2019年广西创新杯高一数学竞赛初赛试题参考答案及评分标准

广西“创新杯”数学竞赛高一初赛试卷参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．方程224+=x x 的实数解为（ ）

（A ）－1或2 （B ）1 （C ）2 （D ）2±

答：D 。

解析：由已知得0)1)(2(,022224=+-=--x x x x 22=x 或12-=x (舍去)，故有2±=x 。

2．若实数满足y y x 44|1|2=+++，则y x +的值为（ ）

（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2

答：C 。

解析：由y y x 44|1|2=+++得0)2(|1|2=-++y x ，于是有02,01=-=+y x ，所以1=+y x 。

3．设梯形的中位线的长为l ，两对角线的长分别为y x ,，则（ ）

（A ）2y x l +< （B ）2y x l += （C ）2

y x l +> （D ）以上答案均有可能 答：A 。

解析：提示过梯形的一顶点作对角线的平行线。

4．方程组⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x 的解为（ ）

（A ）⎩⎨⎧==91y x （B ）⎩⎨⎧==82y x （C ）⎩⎨⎧==64y x （D ）⎩⎨⎧==82y x 或⎩

⎨⎧==28y x 答：D 。

解析：原方程变形为⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+1025y x xy y x ，⎩⎨⎧=+=1016y x xy 解得⎩⎨⎧==82y x 或⎩⎨⎧==28y x . 5．方程0)7()1(82

=-+--m x m x 恰有一个正根和一个负根，则m 的取值范围是（ ）

（A ）7m （D ）25≥m

答：A 。

解析：由已知得2(1)48(7)0m m ∆=--⨯->，即2342250m m -+> 得9m <或25m >，由08721<-=

m x x ，得7

+-这四个数中的三个数相等，则y x -的值等于（ ） （A ）12-

（B ）0 （C ）12 （D ）32

解：选C.

由0y ≠，易知x y x y +≠-，从而必有x xy y

=，解得0,x =1y =或者1y =-. 若0x =,则四个数分别为,,0,0y y -.由0y ≠知不可能有三个数相等，矛盾;

若1y =，则四个数分别为1,1,,x x x x +-.同样不可能有三个数相等，矛盾;

若1y =-，由已知有xy y x =+或者x y xy -=,此时有12x =或者12

x =-. 无论哪种情形均有 12

y x -=.

二、填空题（每小题9分，共54分）

7．已知：115a b a b +=+，则b a a b

+＝_______。 解：答案：3 由115a b a b +=+得：223a b ab +=，所以223b a a b a b ab

++==. 8. 关于实数y x ,的多项式22687x y x y +-++的最小值为_________。

解：答案：-18

()()22

22687341818x y x y x y +-++=-++-≥-.

当-4y 3,x ==时，多项式22687x y x y +-++的最小值为-18. 9. 已知21,x x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根，如果

1221

2x x x x +-的值为整数，则实数k 的整数值为 . 解：答案：,5,3,2,3,1---=k

由⎩⎨⎧≥+-=∆≠0

)1(4)4(042k k k k 得 0

x x x x k x x x x k k +-+-=-=-=++为整数，则,4,2,11±±±=+k 故1,3,2,3, 5.k =---

10. 已知721

,721

-=+=b a ，则b b a a -+-3

3= .

解：答案：2764-。 注意到3

1,34-=-=+ab b a ，则 3333222()()(1)

64()[()31)]27

a a

b b a b a b a b a ab b a b a b ab -+-=+-+=+-+-=++--=-. 11．如图，△ABC 的边BC 上有D 、E 两点，且BD=DE=EC=AD=AE ，

则∠BAC=＝ . 解：答案：120º。

由AD=AE=DE ，可得△ADE 为等腰三角形，即有∠ADE=∠AED=

∠DAE=60º，又由AD=AB ，AE=EC ，即可求得∠BAD=30º与

∠CAE=30º.

12．

集合{}

0.01A x =∈<中最小的元素为 . 答案：2500.

解析：0.01100<⇔+>

得502499.2500,100x x >⇒>=+>取

即2499,2500A A ∉∈，根据集合A 中元素为自然数，得所求最小元素为2500.

三、解答题（每题20分，共60分） 13.已知：如图，ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=o ，D 是AC 上一点，AE

⊥交BD 的延长线于E ，且12AE BD =。求证：BD 是ABC ∠的角平分线。

证明：如图，延长AE 、BC 交于点F ，

因为 90ACB ∠=o ，所以 90ACF BCD ∠=∠=o ，

所以 3190F F ∠+∠=∠+∠=o ，从而 31∠=∠ ......................5分

又因为 AC BC =，所以 ACF BCD ∆∆≌，所以 AF BD =，.............10分

又因为 12AE BD =，所以 12AE AF =， .............15分

又因为AE BD ⊥，所以 BD 是ABC ∠的角平分线. .............20分

14. 给定非零实数a ，解关于y x ,的方程组⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=-a x y xy a y x xy 1. 解析：原方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-x y a xy y x a xy 1，将两式相乘得： 0)1()(1)1)((2=+-⇒=--xy a

a xy a xy a xy ......................5分 A

B C E F B