应用时间序列分析

ARMA(p,q)模型有三种基本类型：自回归(AR:Auto-regressive)模型、移动平均（MA：MovingAverage）模型以及自回归移动平均（ARMA：Auto-regressiveMovingAverage)模型。
(1)自回归模型(AR)
如果时间序列yt，是它的前期值和随机项的线性函数，即可表示为:
表1单位根检验
ADF统计量
education
x=d(log（education）)
AugmentedDickey-Fullertest
-1.339845
-5.126837
1％
-2.613010
-2.613010
5％
-1.947665
-1.947665
10％
-1.612573
-1.612573
结论
非平稳
时间序列是指同一种现象在不同时间上的相继观察值排列而成的一组数字序列。现实中的时间序列一般是长期趋势、循环变动、季节性变动以及随机变动等几种变化形式的叠加或组合。
对时间序列进行观察、研究、找寻它的变化发展的规律，预测它未来的走势即时间序列分析，作为时间序列分析的主要用途就是预测，即通过对预测目标本身时间序列的处理，研究预测目标的变化趋势。时间序列预测方法的基本思想是：预测一个现象的未来变化时，用该现象的过去行为来预测未来。即通过时间序列的历史数据揭示现象随时间变化的规律，将这种规律延伸到未来，从而对该现象的未来做出预测。
图(4)x的自相关图和偏自相关图
如图所示，显然x不是纯随机性序列，因此可以对此序列进行ARMA建模。
4、模型的识别定阶与参数估计
利用自相关图和偏相关图找出适当得p、d、q值，ARIMA模型选择原则如下：
表2ARIMA模型选择原则
模型
自相关系数
偏相关系数
AR(p)
拖尾
P阶截尾
MA(q)
Q阶截尾
拖尾
ARMA(p,q)
我国财政教育支出的ARIMA(p,q)模型
1、数据的选择及平稳化处理
本文的所有数据处理过程均使用Eviews6.0进行。
图(1)1952-2010我国财政教育支出序列图
由上图可见，该序列不具有明显的周期变化和季节波动，但呈现出明显的增长趋势，是非平稳的，而ARMA(p,q)模型应用有一个前提条件，就是要求时间序列是平稳的，也就是其均值与时间无关，其方差是有限的。在现实经济生活中，许多时间序列都是非平稳的，把非平稳序列转化为平稳序列最常用的方法是对数和差分方式。为保证信息的准确，尽量避免过度差分，在此，先考虑用对数来消解数据的趋势性。
图(2)原始数据取对数序列图
由图2可见，序列仍呈现明显增长趋势，是非平稳的，鉴于其趋近于线性增长，故对其做一阶差分以期望平稳。
图(3)原始数据取对数后一阶差分x序列图
从图可以初步判断，x序列平稳，这只是直观感觉，需进一步采用ADF单位根检验来精确判断。
2、单位根检验
下面采用单位根检验，检验结果如下：
图（6）残差的Q统计量检验图
由图六可知，残差为序列无关。因此，可以认为该模型是可取的，可用于接下来的预测。
6、预测及其效果分析
下面利用上面时间的ARMA模型对某一时间段进行预测检验，我们首先利用ARMA模型对2008年到2010年的财政教育投资进行预测，预测值和实际值比较如下：（单位：亿元）
表4预测值和实际值比较
9114.252
总的来说，ARIMA模型的建立过程已经结束，模型整体好，达到预期效果。ARMA模型从定量的角度反应了一定的问题，作出了较为精确的预测，尽管不能完全代表现实，但对我国教育事业蒸蒸日上的今天，我们把握教育支出的趋势具有较好的借鉴意义。
参考文献
[1]高铁梅.计量经济分析方法与建模[M].北京:清华大学出版社,2009,5.
[2]郭惠英.计量经济学模型方法与应用[M].北京:中国物资出版社，2002,11.
[3]徐国祥.统计预测与决策[M].上海:上海财经大学出版社,2005,8.
[4]易丹辉.数据分析与eviews应用[M].北京:中国统计出版社,2008,10.
