2020-2021武汉市华一寄宿学校初三数学上期末第一次模拟试题及答案
一、选择题
1．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，分别以A 、C 为圆心，以2
AC 的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分面积为（ ）
A ．（24?
25
4π）cm 2 B ．
25
4
πcm 2 C ．（24?54
π）cm 2
D ．（24?
25
6
π）cm 2 2．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m ，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m 2，设扩大后的正方形绿地边长为xm ，下面所列方程正确的是( )
A ．x(x-20)=300
B ．x(x+20)=300
C ．60(x+20)=300
D ．60(x-20)=300
3．已知m 、n 是方程2210x x --=的两根，且2
2
(714)(367)8m m a n n -+--=，则
a 的值等于
A ．5-
B ．5
C ．9-
D ．9
4．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个根是x ＝1
D ．不存在实数根
5．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ） A ．
12
B ．
14
C ．
16
D ．
112
6．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（ ）
A ．
AC BC
AB AC
= B ．2·BC AB BC = C ．
51
2
AC AB -=
D ．
0.618≈BC
AC
7．用配方法解方程x 2+2x ﹣5=0时，原方程应变形为（ ） A ．（x ﹣1）2=6
B ．（x+1）2=6
C ．（x+2）2=9
D ．（x ﹣2）2=9
8．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG ，AE ，FG 分别交射线CD 于点 PH ，连结 AH ，若 P 是 CH 的中点，则△APH 的周长为（ ）
A ．15
B ．18
C ．20
D ．24
9．以3942
c
x ±+=
为根的一元二次方程可能是（ ） A ．230x x c --=
B ．230x x c +-=
C ．230-+=x x c
D ．230++=x x c
10．若20a ab -=（b ≠0），则a
a b
+=（ ） A ．0
B ．
12 C ．0或
12
D ．1或 2
11．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ） A ．y=1+
12
x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2
12．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为( )
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
二、填空题
13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__人．
14．直线y=kx +6k 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，以原点O 为圆心，3为半径的⊙O 与l 相交，则k 的取值范围为_____________．
15．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____． 16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加______m.
17．已知二次函数，当x_______________时，随的增大而减小．18．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为________.
19．如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B出发，沿表面爬到母线AC的中点D处，则最短路线长为_____．
20．已知扇形的面积为12πcm2，半径为12cm，则该扇形的圆心角是_______.
三、解答题
21．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
22．如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧A m B上的一点.
①求∠AQB的度数；
②若OA=18，求弧A m B的长.
23．如图，PA，PB是圆O的切线，A,B是切点，AC是圆O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.
24．解下列方程3（x -2）2=x （x -2）．
25．已知抛物线y ＝x 2－2x －8与x 轴的两个交点为A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标； （2）求△ABC 的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
利用勾股定理得出AC 的长，再利用图中阴影部分的面积=S △ABC ?S 扇形面积求出即可． 【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ， ∴22228610AC AB BC =+=+=cm ，
则
2
AC
=5 cm ， ∴S 阴影部分=S △ABC ?S 扇形面积=2190525862423604
ππ
???-=-
（cm 2）， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，阴影部分的面积可以看作是Rt △ABC 的面积减去两个扇形的面积．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
设扩大后的正方形绿地边长为xm ，根据“扩大后的绿地面积比原来增加300m 2”建立方程即可．
设扩大后的正方形绿地边长为xm ， 根据题意得x （x-20）=300， 故选A ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
3．C
解析：C 【解析】
试题解析：∵m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根 ∴m 2﹣2m=1，n 2﹣2n=1
∴7m 2﹣14m=7（m 2﹣2m ）=7，3n 2﹣6n=3（n 2﹣2n ）=3 ∵（7m 2﹣14m+a ）（3n 2﹣6n ﹣7）=8 ∴（7+a ）×（﹣4）=8 ∴a=﹣9． 故选C ．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可． 【详解】
∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根， 1+8﹣c ＝0，解得c ＝9， ∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，
∵24b ac ?=-＝（﹣8）2－4×9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ． 【点睛】
本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ?=-来判
别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：
21 126
=．
故答案为C．
【点睛】
本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．
6．B
解析：B
【解析】
【详解】
∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AC BC
AB AC
==51
2
≈0.618，
故A、C、D正确，不符合题意；
AC2=AB?BC，故B错误，符合题意；
故选B．
7．B
解析：B
【解析】
x2+2x﹣5=0，
x2+2x=5，
x2+2x+1=5+1，
（x+1）2=6，
故选B.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
连结AC，先由△AGH≌△ADH得到∠GHA＝∠AHD，进而得到∠AHD＝∠HAP，所以△AHP是等腰三角形，所以PH＝PA＝PC，所以∠HAC是直角，再在Rt△ABC中由勾股定
理求出AC 的长，然后由△HAC ∽△ADC ，根据＝求出AH 的长，再根据
△HAC ∽△HDA 求出DH 的长，进而求得HP 和AP 的长，最后得到△APH 的周长. 【详解】
∵P 是CH 的中点，PH ＝PC ，∵AH ＝AH ，AG ＝AD ，且AGH 与ADH 都是直角，∴△AGH ≌△ADH ，∴∠GHA ＝∠AHD ，又∵GHA ＝HAP ，∴∠AHD ＝∠HAP ，∴△AHP 是等腰三角形，∴PH ＝PA ＝PC ，∴∠HAC 是直角，在Rt △ABC 中，AC ＝
＝10，∵△HAC ∽△ADC ，∴
＝
，∴AH ＝
＝
＝7.5，又
∵△HAC ∽△HAD ，
＝
，∴DH ＝4.5，∴HP ＝＝6.25，AP ＝HP ＝6.25，
∴△APH 的周长＝AP ＋PH ＋AH ＝6.25＋6.25＋7.5＝20.
