大学物理 第22章 相对论

在S’系测量，光讯号从发射到 接收所用时间
u d S’
△t’=2d/c 问题：
光讯号钟
o S系
从地面S系来测量,这个时间 间隔△t又是多少呢?
X
反射镜
u
u
光讯号钟
0 (X1,t1)
地面S系
u
(x2,t2)
X
由光速不变原理和三角形勾股定理可得如下式 d
u
在一个惯性系中,运动的钟比静止的钟走得慢。这种 效应称爱因斯坦延缓；或时间膨胀；或钟慢效应。
事件，在其中一个惯性系中表现为同时的，在另一惯性系中观 察，则总是在前一惯性系运动的后方的那一个事件先发生。）
3) 当速度 u 远远小于 c 时，两个惯性系结果相同
二.时间的延缓
设想在一列以速度 u 匀速运动的车箱里,有一
台光讯号钟,车箱顶部放置一面反射镜M,可使光
脉冲反射 ,设车箱高度为d。
反射镜M
问题：1.在S系如果先测B’点的位置,再测A’点的位置,则测量结果比实 际长度长还是短?为什么?
2在S系如果先测A’点的位置,再测B’点的位置,则测量结果比实
际长度长还是短?为什么?
u (答案:1短。2长。)
A’ S’系 C’
B’
站台A S系
B
测量一个运动物体长度的合理方法:
记下运动物体两端的“同时”位置,如图所示站台上的
静止 介子的平均寿命，是固有时，当介子运动时
，在实验室测得的平均寿命应是：
t
t u2
1 c2
＝
2.5 108 1 (0.99)2
1.8107 (s)
实验室测得它通过的平均距离应该是：u Δt = 53m, 与实 验结果符合得很好。
§22.4 相对论运动学--- 长度收缩
如何测量一个运动物体的长度?
AB,然后去量它们之间的距离,就是运动着的火车的长度。
设尺子相对于地面以速度u向右运动t=0和t’=0时两坐标系原点重合
Y Y’ S S’
u
在S系测量尺子的长度
A’
B’ 在S系测量,B’通过X1点的时刻为t
O O’
（x1，t）X X’ A’通过X1点的时刻为t+Δt
Δt是固有时间,运动尺子
Y S
Y’ S’
伽利略变换
u c x x ut
(1 u2 ) 1 y y
c2
z z t t
2. u>c 变换无意义 速度有极限
二 . 洛仑兹变换下的相对论效应
（1）空间效应 运动的尺变短 S 设长L' 棒静止在S'系中
S'
v
S'系测得： L x2 x1 在S系测得： L x2 x1
x1' L' x2'
求：复合粒子的速度和质量
解：设复合粒子质量为M 速度为V
碰撞过程，动量守恒
m1v1 m2v2 MV
V 0
由能量守恒 2mc2 M 0c2
v m0
M 0 2m
2m0
1
v2 c2
2m0
损失的能量转换成静能
22章 总结
一、爱因斯坦两个基本假设 例题22-1，2，3，4 练习22-9,10
S 爱因斯坦火车
u
S 地面参考系
A M B
在火车上 A、B 分别放置信号接收器
中点 M
放置光信号发生器
t t 0 （ 同步钟） M 发一光信号
t t 0 M发一光信号
事件1 事件2
A 接收到闪光
B 接收到闪光
S S
u
A M B
研究的问题
两事件发生的时间间隔
S ？
S
c M 发出的闪光 光速为
S？
AM BM
A B 同时接收到光信号
事件1、事件2 同时发生
S系中的观察者又 如何看呢？
c M 处闪光 光速也为
A B 随 S 运动
S S
u
A M B
A 迎着光 比 B早接收到光
事件1、事件2 不同时发生 事件1先发生
讨论 1) 同时性的相对性是光速不变原理的直接结果
2) 相对效应(总之；沿两个惯性系相对运动方向发生的两个
系
X X’
在S’系 Y uS
Y’
S’
ut’
O O’
P(x’,y’,z’,t’) X X’
从上两式中消去x’可得 从上两式中消去x可得
一、洛仑兹坐标变换
讨论 1、在洛伦兹变换中时间和空间密切
相关，它们不再是相互独立的。
x x ut 1 u2 c2
y y
z z
t
t
u c2
x
1 u2 c2
u
7.3 0.99c
2.5
108
(s)
这就是静止π介子的平均寿命。
§22.5 洛仑兹坐标变换---根据相对论时空观,导出两个
相互作匀速直线运动的惯性系之间的坐标关系
同一事件P在两个坐标系中的关系:
Y Y’
P(x, y, z t)
（x’, y’, z’, t’）
S
S’ u
ut
x’√1-u2/c2
在S O O’
设计质点从静止，通过力作功，使动能增加。
dEk
F
ds
dp ds
u dp
u (udm mdu)
dt
(u u)dm m(u du) u2dm mudu
由m m0 1u2 c2
得m2c2 m2v2 m02c2
对上式求导得: 2mc2dm 2mv2dm 2m2vdv 0
即：c2dm v2dm mvdv
S系测得对应两事件的坐标:
t1
t1
v c2
x1
1(v c )2
t2
t2
v c2
x2
1(v c )2
A (x1,0,0,t1) B (x2,0,0,t2)
t
(
t
2
t1
)
v c2
(
x2
x1
)
1
v c
2
讨论：同时性的相对性、 时间延缓
10 在S' 系中A', B'不同地， 即：x'1≠ x'2 但 t'1= t'2
22-2 狭义相对论基本假设
1.相对性原理 所有物理规律在一切惯性系中都具有形式
相同。（所有惯性系都是平权的，在它们之 中所有物理规律都一样）
2.光速不变原理 在一切惯性系中，光在真空中的速率恒为c ，与
光源的运动状态无关
一、 同时的相对性
同时性的相对性——光速不变原理的直接结果，
以爱因斯坦火车为例说明 S S
0 t
v c2
x
1
v c
2
t1 ≠ t2
同时性的相对性
20 若在S' 系中：
A'，B' 同地发生,但不同时
即：x'2=x'1 , t'2≠ t'1
原时
t
(t2
t1
)
v c2
(
x2
x1
)
1
v c
2
在S系看： t (t2 t1 ) t
1(v c )2 1(v c )2
⊿t ＞⊿t'
运 动 时
t 20 s
相差50倍！
例2、带正电的 介子是一种不稳定的粒子，当它静止时，平均 寿命为 2.5×10-8s, 之后即衰变成一个 介子和一个中微子。今产 生一束 介子，在实验室测得它的速率为 u = 0.99c, 并测得它在 衰变前通过的平均距离为52m, 这些测量结果是否一致？
解：若用平均寿命 t = 2.5 ×10-8s 和 u 相乘，得7.4m, 与实验结果不符。考虑相对论的时间膨胀效应， t′是
钟
30 自然界的“因果律”在相对论中不会颠倒 !
