统计学线性回归分析

THANKS
谢谢您的观看
广义线性模型是一类概率模型的总称，它包括了线性回归模型、逻辑回归模型等。广义线 性模型最大的特点是假设因变量和自变量之间存在一个广义线性关系。
广义线性模型的公式
广义线性模型的公式可以表示为：y ~ p(μ)，其中μ为期望值，p为一个给定的概率分布函 数。
广义线性模型的应用
广义线性模型在医学统计学中有着广泛的应用，例如在疾病诊断、疾病预测以及药物效果 评估等方面。
多元回归
在这种类型的回归中，我们研究一个因变量和多 个自变量之间的关系。这可以帮助我们了解多个 因素对结果的影响。
非线性回归
与线性回归不同，非线性回归涉及的模型不是线 性的。它用于研究自变量和因变量之间的非线性 关系。
逻辑回归
这种类型的回归用于研究分类变量之间的关系。 它的目的是确定一个分类变量的概率，该概率可 以基于另一个变量的值进行预测。
《医学统计学：回归分析 》
xx年xx月xx日
目 录
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 逻辑回归分析 • 多项式回归分析 • 回归分析的扩展 • 回归分析在医学中的应用
01
回归分析概述
定义与目的
定义
回归分析是一种统计学方法，用于研究变 量之间的关系，特别是连续变量之间的关 系。它可以帮助我们理解特定变量的变化 如何影响另一个变量的值。
从海量数据中发现有价值的模式和关联。
04
多项式回归分析
定义与模型
定义
多项式回归是一种非线性回归模型，其中因变量和自变量之间的关系用一个或多个多项式函数表示。
模型
多项式回归模型通常表示为 y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βkxk + ε，其中y是因变量，x1, x2, ..., xk是自变量 ，β0, β1, ..., βk是需要估计的参数，ε是误差项。

校正决定系数、Cp准则、AIC准则
逐步选择法
后退法 前进法 逐步回归法
（一）全局择优法
根据一些准则建立 “最优”回归模型
校正决定系数（考虑了自变量的个数） Cp准则（C即criterion，p为所选模型中变量的个 数；Cp接近（p+1）模型为最优） AIC (Akaike’s Information Criterion)准则；
Model 1
(Const ant )
B -2262.081
St d. Error 1081 .870
X1
48.135
22.058
X2
38.550
13.346
X3
104.585
74.361
a. Dependent Variable: Y
St andardized Co effi ci ents
Bet a
.8 84a
.7 81
.7 40 216.0570 680
a. Predictors: (Constant), X3, X2, X1
R （复相关系数）
0.884
R Square （决定系数）
0.781
Adj R-Sq （校正决定系数）
0.740
Std.Error of the Estimate （剩余标准差）
3
Regressi on 2664 484.494
Resi dual
7468 90.5 06
Tot al
3411 375.000
4
Regressi on 2572 146.452
Resi dual
8392 28.5 48
Tot al
3411 375.000

多元线性回归模型构建 与解读
多元线性回归模型形式
多元线性回归模型0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots +
beta_pX_p + epsilon$
解释变量与被解释变量
02
$X_1, X_2, ldots, X_p$ 为解释变量，$Y$ 为被解释变量
在所有无偏估计量中，OLS估计量的方差最 小
模型假设检验与诊断
模型的显著性检验
模型的诊断
使用F检验对模型的显著性进行检验， 判断模型中是否至少有一个解释变量 对被解释变量有显著影响
通过残差图、QQ图等方法对模型的 拟合效果进行诊断，检查模型是否满 足线性、同方差等假设
回归系数的显著性检验
使用t检验对每个回归系数的显著性进 行检验，判断每个解释变量是否对被 解释变量有显著影响
5. 预测与结果分析
利用拟合好的模型进行未来一个月的销售额预测，并对 预测结果进行分析和解读。
06
总结回顾与拓展延伸
本次课程重点内容总结
回归模型的基本原理
通过最小二乘法等优化算法，拟合自变 量和因变量之间的线性或非线性关系。
模型的评估与选择
通过比较不同模型的预测精度、解释 性、稳定性等指标，选择最优模型。
医学领域
研究药物剂量与疗效之间的非线性关系，为合理 用药提供依据。
金融领域
分析股票价格与市场指数之间的非线性关系，预 测市场走势及风险。
环境科学
探讨污染物浓度与环境因素之间的非线性关系， 为环境保护和治理提供决策支持。
04
回归模型诊断与优化策 略
残差分析及其意义
残差定义
实际观测值与回归模型预测值之间的差异。

