第三章不等式单元综合测试

第三章不等式单元综合测试

时间：120分钟 分值：150分

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

1．不等式x 2≥2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥2}

B ．{x |x ≤2}

C ．{x |0≤x ≤2}

D ．{x |x ≤0或x ≥2}

解析：原不等式化为x 2－2x ≥0，则x ≤0或x ≥2. 答案：D

2．若a 、b 、c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b

B ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b

c 2＋1

D ．a |c |>b |c |

解析：根据不等式的性质，知C 正确；若a >0>b ，则1a >1

b ，A 不正确；若a ＝1，b ＝－2，

则B 不正确；若c ＝0，则D 不正确，所以选C.

答案：C

3．若a ，b ，c 是不全相等的正数．给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与b

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案：D

4．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3)

D ．(－3,2)

解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x ＋2y ＋5>0.

答案：A

5．已知m ，n ∈R ＋

，且m ＋n ＝2，则mn 有( )

A ．最大值1

B ．最大值2

C ．最小值1

D ．最小值2 解析：∵m ，n ∈R ＋

，∴mn ≤(m ＋n 2)2＝1.

答案：A

6．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M

D ．M ≤N

解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0，所以M ≥N . 答案：B

7．若1a <1

b

<0，则下列不等式：

①a ＋b |b |；③a

b >2，其中正确的不等式是( )

A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．③④

解析：由于1a <1

b <0，则b

－a )>0，所以b 2>a 2，则|b |>|a |，所以②不正确；b a >0，a b >0，且b a ≠a b ，则b a ＋a

b

>2，所以④正确．

答案：C

8．设x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则1x ＋1

y 的最小值为( )

A ．2

B.32 C ．1＋22

3

D ．3＋2 2

解析：1x ＋1y ＝13(3x ＋3y )＝13(x ＋2y x ＋x ＋2y y )＝13(2y x ＋x y ＋3)≥13(22＋3)＝232＋1，当且仅当

2y x ＝x y ，即x ＝32－3，y ＝3－3

2

2时取等号． 答案：C

9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋1≥0x ＋y ≥0

x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的

最小值是( )

A ．0

B ．1 C. 3

D ．9

解析：在坐标平面内画出已知不等式组表示的平面区域，此区域是以O (0,0)，A (0,1)，

B (－12，1

2

)为顶点的三角形内部(含边界)．当x ＝y ＝0时，x ＋2y 取最小值0，所以z ＝3x ＋2y

的

最小值是1. 答案：B

10．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，1

3)，则a －b 等于( )

A ．10

B ．14

C ．－4

D ．－10

解析：∵2a ＝(－12)×13＝－16，∴a ＝－12.又－b a ＝－12＋13＝－1

6，∴b ＝－2，∴a －b ＝－

10.

答案：D

11．某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n 层楼时，环境不满意度为8

n

，则此人应选( ) A ．1楼 B ．2楼 C ．3楼

D ．4楼

解析：只需求不满意度n ＋8n 的最小值．由均值不等式得n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8

n ，

即n ＝22≈3时，n ＋8

n

取得最小值．

答案：C

12．设函数f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，若当0≤θ<π

2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m

的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．(－∞，0)

C ．(－∞，1

2

)

D ．(－∞，1)

解析：∵f (x )＝x 3＋x ，x ∈R 是奇函数且是增函数，∴f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，即f (m sin θ)>f (m －1)，∴m sin θ>m －1，即m <

11－sin θ.∵θ∈[0，π2)，∴1

1－sin θ

≥1，∴m <1.

答案：D

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(每小题5分，共20分)