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是清楚直角三角形斜边上的中线是斜边的一半以及会运用相似三角形线段成比例求出各边长的长.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】
设x 1，x 2是一元二次方程的两个根， ∵3942
c
x ±+=
∴x 1+x 2=3，x 1?x 2=-c ，
∴该一元二次方程为：2
1212()0x x x x x x -++=，即230x x c --=
故选A. 【点睛】
此题主要考查了根据一元二次方程的根与系数的关系列一元二次方程．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵20a ab -= ()0b ≠，
∴a(a-b)=0，
∴a=0，b=a．
当a=0时，原式=0；
当b=a时，原式=1
2，
故选C
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．
【详解】
y=2（x﹣1）2+3中，a=2．
故选D．
【点睛】
本题考查了抛物线的形状与a的关系，比较简单．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．【详解】
连接OC，
∵CD⊥AB，CD=8，
∴PC=1
2
CD=
1
2
×8=4，
在Rt△OCP中，设OC=x，则OA=x，
∵PC=4，OP=AP-OA=8-x，
∴OC2=PC2+OP2，
即x2=42+（8-x）2，
解得x=5，
∴⊙O的直径为10．
故选A．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题
13．12【解析】【分析】【详解】解：设平均一人传染了x 人x ＋1＋(x ＋1)x ＝169x ＝12或x ＝－14（舍去）平均一人传染12人故答案为12
解析：12 【解析】 【分析】 【详解】
解：设平均一人传染了x 人， x ＋1＋(x ＋1)x ＝169 x ＝12或x ＝－14（舍去）． 平均一人传染12人． 故答案为12．
14．且k≠0【解析】【分析】根据直线与圆相交确定k 的取值利用面积法求出相切时k 的取值再利用相切与相交之间的关系得到k 的取值范围【详解】∵交x 轴于点A 交y 轴于点B 当故B 的坐标为（06k ）;当故A 的坐标为（
解析：33
-k k ≠0． 【解析】 【分析】
根据直线与圆相交确定k 的取值，利用面积法求出相切时k 的取值，再利用相切与相交之间的关系得到k 的取值范围. 【详解】
∵6y kx k =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ， 当0,6x y k ==，故B 的坐标为（0,6k ）; 当0,6y x ==-，故A 的坐标为（-6,0）;
当直线y=kx +6k 与⊙O 相交时, 设圆心到直线的距离为h,
根据面积关系可得:
11
6|6|=
22k h ?? 解得h = ;
∵直线与圆相交,即,3h r r =＜ ,
3 解得33
-k
且直线中0k ≠,
则k 的取值范围为：33
-k ，且k ≠0．
故答案为：33
-k ，且k ≠0． 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于根据相交确定圆的半径与圆心到直线距离的大小关系.
15．-2017【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出将其代入中即可得出结论【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为：-2017【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于两根之积等于是解题的关键
解析：-2017 【解析】 【分析】
根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入
()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．
【详解】
∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根， ∴1a b +=-，2019ab =-，
∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-． 故答案为：-2017． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -
，两根之积等于c
a
”是解题的关键． 16．4-4【解析】【分析】根据已知建立平面直角坐标系进而求出二次函数解析式再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度即可得出答案【详解】建立平面直角坐标系设横轴x 通过AB 纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点则通过画
解析：-4 【解析】 【分析】
根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把2y =-代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】
建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，
抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为()0,2.