而对于ARMA(p,q)模型，它是一类常用的随机时序模型，它是一种精度较高的时间序列预测方法。其基本思想是：某些时间序列是依赖于时间t的一族随机变量，构成该时序的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定的规律可以用相应的数学模型近似描述。通过对该数学模型的分析，能够更本质的认识时间序列的结构和特征，达到最小方差意义下的最预测。在现实生活中，我们常常运用ARMA(p,q)模型对经济体进行预测和分析，得到较为满意的效果。
（3）自回归移动平均模型(ARMA)
如果时间序列yt，是它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示：
则称yt是自回归移动平均，记为ARMA(p，q)。ARMA(p,q)模型等于无穷阶的AR或MA过程。当该过程平稳时，它的均值不随时间变化 ，由此得过程平稳的一个必要条件，即 。
应用举例:
ARIMA模型是迄今为止运用最广泛的时间序列预测方法。ARIMA模型是通过差分等方法将非平稳序列转变为平稳随机序列，再运用目前已经相当成熟的ARMA模型进行拟合，效果十分显著。对于非平稳时间序列，首先必须将其差分d次，把它变为平稳的，然后用ARMA(p，q)作为它的模型，那么就说这个原始的时间序列是ARIMA(p，d，q)，即自回归求和移动平均模型（其中p指自回归项数，d指序列成为平稳之前必须取其差分的次数，而q指移动平均数）。显然，ARIMA(p,d,q)模型的实质就是d阶差分运算与ARMA(p,q)模型的组合。
实际值
预测值
绝对误差
相对误差（%）
相对误差平均值（%）
2008年
5389.397
5416.991
27.59361
0.1200
0.853
2009年
6006.770
6080.457
73.68692
1.2267
2010年
6550.633
6604.361
53.72758
0.8202
图（7）预测值与实际值的图形趋势
从图可以看出，预测值与实际值的相对误差小，说明该模型在短期内预测比较准确，但随着预测期的逐渐增大，预测误差可能会逐渐增大。下面是对2011年到2013年的情况进行预测：（单位：亿元）
ARIMA(0,1,(6,7))对2011年-2013年预测
时间
2011
2012
2013
预测值
7337.182
8020.689
应用时间序列分析与预测
摘要：随着我国经济的快速发展，政府对教育投入规模不断扩大。本文基于财政教育支出的数据，利用ARIMA模型，对我国未来几年的教育支出进行了定量预测。预测结果显示：该模型预测值与实际数据相比误差小，预测结果较为精确。
关键词：时间序列 教育支出 平稳性 ARIMA模型 预测
知识结构:
拖尾
拖尾
通过观察可以看出七阶差分后序列的自相关系数和偏相关系数都是截尾的，所以我们初步确定采用ARMA模型的疏系数形式进行拟合。通过使用软件多次推算，利用AIC 和SC 准则选出最优的模型形式为：
(1-B) log (education) =C+ (1- 1B6- 2B7)
利用最小二乘法估计参数得：
0.110115
Adjusted R-squared
0.480985
S.D. dependent var
0.137918
S.E.of regression
0.099360
Akaike info criterion
-1.729793
Sum squared resid
0.542984
Schwarz criterion
表3 回归结果
参数
系数
标准差
t
p
C
0.108616
0.022368
4.855780
0.0000
MA(6)
0.414895
0.106382
3.900064
0.0003
MA(7)
0.595402
0.106297
5.601330
0.0000
R-squared
0.499196
Mean dependent var
5、模型的检验
模型的检验主要是检验模型的有效性。一个模型是否有效主要看它提取信息是否充分。一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，换言之，拟合残差项中将不含任何相关信息，即残差项序列应该为随机性序列。得到残差的自相关图和偏相关图见下：
图（5）残差的Q统计量检验图
由图可以看出模型残差的自相关系数和偏相关系数都在置信区间内，与零无显著差异，初步可以认为残差是线性无关的，趋近于随机性序列。再作残差关于其滞后一阶的散点图：
则该时间序列是p阶自回归序列，记为AR(P)。随机项 ，与之后变量不相关， 是相互独立的随机性序列，且服从均值为0、方差为 的正态分布。
（2）移动平均模型(MA)
如果时间序列yt，是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即可表示为:
则称该时间序列是q阶移动平均序列，记为MA(q)。移动平均过程无条件平稳。
平稳
从表中数据可以看出，X序列ADF检验结果表明X是平稳的，因此ARIMA(p,d,q)的差分阶数d=1。
3、非纯随机性检验:
对平稳序列还需进行纯随机性检验。因为纯随机性序列就没有了分析的必要，对于平稳的非纯随机性序列才可以进行ARMA(p,q)模型拟合。纯随机性序列通常观察所得平稳序列的自相关系数和偏相关系数图来判断。
-1.623218
Log likelihood
53.16398
Hannan-Quinn criter.
-1.688280
F-statistic
27.41170
Durbin-Watson stat
1.621746
Prob(F-statistic)
0.0000Baidu Nhomakorabea0
最终模型为：
(1-B)log (edu) =0.108616+ (1+0.414895B6+0.595402B7)