Y 0 1Z1 2 Z2 3Z3 k Zk
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,

线性回归与相关分析一、引言线性回归和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。

线性回归用于建立两个或多个变量之间的线性关系，而相关分析则用于衡量变量之间的相关性。

本文将介绍线性回归和相关分析的基本原理、应用场景和计算方法。

二、线性回归线性回归是一种建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。

它的基本思想是通过找到最佳拟合直线来描述自变量与因变量之间的关系。

线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。

线性回归的目标是最小化观测值与模型预测值之间的差异，常用的优化方法是最小二乘法。

线性回归的应用场景非常广泛。

例如，我们可以利用线性回归来分析广告费用和销售额之间的关系，或者分析学生学习时间和考试成绩之间的关系。

线性回归还可以用于预测未来趋势。

通过建立一个合适的线性回归模型，我们可以根据历史数据来预测未来的销售额或者股票价格。

在计算线性回归模型时，我们首先需要收集相关的数据。

然后，可以使用统计软件或者编程语言如Python、R等来计算最佳拟合直线的参数。

通过计算截距和斜率，我们可以得到一个最佳拟合线，用于描述自变量和因变量之间的关系。

此外，我们还可以借助评价指标如R 平方来衡量模型的拟合程度。

三、相关分析相关分析是一种用于衡量两个变量之间相关性的统计方法。

它可以帮助我们判断变量之间的线性关系的强度和方向。

相关系数是表示相关性的一个指标，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。

皮尔逊相关系数适用于测量两个连续变量之间的线性关系，其取值范围在-1到1之间。

当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关，即随着一个变量增加，另一个变量也增加。

当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关，即随着一个变量增加，另一个变量减小。

当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。

斯皮尔曼相关系数适用于测量两个有序变量之间的单调关系，其取值范围也在-1到1之间。

如何理解线性回归分析线性回归分析是统计学中常用的一种方法，用来确定因变量与自变量之间的函数关系。

在实际生活中，我们往往需要探究不同变量之间的关系，比如汽车的油耗与车速、学习时间与成绩、销售量与广告投入等，这些都可以通过线性回归分析来进行探究。

线性回归分析的原理很简单，就是通过数据拟合一条线来描述因变量和自变量之间的关系，通常表现为y=a+bx的形式，其中y 代表因变量，x代表自变量，a和b就是我们要求出的参数，a代表截距，b代表斜率。

对于给定的一组数据，我们可以使用最小二乘法来求出a和b 的值。

最小二乘法的思想就是找到一条直线，使得这条直线与所有数据点的距离之和最小，这个距离通常是指纵向的距离，也就是我们常说的误差。

在应用线性回归分析之前，我们需要确认两个变量之间是否存在线性关系。

如果变量之间存在非线性关系，那么线性回归分析的结果可能会有误。

此外，我们还需要检查数据是否满足线性回归模型的基本假设，这些假设包括自变量与因变量的关系是线性的、误差项是独立的、误差的方差是常数、误差是正态分布的等等。

如果数据满足线性回归模型的基本假设，我们就可以进行线性回归分析了。

这个过程通常分为三个步骤：建立模型、估计参数、评价模型。

建立模型的过程就是确定自变量和因变量之间的线性关系，估计参数的过程就是求解参数a和b的值，而评价模型的过程就是判断模型的拟合程度，我们通常会使用R方值来评价模型的拟合程度，R方值越接近1，说明模型越拟合数据。

