18函数对称性的典型例题(补充)

函数对称性的典型例题

几种常见对称关系 一、点的对称

点),(y x P 关于x 轴对称为)

-,(1y x P ，对称关于y ),-(2y x P ，对称关于O ),(3y x P --，对称关于x y =),y (4x P ，对称关于x y -=)-,-y (4x P ，

二、函数)(x f y =的对称，可以直接改写

)(x f y =对称关于x )(-x f y =，即)(-x f y =；)(x f y =对称关于y )-(x f y =， )(x f y =对称关于O )-(-x f y =，即)-(-x f y =

)(x f y =对称关于x y =)(x y f =，反解出y 即可。

典型例题

题型一、利用对称性求交点个数

1．若函数()y f x =图象上不同两点M ，N 关于原点对称，则称点对[M ，]N 是函数()y f x =

的一对“和谐点对”，（点对[M ，]N 与[N ，]M 看作同一对“和谐点对” )，已知函数2,0

()4,0x e x f x x x x ⎧<=⎨->⎩

，

则此函数的“和谐点对”有( )

A ．3对

B ．2对

C ．2对

D ．0对

解：由题意知函数2()4f x x x =-，0x >，关于原点对称的图象为24y x x -=+，

即24y x x =--，0x <，作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在0x <上的交点个数只有2个，所以函数()f x 的“和谐点对”有2个，故选：B ．

2．若函数()y f x =图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，]B 是函数()y f x =的一对“和谐点对”（注：点对[A ，]B 与[B ，]A 可看作同一对“和谐点对” )．已知函数2,0

()4,0-x e x f x x x x ⎧<=⎨⎩

，

则此函数的“和谐点对”有( ) A ．0对 B ．1对C ．2对 D ．3对

解：函数2-()4f x x x =，0x >关于y 轴对称的函数为：24y x x =+，0x <，作出x y e =，0x <，

和24y x x =+，0x <的图象，可知，两个图象只有一个交点．所以函数()f x 的“和谐点对”只有一对． 故选：B ．

3．在平面直角坐标系中，若两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数()y f x =的图象上；②P ，Q 两点关于直线y x =对称，则称点对P ，Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”（注：点对{P ，}Q 与{Q ，

}P 看作同一对“友好点对” )已知函数22

32(0)

()log (0)x x x f x x x ⎧++⎪=⎨

>⎪⎩，则此函数的“友好点对”有( ) A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对

解：作出函数()f x 的图象，然后作出2()log (0)f x x x =>关于直线y x =对称的图象C ，如下图所示：由C 与函数2()32(0)f x x x x =++的图象有2个不同交点，所以函数的“友好点对”有2对．故选：C ．

题型二、对称问题的逆用

4．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数()y f x =的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，]Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[P ，]Q 与[Q ，]P 看作同一对“友好点对” )．已知函数(0)

()(0|3|(40)

a

log x x f x a x x >⎧=>⎨+-<⎩且1)a ≠，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a 的取值范围是( )

A ．(0，1)(1⋃，)+∞

B ．1

(,1)

(1,)4

+∞ C ．1

(,1)4

D ．(0,1)

解：当40x -<时，函数|3|y x =+关于原点对称的函数为|3|y x -=-+，即|3|y x =--，(04)x <， 若此函数的“友好点对”有且只有一对，则等价为函数()log a f x x =，(0)x >与|3|y x =--，(04)x <，只有一个交点，作出两个函数的图象如图：

若1a >，则()log a f x x =，(0)x >与|3|y x =--，(04)x <，只有一个交点，满足条件， 当4x =时，|43|1y =--=-，

若01a <<，要使两个函数只有一个交点，则满足f （4）1<-，即log 41a <-，得

1

14

a <<，

综上

114a <<或1a >，即实数a 的取值范围是1(,1)(1,)4

+∞，故选：B ．

题型三、对称性的应用． 5．函数1

2

y x =-的图象与函数2sin (15)π=-≤≤y x x 的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．12 B ．4 C ．16 D ．8

解：作出函数1

2

y x =

-的图象，则函数关于点(2,0)对称，同时点(2,0)也是函数2sin (15)π=-≤≤y x x 的对称点，由图象可知，两个函数在[1-，5]上共有8个交点，两两关于点(2,0)对称， 设对称的两个点的横坐标分别为1x ，2x ，则12224x x +=⨯=， 8∴个交点的横坐标之和为4416⨯=．故选：C ．

6．函数cos y x =的图象与函数|1|1

()(35)2-=-≤≤x y x 的图象所有交点的横坐标之和等于( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

解：作出函数cos y x π=的图象，则函数关于1x =对称，同时函数|1|1

()(35)2-=-≤≤x y x 也关于1x =对称，

由图象可知，两个函数在35x -上共有8个交点，两两关于1x =对称，设对称的两个点的横坐标分别为

1x ，2x ，则12212x x +=⨯=，8∴个交点的横坐标之和为428⨯=，故选：C ．

5.已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21

()1

x g x x -=

-，且()f x 与()g x 的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，6(x ，6)y ，则126126(x x x y y y ++⋯++++⋯+= )

A ．0

B ．6

C ．12

D ．18

解：因为函数(1)2y f x =+-为奇函数，所以函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，