第六章
不等式第一教时
教材:不等式、不等式的综合性质
目的:首先让学生掌握不等式的一个等价关系,了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。
过程:
一、引入新课
1.世界上所有的事物不等是绝对的,相等是相对的。
2.过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题
二、几个与不等式有关的名称 (例略)
1.“同向不等式与异向不等式”
2.“绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系(充要条件)
1.从实数与数轴上的点一一对应谈起
0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?
2.应用:例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小
解:(取差))
5)(3(-+a a )4)(2(-+a a 07)82()152(22<-=-----=a a a a
∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a
例二 已知x 0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小
解:(取差)22)
1(+x )1(24++x x 22424112x x x x x =---++=
∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x
小结:步骤:作差—变形—判断—结论
例三 比较大小1.231
-和10 解:∵23231
+=- ∵02524562)10()23(22<-=
-=-+ ∴231
-<10
2.a b 和m
a m
b ++ ),,(+∈R m b a 解:(取差)
a b
m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时
a b >m a m b ++;当a b =时a b =m a m b ++;当a b <时a b a m b ++ 3.设0>a 且1≠a ,0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小 解:02 )1(212 ≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ;当10< 1log +t a 四、不等式的性质 1.性质1:如果b a >,那么a b <;如果a b <,那么b a >(对称性) 证:∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数 0)(<--b a 0<-a b a b < 2.性质2:如果b a >,c b > 那么c a >(传递性) 证:∵b a >,c b > ∴0>-b a ,0>-c b ∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b 0>-c a ∴c a > 由对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c < 五、小结:1.不等式的概念 2.一个充要条件 3.性质1、2 六、作业:P5练习 P8 习题6.1 1—3 补充题:1.若142=+y x ,比较22y x +与20 1的大小 解:2 41y x -= 2 2y x +201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2.比较2sin 与sin2的大小(0<<2) 略解:2sin sin2=2sin (1cos ) 当(0,)时2sin (1cos )≥0 2sin ≥sin2 当(,2)时2sin (1cos )<0 2sin 解:)1()1()1(223-=+-+a a a a 当10<)1(log 2+a a 当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a ∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a 第二教时 教材:不等式基本性质(续完) 目的:继续学习不等式的基本性质,并能用前面的性质进行论证,从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。 过程: 一、复习:不等式的基本概念,充要条件,基本性质1、2 二、1.性质3:如果b a >,那么c b c a +>+ (加法单调性)反之亦然 证:∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+ 从而可得移项法则:b c a b c b b a c b a ->?-+>-++?>+)()( 推论:如果b a >且d c >,那么d b c a +>+ (相加法则) 证:d b c a d b c b d c c b c a b a +>+?? ??+>+?>+>+?> 推论:如果b a >且d c <,那么d b c a ->- (相减法则) 证:∵d c < ∴d c ->- d b c a d c b a ->-????->-> 或证:)()()()(d c b a d b c a ---=--- d c b a <> ?? ??<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2.性质4:如果b a >且0>c , 那么bc ac >; 如果b a >且0 证:c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得: 0>c 时0)(>-c b a 即:bc ac > 0 推论1 如果0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >(相乘法则) 证:bd ac bd bc b d c bc ac c b a >?? ??>?>>>?>>0,0, 推论1’(补充)如果0>>b a 且d c <<0,那么 d b c a >(相除法则) 证:∵0>>c d ∴??? ???>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且 3.性质5:如果0>>b a ,那么n n b a > )1(>∈n N n 且 证:(反证法)假设n n b a ≤ 则:若b a b a b a b a n n n n =?=< 这都与b a >矛盾 ∴n n b a > 三、小结:五个性质及其推论 口答P8 练习1、2 习题6.1 4 四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6 五、供选用的例题(或作业) 1.已知0>>b a ,0< b e c a e ->- 证:??? ???<-<-?>-<-????<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2.若R b a ∈,,求不等式b a b a 11,>>同时成立的条件 解:00011?? ???<-?>>-=-ab a b b a ab a b b a 3.设R c b a ∈,,,0,0<=++abc c b a 求证0111>++c b a 证:∵0=++ c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab 又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵ abc ca bc ab c b a ++=++111 0 b a 4.||||,0b a ab >> 比较a 1与b 1的大小 解:a 1b 1ab a b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1即b a < 0>-a b 0>ab ∴ 0>-ab a b ∴a 1>b 1 5.若0,>b a 求证: a b a b >?>1 解:01>-=-a a b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-?>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>a b 6.若0,0<<>>d c b a 求证:d b c a ->-ππααsin sin log log 证:∵1sin 0<<α >1 ∴0log sin <πα 又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴d b c a -<-11 ∴原式成立 第三教时 教材:算术平均数与几何平均数 目的:要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义,并掌握“平均不等式”及其推导过程。 过程: 一、 定理:如果R b a ∈,,那么ab b a 222≥+(当且仅当b a =时取“=”) 证明:222)(2b a ab b a -=-+