需要注意的是，线性回归分析并不是银弹，它也有很多限制。

比如说，当数据之间存在多重共线性、异方差性等问题时，线性回归模型可能会出现问题，这时我们需要使用其他统计方法来分析数据。

而且，在使用线性回归分析时，我们还需要小心数据的解释问题，尤其是当我们进行因果推断时，需要注意变量之间的间接因果关系、混淆因素等问题。

总之，线性回归分析是一种常用的统计方法，可以用来探究不同变量之间的关系，但是在使用时需要注意数据的性质，以及模型的基本假设。

例1：李明想开一家社区超市， 前期去了很多小区做实地调查 。经调研得到小区超市的年销 售额（百万元）与小区常住人 口数（万人）的数据资料如表 所示，请对超市的年销售额与 小区常住人口数进行回归分析 ，帮助：
表：小区超市的年销售额（百万元）与小区常住人口数（万人）统计表
24
10
01-03 回归分析的应用
分析步骤：(一)
11
01-03 回归分析的应用
分析步骤：（二）
反映模型的拟合度
12
01-03 回归分析的应用
分析步骤：（三） • 一元线性回归 y=kx+b
第三组数据的第1个数据（301.665）是回归直线的截距b，第2个数据（ 44.797）也叫回归系数，其实就是回归直线的斜率k。
某一类回归方程的总称回归分析的概念50102?分类1回归分析按照涉及的变量多少分为一一元回归分析多元回归分析2按照自变量和因变量之间的关系类型可分为线性回归分析非线性回归分析回归分析的概念60102?步骤回归分析的概念1
Contents 内 容
01 回归分析的起源 02 回归分析的概念 03 回归分析的应用
22
01-03 回归分析的应用
想一想 做一做：
已 知 2009 — 2015 年 淘 宝 “ 双 11 ” 当天销量统计如图所示，请利用散 点图进行回归分析，模拟淘宝“双 11 ” 的 销 量 变 化 规 律 ， 并 预 测 2016年的销量。
23
01-03 回归分析的应用
两种回归分析工具使用总结： • 利用回归分析工具进行线性回归的优缺点如下： ① 优点：可以进行一元线性回归，也可以进行多元线性回归。 ② 缺点：只能进行线性回归，不能直接进行非线性回归。 • 利用散点图和趋势线进行回归分析的优缺点如下： ① 优点：不仅能进行线性回归，还能进行非线性回归。 ② 缺点：只能进行一元回归，不能进行多元回归。

回归分析的基本原理及应用概述回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。

它可以帮助我们理解变量之间的相关性，并通过建立模型来预测未来的结果。

在本文中，我们将介绍回归分析的基本原理，并探讨其在实际应用中的具体作用。

回归分析的基本原理回归分析基于以下两个基本原理：1.线性关系：回归分析假设自变量与因变量之间存在线性关系。

换句话说，自变量的变化对因变量的影响可以通过一个线性方程来描述。

2.最小二乘法：回归分析使用最小二乘法来估计回归方程中的参数。

最小二乘法试图找到一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。

回归分析的应用场景回归分析在各个领域中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：•经济学：回归分析用于研究经济中的因果关系和预测经济趋势。

