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函数的基本性质及其应用

1、函数的概念：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数(f x ）和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：(,y f x

x A =∈）．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}(f x

x A ∈）}叫做函数的值域．

2、函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数. (2) 设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

注意：如果函数

)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数

)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数。

3、函数的奇偶性：对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，

f(x)是奇函数0)()()()(=+-?-=-?x f x f x f x f f(x)是偶函数()()()()0f x f x f x f x ?-=?--=

注意：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

4、函数的对称性：（1）函数)(x f y =和)(1

x f

y -=的图象关于直线y=x 对称；

（2）函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b ；

（3）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+

5、复合函数的构成：设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B

'B ?，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数；此函

数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。

知识回顾

6、复合函数分析法：

设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：

当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数，即我们所说的“同增异减”规律。

1.求下列函数的定义域：

（1）若函数)(x f y =的定义域［-1，2］，求)1(2-=x f y 的定义域；（2）已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.

（3）已知函数y=)2(2-x f 的定义域为［1，3］，求函数)23(+x f 的定义域。

解题方法：由复合函数的定义我们可知：要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中；（1）y=f(x)的定义域[m,n]，求y=f(g(x))的定义域就是求不等式m ≤g(x)≤n 的解集，即为y=f(g(x))的定义域（2）已知y=f(g(x))定义域[m,n]，求y=f(x)的的定义域就是求内函数t=g(x)在区间x ∈[m,n]的值域（t 的取值范围），即为y=f(x)的定义域 (3)已知y=f(g(x))定义域[m,n]，求y=f(h(x))定义域的就是由y=f(g(x))定义域求y=f(x)的定义域，再y=f(x)的定义域求y=f(h(x))的定义域。 2.求有关复合函数的解析式，

①已知 ,1)(2

+=x x f 求)1(-x f ；②已知x

x x f 1

)1(+

=- ，求)(x f ； ③已知221

)1(x

x x x f +=-，求)1(+x f ．

()y f u =()u g x =[,]x a b ∈[,]u m n ∈[()]y f g x =[,]a b

解题方法：（1）已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。 (2)已知

)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法;配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达

式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f ；换元法就是先设t x g =)(，从中解出

x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直

接换成x 即得

)(x f .

3.已知函数()f x 对任意实数x y 、，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，

()0,(1)2,f x f >-=-求()f x 在区间[-2,1]上的值域。

4.设()f x 定义在+∞（0，）上的单调增函数，满足()()+()f xy f x f y =，(3)1f =。求：（1）(1);f

(2) 若()+(8)2,f x f x -≤求x 的取值范围。

5.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (

)=－1,当且仅当0

x ++1),试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.

6.已知函数()f x 定义在(1,1)-上，对于任意的,(1,1)x y ∈-，有()()()1x y

f x

f y f xy

++=+，且当0x <时，()0f x >.(1)验证函数1()ln

f x x

-=+是否满足这些条件； (2)若(

)1,()211a b a b

f f ab ab +-==+-，且||1,||1a b <<，求(),()f a f b 的值． (3)若1()12f -=，试解关于x 的方程1

()2

f x =-．

7.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( )

A ．1ln (0)y x x =+>

B ．1ln (0)y x x =->

C ．1ln (0)y x x =-->

D ．1ln (0)y x x =-+>

8.已知(31)4,1

()log ,1a a x a x f x x x -+?

是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( )

(A )(0,1)

(B )1

(0,)3 (C )11[,)73

(D )1[,1)7

9.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，

1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有( )

(A )1

()f x x

(B )()||f x x = (C )()2x f x =

(D )2()f x x =

10.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =

设63(),(),52a f b f ==5(),2

c f =则( ) (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b <<

11.

函数2()lg(31)f x x =

+的定义域是( )

A .1(,)3-+∞

B . 1(,1)3-

C . 11(,)33-

D . 1(,)3

-∞-

12.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C . ,y x x R =∈D . x 1() ,2

y x R =∈

13.已知定义域为R 的函数12()2x x b

f x a

+-+=+是奇函数。(Ⅰ)求,a b 的值；

(Ⅱ)若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；

14.已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x )的导数；设

11a =，1()

'()

n n n n f a a a f a +=-

(n ＝1，2，……) (1)求,αβ的值； (2)证明：对任意的正整数n ，都有n a ＞a ；

(3)记ln n n n a b a a

-=-(n ＝1，2，……)，求数列{b n }的前n 项和S n 。

4 对数函数及其性质(1)

高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 4、对数函数及其性质（1）一、教材分析本小节主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计