变
慢
从事件A
事件B, 传递一种“作用”或“信号”。
一、相对论质量
1901年，W.Kaufmann 从放射性镭放出的高速电子
流实验中发现了电子质量随速度增大而增大的现象
m
m0
质速关系式
1 u2 c2
m0——物体静止质量 m m0
m——相对于观察者
以速度u运动时的质 4
所以：c2dm vdmv
积分的：Ek
m c2dm
m0
mc2
m0c2
Ek m m0 c2
这便是相对论的质点动能公式,它等于因运动 而引起质量的增量乘以光速的平方。
忽略高次项,就是我们所熟悉的牛顿力学动能公式。
有一粒子静止质量为m0，现以速度v=0.8c运动，计算 它的动能
相对论动能公式为 Ek mc 2 m0c2
Ek mc 2 m0c2
m0 1 v2
c2
c2 m0c2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m0 0.6
c2
m0c 2
2 3
m0c 2
0.667m0c 2
三、相对论能量
EK mc 2 m0c2
EK 运动时的能量 m0 c 2静止时的能量
E EK m0c2 mc 2
除动能以外的能量
讨论
这个公式称质能关系,它把“质量”和“能量”两个
质量守恒定律
在一个孤立系统内，粒子在相互作用过程中相 对论质量保持不变。
四、 相对论动量和能量的关系 为了找到能量和动能之间的关系,我们取能量平方
E pc
这便是相对论的能量动量关系。上式可用如 m0c2 图动质能三角形表示。
在v→c 的极限情况下,E≈pc(极端相对论情况)。
例 两全同粒子以相同的速率相向运动，碰后复合
例1、试从π介子在其中静止的参照系来考虑π介子的 平均寿命。
解：从π介子的参照系看来，实验室的运动速率为 u=0.99c, 实验室中测得的距离是 l=52m 为固有长度 ， 在π介子参照系中测量此距离应为：
l l
1
u2 c2
＝52
1－(0.99)2 7.3m
而实验室飞过此距离所用时间为：
t
l
x1
x2
利用洛仑之变换：x2 x1
x2 vt2 1(v c )2 x1 vt1 1(v c )2
t2 t1
x2 x1
x2 x1
1
v c
2
L L
1
v c
2
或: L L
1
v c
2
原长 ——最长
（2）时间效应
S' 系发生两事件的坐标: A' (x'1,0,0,t'1) B' (x'2,0,0,t'2)
概念紧密地联系在一起。 物质具有质量，必然同时具有相应的能量。
E静 m0c2 任何宏观静止的物体具有能量
E mc 2 相对论质量是能量的量度
质能守恒定律 在一个孤立系统内，所有粒子的相对论动能与
静能之和在相互作用过程中保持不变。
Ei mic2 (EiK mi0c2) 恒量 mi 恒量
例1、一飞船以 u = 9×103 m/s 的速率相对与地面匀速 飞行。飞船上的钟走了 5 s, 地面上的钟经过了多少时 间？
解： t 为固有时
t
t
5
5.000000002(s)
1
u2 c2
1
9 103 3 108
2
飞船的时间膨胀效应实际上很难测出
若 u = o.998c 飞船上招手用0.4秒
量。相对论质量
3
2 推论
1
速度为光速的粒子，
其静止质量必为零 0
uc
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
二、相对论动能
在牛顿力学中,把力定义为动量的时间变化率,这 个定义可直接推广到相对论中。
在相对论中,动能定理应该是合理的，功能 关系仍具有牛顿力学中的形式。设计质点从 静止，通过力作功，使动能增加。物体的动能E 等于外力使它由静止状态到运动状态所作的功:
u
的长度为
A’
B’
O
O（’x1，t+Δt） X X’
在S’系测量尺子的长度
Y Y’
S S’
u
A’
O O’
t'’ X1 通过B’点的时刻为:
B’
t’
X1 通过A’点的时刻
x1 X X’
t’+Δt’
Y
Y’ Δt’是运动时间,静止尺子的长度(固有长度)为
S
S’ t’+Δt’
u
A’
B’
O
O’
X X’
x1
结论: 物体沿运动方向的长度比其固有长度短。 这种效应称做洛仑兹收缩,或尺缩效应。
二、狭义相对论时空观 例题22-5，6，7，8 练习22- 1，2，3，4 , 5，6，7，8
三、相对论力学 例题22-9，10，11，12，13 练习22- 11，12，13 ，14