例如，通过分析历史数据，可以建立一个经济模型来预测未来的通货膨胀率。

•市场营销：回归分析可以用于研究消费者行为和市场需求。

例如，可以通过回归分析来确定哪些因素会影响产品销量，并制定相应的营销策略。

•医学研究：回归分析在医学研究中起着重要的作用。

例如，通过回归分析可以研究不同因素对疾病发生率的影响，并预测患病风险。

•社会科学：回归分析可帮助社会科学研究人们的行为和社会影响因素。

例如，可以通过回归分析来确定教育水平与收入之间的关系。

回归分析的步骤进行回归分析通常需要以下几个步骤：1.收集数据：首先需要收集相关的数据，包括自变量和因变量的取值。

2.建立回归模型：根据数据的特点和研究的目的，选择适当的回归模型。

常见的回归模型包括线性回归、多项式回归和逻辑回归等。

3.估计参数：使用最小二乘法估计回归模型中的参数值。

这个过程目的是找到一条最能拟合数据点的直线。

4.评估模型：通过分析回归模型的拟合优度和参数的显著性，评估模型的有效性。

5.预测分析：利用建立好的回归模型进行预测分析。

通过输入新的自变量值，可以预测对应的因变量值。

回归分析的局限性回归分析虽然在许多领域中有广泛应用，但也存在一些局限性：•线性假设：回归分析假设因变量与自变量之间存在线性关系。

什么是回归分析？
回归分析是一种统计学方法，用于探索和建立变量之间的关系。

它主要用于预测一个或多个自变量对因变量的影响。

回归分析可以
确定这些变量之间的线性关系，并利用这些关系进行预测和解释。

在回归分析中，自变量是独立变量，可以通过实验或观察进行
测量。

因变量则是依赖于自变量的变量。

回归分析的目标是通过对
自变量和因变量之间的关系进行建模，来预测和解释因变量的变化。

回归分析可以应用于各种领域和问题，例如经济学、金融学、
社会科学等。

它可以帮助研究人员了解不同变量之间的关系，并使
用这些关系进行预测和决策。

回归分析有多种方法，如简单线性回归、多元线性回归、逻辑
回归等。

每种方法都有自己的假设和计算方法。

研究人员需要根据
具体的问题和数据选择适当的方法进行分析。

总而言之，回归分析是一种重要的统计学工具，可以探索和建
立变量之间的关系，并利用这些关系进行预测和解释。

它在许多领
域中都有广泛的应用，可以帮助研究人员进行深入的数据分析和决策支持。

第1篇一、引言线性回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，主要用于研究两个或多个变量之间的线性关系。

本文以某城市房价数据为例，通过线性回归模型对房价的影响因素进行分析，以期为房地产市场的决策提供数据支持。

二、数据来源与处理1. 数据来源本文所采用的数据来源于某城市房地产交易中心，包括该城市2010年至2020年的房价、建筑面积、交通便利度、配套设施、环境质量等指标。

2. 数据处理（1）数据清洗：对原始数据进行清洗，去除缺失值、异常值等。

（2）数据转换：对部分指标进行转换，如交通便利度、配套设施、环境质量等指标采用五分制评分。

（3）变量选择：根据研究目的，选取建筑面积、交通便利度、配套设施、环境质量等指标作为自变量，房价作为因变量。

三、线性回归模型构建1. 模型假设（1）因变量与自变量之间存在线性关系；（2）自变量之间不存在多重共线性；（3）误差项服从正态分布。

2. 模型建立（1）选择合适的线性回归模型：根据研究目的和数据特点，采用多元线性回归模型。

（2）计算回归系数：使用最小二乘法计算回归系数。

（3）检验模型：对模型进行显著性检验、方差分析等。

四、结果分析1. 模型检验（1）显著性检验：F检验结果为0.000，P值小于0.05，说明模型整体显著。

（2）回归系数检验：t检验结果显示，所有自变量的回归系数均显著，符合模型假设。

2. 模型结果（1）回归系数：建筑面积、交通便利度、配套设施、环境质量的回归系数分别为0.345、0.456、0.678、0.523，说明这些因素对房价有显著的正向影响。

（2）R²：模型的R²为0.876，说明模型可以解释约87.6%的房价变异。

3. 影响因素分析（1）建筑面积：建筑面积对房价的影响最大，说明在房价构成中，建筑面积所占的比重较大。

（2）交通便利度：交通便利度对房价的影响较大，说明在购房时，消费者对交通便利性的需求较高。

（3）配套设施：配套设施对房价的影响较大，说明在购房时，消费者对生活配套设施的需求较高。

估计值的正负符号与客观实际不一致。 消除多重共线性：剔除某个造成共线性的自变量，重建回归方程；合并自变量；采用逐步回归方法。
医学统计学
*
医学统计学
*
谢谢大家！
医学统计学
例如采用射频治疗仪治疗脑肿瘤，脑皮质的毁损半径与射频温度及照射时间有线性回归关系，建立回归方程后可以按预先给定的脑皮质毁损半径，确定最佳控制射频温度和照射时间。
*
1．指标的数量化
二、多元线性回归应用的注意事项
医学统计学
*
数据格式回归方程
医学统计学
建立回归方程
b1 ：相当A 型相对于O 型的差别 b2 ：相当B 型相对于O 型的差别 b3 ：相当AB 型相对于O 型的差别
第三节
医学统计学
多元线性回归的应用及注意事项
*
一、多元线性回归的应用
医学统计学
*
1.影响因素分析
医学统计学
例如影响高血压的因素可能有年龄、饮食习惯、吸烟状况、工作紧张度和家族史等，在影响高血压的众多可疑因素中，需要研究哪些因素有影响，哪些因素影响较大。
*
这些问题都可以利用回归分析来处理。控制混杂因素(confounding factor)的一个简单办法就是将其引入回归方程中，与其他主要变量一起进行分析
第一节 多元线性回归
医学统计学
*
一、多元线性回归模型
医学统计学
*
表15-1 多元回归分析数据格式
医学统计学
条件*ຫໍສະໝຸດ 建立回归方程检验并评价回归方程 及各自变量的作用大小
一般步骤
多元线性回归方程的建立
例15-1 27名糖尿病人的血清总胆固醇、甘油三脂、空腹胰岛素、糖化血红蛋白、空腹血糖的测量值列于表15-2中，试建立血糖与其它几项指标关系的多元线性回归方程。

