偏近点角E 的关系式可以如下表示： 2()sin p t t E e E T
π-=- （2.5） 其中T 是卫星的轨道周期，2()/p t t T π-称为平近点角。用公式（2.4）和（2.5）时间可以导出为角度θ的函数()t θ。但是，由于公式（2.5）的反函数不能够解出，()t θ随时间的变换必须由数字确定。
卫星距地球表面的高度h 如下式所示
e h r R =- （2.6） 其中e R 为地球的半径。因此，在远地点的轨道高度为a a e h r R =-；在近地点的轨道高度为p p e h r R =-。事实上，地球并非一个理想的球体，而是在两极存在一定的扁率。在本书的以下章节中，我们将用6378e R =km 来表示平均赤道半径1。（两极处的地球半径为6357km ，而地球表面的平均半径为6371km 。）
圆形卫星轨道 圆形卫星轨道是椭圆轨道在离心率为0的一种特殊情形，即0e =。因此，a p a b r r r ====。此时，地球位于圆形轨道的中心，卫星高度e h r R =-为常数。而且，时间t 与真近点角遵循如下的关系式
2()t t T
πθ= （2.7） 2.1.2卫星速度与轨道周期
Isaac Newton 拓展了Kepler 的研究并于1667年发现了万有引力定律。这一定律规定具有质量m 和M 的两个物体在距离为r 时，相互之间具有如下的万有引力
2
g mM F G
r = （2.8） 此处，11226.673210/G Nm kg -= ，为万有引力常数。 对于环绕地球的卫星轨道而言，m 表示卫星质量，245.973310e M M kg == 为地球本身的质量。由势能和动能组成的整个机械能为恒量：
222m m m r a
υμμ-=- （2.9）
其中32398600.5/e GM km s μ==。因此，可以推导出椭圆轨道上的卫星速度υ如下式：
υ= （2.10）
圆轨道()r a ≡情形上式可以简化为
υ= （2.11）
公式（2.11）表明在圆形轨道上卫星的速度为常数，这一结论与Kepler 第二定律一致。由此可以得出轨道周期如下
22r
T πυ== （2.12） 根据Kepler 第三定律，椭圆轨道上的卫星轨道周期可以推广为
2T π= （2.13） 至此为止我们所讨论的卫星轨道力学机制都是基于这样的假设：地球是一个质量密度分布均匀的理想球体；整个机制中除了地球与卫星外没有其他质点为空空间，除了地球与卫星外不存在任何其他产生万有引力的星体。在这种理想情况下，卫星轨道在所有的时间内将保持为常量。
2.1.3轨道平面的定位
这一部分我们讲轨道平面在空间中的定位。在上面所提到的理想情况下，轨道是恒星定位的（也就是根据恒星来定位），并且不受地球旋转的影响。图2.2表示了描述轨道定位的参数。
倾斜角i ——定义卫星轨道平面和赤道平面的夹角。正方向为沿轨道平面向上。两平面的交线称为节点线。当卫星进入北半球时就会经过节点线。
上升节点的右上升角Ω——定义参考方向和节点线之间的夹角。参考方向指的是春分时由地球中心指向太阳的方向。同样，这一方向也对应于赤道平面与黄道平面的交线。参考方向在太空中是固定的。（这些平面的交线会随着地球旋转的摇动而发生一定的变化。详见参考文献[MB93]）
近地点变量0ω——定义节点线和椭球主半轴之间的角度。这一参数只与椭圆轨道有关。 因此卫星的位置完全由这六个轨道参数确定：椭圆的主半轴a ，离心率e ，倾斜角i ，上升节点的右上升角Ω，近地点变量0ω，真近点角θ。这些参数通常被称为Kepler 要素。Kepler 要素在卫星的寿命周期中会随着轨道的扰动而发生变化。官方数据（例如北美航空航天国防部（NORAD ））会定期对所有的在轨卫星进行更新和发布。
2.1.4典型的圆形轨道
除了椭圆轨道和圆形轨道的区别，卫星的高度h 和倾斜角i 是最重要的轨道参数。对圆形轨道，轨道周期T 和高度h 的关系式可以由公式（2.12）推导出，如下
e h R = （2.14） 从上式看来，卫星的轨道周期T 应优先选择为一天的整约数(1,2,4,6,12,24)T h =，因为在这种情况下，卫星会逐日重复性地周期出现在同一位置。然而，某些轨道周期是不能选择的，因为选择这些周期会导致相应的卫星高度掉入范艾伦辐射带中，这是一些具有高度集中离子的电离层，因此必然会导致卫星寿命的减少。图2.3表示了由公式（2.14）得出的卫星周期和其高度的关系。