通过以上条件可设顶点式2
2y ax =+，其中a 可通过代入A 点坐标()2,0.-
代入到抛物线解析式得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为2
0.52y x =-+， 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当2y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线2y =-与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把2y =-代入抛物线解析式得出： 220.52x -=-+，
解得：22x =±， 所以水面宽度增加到242 4. 故答案是： 42 4. 【点睛】
考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
17．＜2（或x≤2）【解析】试题分析：对于开口向上的二次函数在对称轴的左边y 随x 的增大而减小在对称轴的右边y 随x 的增大而增大根据性质可得：当x ＜2时y 随x 的增大而减小考点：二次函数的性质
解析：＜2（或x≤2）． 【解析】
试题分析：对于开口向上的二次函数，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大.根据性质可得：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小. 考点：二次函数的性质
18．20【解析】【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）再根据题意列出方程5(1+x)2＝72即可解答【详解】设这两年中投入资金的平均年增长率是x 由题意得：5(1+x)2＝72解得：x1＝0
解析：20%. 【解析】
【分析】
一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），再根据题意列出方程5(1+x)2＝7.2，即可解答.
【详解】
设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：
5(1+x)2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(不合题意舍去).
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%.
故答案是：20%.
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程.
19．【解析】【分析】将圆锥侧面展开根据两点之间线段最短和勾股定理即可求得蚂蚁的最短路线长【详解】如图将圆锥侧面展开得到扇形ABB′则线段BF 为所求的最短路线设∠BAB′＝n°∵∴n＝120即∠BAB′＝
解析：3
【解析】
【分析】
将圆锥侧面展开，根据“两点之间线段最短”和勾股定理，即可求得蚂蚁的最短路线长.【详解】
如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，
则线段BF为所求的最短路线．
设∠BAB′＝n°．
∵
6
4 180
nπ
π
?
=，
∴n＝120，即∠BAB′＝120°．
∵E为弧BB′中点，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，Rt△AFB中，∠ABF＝30°，AB＝6∴AF＝3，BF22
63
-＝3，∴最短路线长为3．
故答案为：
【点睛】
本题考查“化曲面为平面”求最短路径问题，属中档题.
20．30°【解析】设圆心角为n°由题意得：=12π解得：n=30故答案为30°解析：30°
【解析】
设圆心角为n°，由题意得：
2
12
360
nπ?
=12π，
解得：n=30，
故答案为30°．
三、解答题
21．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元
【解析】
【分析】
（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．
（2）根据利润计算公式列式即可；
（3）进行配方求值即可．
【详解】
（1）设y=kx+b，根据题意得
8060
10050
k b
k b
=+
?
?
=+
?
解得：
k2
b200
=-
?
?
=
?
∴y=－2x+200（30≤x≤60）
（2）W=（x－30）（－2x+200）－450
=－2x2+260x－6450
=－2（x－65）2 +2000）
（3）W =－2（x－65）2 +2000
∵30≤x≤60
∴x=60时,w有最大值为1950元
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元
考点：二次函数的应用．
22．（1）见解析；（2）①∠AQB=65°，②l弧AmB=23π.
【解析】
【分析】
(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再根据∠PAO+∠APO=90°，继而得出∠OBC=90°，问题得证；
(2)①根据等腰三角形的性质可得∠ABO=25°，再根据三角形内角和定理可求得∠AOB的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；
②根据弧长公式进行计算即可得.
【详解】
(1)连接OB，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠PAO+∠APO=90°，
∴∠ABO+∠CBP=90°，
∴∠OBC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
(2)①∵∠BAO=25°，OA=OB，
∴∠OBA=∠BAO=25°，
∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°，
∴∠AQB=1
2
∠AOB=65°；
②∵∠AOB=130°，OB=18，
∴l弧AmB=360130
180
18
π
-?
（）
=23π.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
23．∠P=50°
【解析】
【分析】
根据切线性质得出PA=PB，∠PAO=90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB=∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线， ∴AC ⊥AP ， ∴∠CAP=90°， ∵∠BAC=25°，
∴∠PBA=∠PAB=90°-25°=65°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-65°-65°=50°． 【点睛】
本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键． 24．x 1=2，x 2=3 【解析】 【分析】
先移项，再利用提公因式法因式分解求出方程的根． 【详解】
3（x -2）2-x （x -2）=0 （x -2）[3（x -2）-x ]=0 （x -2）（2x -6）=0 x -2=0或2x -6=0 ∴x 1=2，x 2=3． 【点睛】
本题考查了用因式分解法解一元二次方程，用提公因式法因式分解可以求出方程的根． 25．（1）A （－2，0），B （4，0），C （0，－8）；（2）S △ABC =24 【解析】 【分析】
（1）令y=0可求得相应方程的两根，从而求得A 、B 的坐标；令x=0，可求得C 点坐标. （2）根据A 、B 、C 三点坐标直接可求得△ABC 的面积. 【详解】
(1)在y ＝x 2－2x －8，令0x =，可得8y =-， 即C 点坐标为(0,8)C -
令0y =，得2280x x =－－ 解得122,4x x =-= ∵A 在B 的左侧 ∴(2,0),(4,0)A B -
（2）∵(2,0),(4,0),(0,8)A B C -- ∴6,8AB OC == S △ABC =
1
2AB OC ?=1682
??=24 【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键在于求出交点坐标.