实例二：销售预测
总结词
线性回归分析在销售预测中，可以通过分析历史销售数据，建立销售量与影响因子之间的线性关系， 预测未来一段时间内的销售量。
详细描述
在销售预测中，线性回归分析可以用于分析历史销售数据，通过建立销售量与影响因子（如市场需求 、季节性、促销活动等）之间的线性关系，预测未来一段时间内的销售量。这种分析方法可以帮助企 业制定生产和销售计划。
自相关检验
自相关是指残差之间存在 相关性。应通过图形或统 计检验方法检验残差的自 相关性。
05
线性回归模型的预测与 优化
利用线性回归模型进行预测
确定自变量和因变量
01
在预测模型中，自变量是预测因变量的变量，因变量是需要预
测的目标变量。
建立模型
02
通过收集数据并选择合适的线性回归模型，利用数学公式表示
一元线性回归模型
一元线性回归模型是用来研究一个因变量和一个 自变量之间的线性关系的模型。
它通常用于预测一个因变量的值，基于一个自变 量的值。
一元线性回归模型的公式为：y = b0 + b1 * x
多元线性回归模型
01 多元线性回归模型是用来研究多个自变量和一个 因变量之间的线性关系的模型。
02 它通常用于预测一个因变量的值，基于多个自变 量的值。
线性回归模型与其他模型的比较
01
与逻辑回归的比较
逻辑回归主要用于分类问题，而 线性回归主要用于连续变量的预 测。
02
与决策树的比较
决策树易于理解和解释，但线性 回归在预测精度和稳定性方面可 能更优。
03
与支持向量机的比 较
支持向量机适用于小样本数据， 而线性 Nhomakorabea归在大样本数据上表现 更佳。

回归分析在统计学中的作用统计学作为一门应用广泛的学科，主要研究数据的收集、整理、分析和解释，以便对现象和问题进行理解和预测。

在统计学中，回归分析是一种常用的数据分析方法，被广泛应用于各个领域，如经济学、社会学、医学和环境科学等。

本文将探讨回归分析在统计学中的作用，并展示其在实际问题中的应用。

一、回归分析的概念和原理回归分析是一种用于分析自变量与因变量之间关系的统计方法。

其基本原理是通过建立数学模型，揭示自变量对因变量的影响程度和趋势。

在回归分析中，自变量可以是一个或多个变量，而因变量则是所要预测或解释的变量。

二、回归分析的种类和应用1.简单线性回归简单线性回归是回归分析中最基础的方法之一，它研究的是只有一个自变量与一个因变量之间的关系。

在实际应用中，可以利用简单线性回归来分析两个变量之间的相关性，并通过拟合直线来预测因变量的取值。

2.多元回归多元回归是一种比简单线性回归更为复杂的分析方法，它研究的是多个自变量与一个因变量之间的关系。

多元回归可以帮助人们了解多个影响因素对结果的综合影响，并提供更准确的预测和解释。

3.非线性回归除了线性关系，回归分析也可以研究非线性关系。

非线性回归用来分析自变量与因变量之间的非线性关系，并通过拟合非线性曲线来预测因变量的取值。

4.时间序列分析时间序列分析是回归分析的一种特殊形式，它专门用于研究时间上的变化和趋势。

时间序列回归可以帮助人们预测未来的趋势和变化，并对过去的数据进行解释。

三、回归分析的应用案例1.经济学中的回归分析在经济学中，回归分析被广泛应用于研究宏观经济和微观经济问题。

例如，经济学家可以利用回归分析研究GDP与产出、失业率、通货膨胀等因素之间的关系，以及对未来经济发展的预测。

2.医学中的回归分析医学研究中常常需要考察自变量对生物指标或健康结果的影响。

例如，医学研究者可以利用回归分析来研究生活方式与血压、血糖或心血管疾病等之间的关系，并为疾病的预防和治疗提供科学依据。

利用逐步回归等方法，选择重要 的自变量，优化模型，提高预测 精度。
生存分析模型
生存分析模型概述
生存分析模型是用于研究生存时间与相关因素 之间关系的一种统计分析方法。
模型的建立与拟合
通过Cox比例风险模型等统计技术，拟合生存分 析模型，并评估模型的拟合效果。
生存曲线与影响因素
利用生存曲线描述生存时间与影响因素之间的关系，并评估不同因素对生存时 间的影响。
正态性
误差项应服从正态分布，即近似于钟形曲线。如 果误差项存在偏离正态分布的情况，需要采取措 施进行调整。
多重共线性诊断
定义：多重共线性是指自变量之间存在 较强的线性相关关系，导致模型估计失 真或不稳定。
特征值：如果特征值接近于0，则表明存 在严重的多重共线性问题。
条件指数：条件指数大于10表明模型受 到多重共线性的影响。
模型构建流程
数据清洗
对数据进行预处理，包括缺失值填充、异常值处理等，以确保数 据的质量和可靠性。
模型构建
根据已知的变量和因变量之间的关系，构建线性回归模型。
模型优化
通过逐步回归等方法对模型进行优化，以提高模型的预测精度和 稳定性。
模型评估指标
拟合优度
通过计算模型的R²值等指标，评估模型对数 据的拟合程度。
回归分析的分类
线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归模型
线性回归模型的定义
线性回归模型是一种最常用的回归分析模型，其形式为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn。
线性回归模型的基本要素
因变量Y，自变量X1, X2, ..., Xn，以及模型中的系数β0, β1, ..., βn。

第十四节回归分析在散布图中我们研究了两个变量是否存在相关关系及其密切程度的问题；在方差分析中，我们研究了一个或几个因素对产品质量特性的影响是否显著的问题。

当因素与质量特性的相关关系密切或因素对质量特性影响显著时，如果我们需要进一步研究这种密切关系或影响呈现何种统计规律时，这就需要用回归分析的方法来解决。

一、概念1.回归分析的含义若具有相关关系的变量间（自变量x，因变量y）存在相关的定量关系，并能用函数表达出来，这种关系称为变量y对变量x的回归关系。

研究变量间的相关关系并为其建立函数形式，叫回归分析。

2.用途⑴确定几组相关数据之间是否存在相关关系，若存在相关关系，为其建立函数表达式；⑵分析影响因素的重要性；⑶根据一个或几个变量的值，预测和控制某一随机变量的变化范围。

二、一元线性回归分析1.一元线性回归的模式设产品的质量特性为y，影响其的质量因数为x，若不存在试验误差时，y为x 的线性函数，即y=a+bx今对x在水平x1，x2，…，x n上进行试验，由于存在试验误差，使相应的质量特性出现为随机变量y1，y2，…，y n。

设；y i=a+bx i+εi；i=1，2，…，n式中a，b是未知参数，εi是试验的随机误差，是不可观测的随机变量。

y i是试验结果，是可观测的随机变量。

假定：ε1，ε2，…，εn，相互独立且均服从正态分布N（0，σ2），我们称满足该条件的结构式y i=a+bx i+εi为一元线性回归模式（或一元线性回归方程）。

所谓“一元”，指自变量（质量因素）只有一个；所谓“线性”指不存在试验误差时，y与x之间的关系为线性关系，即y=a+bx。

一元线性回归所要解决的问题是：⑴判定x与y之间是否存在线性关系，这就等于检验假设：H O：b=0；１⑵倘若x与y之间存在线性关系，则求出这种关系：yˆ=a+bx；⑶给定x= x0，求出yˆ（x0）=a+bx0的区间估计；⑷若给定y的区间，预测x的控制区间。

2.一元线性回归方程的建立[例1.6-1]设某化工产品收率y与反应温度x之间存在直线关系，今测得5对数据如表1.14-1表中x i、y i的对应数据。

白杨树重量与其直径、高度、生长地点的相关指标数据表一、散点图白杨树重量与地点的散点图相关性很弱。

白杨树重量与高度的散点图相关性较强，为正相关。

白杨树重量与直径的散点图相关性很强，为正相关。

二、检验（统计-回归-回归）回归分析: 重量与直径, 高度, 地点回归方程为：重量= - 0.185 + 0.513 直径- 0.210 高度+ 0.0019 地点自变量系数系数标准误T P常量-0.18477 0.07859 -2.35 0.043直径0.51276 0.04428 11.58 0.000高度-0.21012 0.04172 -5.04 0.001地点0.00193 0.02861 0.07 0.948S = 0.0469198 R-Sq = 98.9% R-Sq（调整）= 98.6%方差分析来源自由度SS MS F P回归 3 1.85328 0.61776 280.61 0.000残差误差9 0.01981 0.00220合计12 1.87309来源自由度Seq SS直径 1 1.78807高度 1 0.06520地点 1 0.00001异常观测值拟合值标准化观测值直径重量拟合值标准误残差残差2 2.12 0.1500 0.2423 0.0224 -0.0923 -2.24RR 表示此观测值含有大的标准化残差因地点的P值大于0.05，无法通过回归方程检验，故剔除自变量“地点”。

回归分析: 重量与直径, 高度回归方程为：重量= - 0.181 + 0.514 直径- 0.211 高度自变量系数系数标准误T P常量-0.18114 0.05432 -3.33 0.008直径0.51395 0.03851 13.35 0.000高度-0.21116 0.03682 -5.74 0.000S = 0.0445233 R-Sq = 98.9% R-Sq（调整）= 98.7%方差分析来源自由度SS MS F P回归 2 1.85327 0.92663 467.45 0.000残差误差10 0.01982 0.00198合计12 1.87309来源自由度Seq SS直径 1 1.78807高度 1 0.06520异常观测值拟合值标准化观测值直径重量拟合值标准误残差残差2 2.12 0.1500 0.2433 0.0162 -0.0933 -2.25RR 表示此观测值含有大的标准化残差1.拟合优度检验：由于R-Sq（调整）= 98.7%，故数据之间拟合度很好，通过检验。

从统计学看线性回归（2）——⼀元线性回归⽅程的显著性检验⽬录1. σ2 的估计2. 回归⽅程的显著性检验 t 检验（回归系数的检验） F 检验（回归⽅程的检验） 相关系数的显著性检验 样本决定系数 三种检验的关系⼀、σ2 的估计 因为假设检验以及构造与回归模型有关的区间估计都需要σ2的估计量，所以先对σ2作估计。

通过残差平⽅和（误差平⽅和）（1）（⽤到和，其中）⼜∵（2）∴（3）其中为响应变量观测值的校正平⽅和。

残差平⽅和有n-2 个⾃由度，因为两个⾃由度与得到的估计值与相关。

（4）（公式（4）在《线性回归分析导论》附录C.3有证明）∴σ2的⽆偏估计量：（5）为残差均⽅，的平⽅根称为回归标准误差，与响应变量y 具有相同的单位。

因为σ2取决于残差平⽅和，所以任何对模型误差假设的违背或对模型形式的误设都可能严重破坏σ2的估计值的实⽤性。

因为由回归模型残差算得，称σ2的估计值是模型依赖的。

⼆、回归⽅程的显著性检验 ⽬的：检验是否真正描述了变量 y 与 x 之间的统计规律性。

假设：正态性假设（⽅便检验计算）1. t 检验 ⽤t 检验来检验回归系数的显著性。

采⽤的假设如下：原假设 H0：β1 = 0 （x 与 y 不存在线性关系）对⽴假设 H1：β1 ≠ 0 回归系数的显著性检验就是要检验⾃变量 x 对因变量 y 的影响程度是否显著。

下⾯我们分析接受和拒绝原假设的意义。

（1）接受 H0：β1 = 0 （x 与 y 不存在线性关系） 此时有两种情况，⼀种是⽆论 x 取值如何， y 都在⼀条⽔平线上下波动，即，如下图1，另⼀种情况为， x 与 y 之间存在关系，但不是线性关系，如图2。

图 1图 2 （2）拒绝 H0：β1 = 0 （x 对解释 y 的⽅差是有⽤的） 拒绝原假设也有两种情况，⼀种是直线模型就是合适的，如图 3，另⼀种情况为存在 x 对 y 的线性影响，也可通过 x 的⾼阶多项式得到更好的结果，如图 4。