选修2-2 2. 3 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 ，n >1)时，第一步应验证不等式 ( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋1 3＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B [解析] ∵n ∈N * ，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2 ＋…＋a n ＋1 ＝1－a n ＋2 1－a (n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左 边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3 [答案] B [解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2 .故应选B. 3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12) (n ∈N * )，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2 C. 12n ＋1＋12n ＋2 D.12n ＋1－1 2n ＋2 [答案] D [解析] f (n ＋1)－f (n ) ＝??????1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2 ＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －?? ????1n ＋1＋1n ＋2 ＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1 ＝12n ＋1－1 2n ＋2 . 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N * )时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( ) A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 [答案] C [解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C. 5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( ) A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立 D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立 [答案] C [解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C. 6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 [答案] C [解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C. 7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( ) A．n＝1时命题成立 B．n＝1，n＝2时命题成立 C．n＝3时命题成立 D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立 [答案] D [解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2， 当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2) 由2(k2－2)≥(k－1)2－4?k2－2k－3≥0 ?(k＋1)(k－3)≥0?k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D. 8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( ) A．30 B ．26 C ．36 D ．6 [答案] C [解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)， f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36. 9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( ) A. 2(n ＋1)2 B. 2n (n ＋1) C.22n －1 D.2 2n －1 [答案] B [解析] 由S n ＝n 2 a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2 a n ＋1 ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2 a n ＋1－n 2 a n ∴a n ＋1＝(n ＋1)2 a n ＋1－n 2a n ∴a n ＋1＝ n n ＋2 a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝1 3 a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110 . 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝1 10 猜想a n ＝ 2 n (n ＋1) ，故选B. 10．对于不等式n 2 ＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12 ＋1≤1＋1，不等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2 ＋k ＋(k ＋1)＝k 2 ＋3k ＋2<(k 2 ＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确 D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 [答案] D [解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D. 二、填空题 11．用数学归纳法证明“2 n ＋1 ≥n 2＋n ＋2(n ∈N * )”时，第一步的验证为________． [答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立 [解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n ∈N * ，∴第一步的验证为n ＝1的情形． 12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝3 4，由 此可猜测S n ＝________. [答案] n n ＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案． 解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1) ＝? ????1－12＋? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ????1 n －1n ＋1 ＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1 . 13．对任意n ∈N *,34n ＋2 ＋a 2n ＋1 都能被14整除，则最小的自然数a ＝________. [答案] 5 [解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310 ＋35 不能被14整除，故a ＝5. 14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2 . (1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________． (2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立． (3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________． [答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2 ；k ； (k －1)[3(k －1)＋1] (2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2 (3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2 ；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] 三、解答题 15．求证：12 －22 ＋32 －42 ＋…＋(2n －1)2 －(2n )2 ＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)． [证明] ①n ＝1时，左边＝12 －22 ＝－3，右边＝－3，等式成立． ②假设n ＝k 时，等式成立，即12 －22 ＋32 －42 ＋…＋(2k －1)2 －(2k )2 ＝－k (2k ＋1)2 . 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2 ＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2 －(2k ＋2)2 ＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2 ＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②得，等式对任何n ∈N * 都成立． 16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －2 2(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝1 2>0＝右， ∴不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立． 即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋1 2k －1＋2k －1 > k －2 2＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝ k －22＋2k －12 k ＝ (k ＋1)－2 2 ， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立． 据①②可知，不等式对一切n ∈N * 且n ≥2时成立． 17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点． 求证：这n 条直线将它们所在的平面分成 n 2＋n ＋2 2 个区域． [证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成 k 2＋k ＋2 2 块不同的区域，命题成立． 当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成 k 2＋k ＋2 2 块区域，直 线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块． 从而k ＋1条直线将平面分成 k 2＋k ＋2 2＋k ＋1＝(k ＋1)2 ＋(k ＋1)＋2 2 块区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，原命题成立． 18．(2010·衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论． [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系； ②利用数学归纳法证明猜想的结论． 解答本题的关键是先利用特殊值猜想． [解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1， 当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想， 2n＋2>n2(n∈N*)成立 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时， 左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边， 所以原不等式成立． 当n＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边； 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边． (2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立， 即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时， 2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2. 又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2， 故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立． 数学归纳法（填空题：一般） 1、已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝ (n∈N*)，则a3＝________，a1·a2·a3·…·a2014＝________. 2、设，则 _____．（不用化简） 3、用数学归纳法证明：，则当时，左端在时的左端加上了 ________ 4、用数学归纳法证明:,在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是__________（用含有的式子作答). 5、用数学归纳法证明不等式成立，起始值应取为__________． 6、已知，用数学归纳法证明时，等于_____________。 7、用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为___________. 8、用数学归纳法证明（是非负实数，）时，假设命题成立之后，证明命题也成立的关键是________． 9、用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取 _____________． 10、用数学归纳法证明：（）时，从 “”时，左边应增添的代数式为_______________. 11、用数学归纳法证明（）时，从“n=”到“n=”的证明，左边需增添的代数式是___________. 12、用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____． 13、n为正奇数时，求证：x n＋y n被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝ ________，命题为真． 14、若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________． 15、用数学归纳法证明: 的第二步中，当时等式左边与时的等式左边的差等于. 16、用数学归纳法证明“12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)”，当n＝k＋1时，应在n＝k时的等式左边添加的项是________． 17、用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n ＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________________． 数列 数学归纳法测试题 班级 姓名 得分 . 一、选择题： 1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( ) (A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152 2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( ) (A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400 3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( ) (A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3 4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( ) (A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a = 5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ） (A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8 6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ） (A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对 7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ） (A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --= 8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ） (A )n S >n na >1na (B ) n S 选修2-2 2. 3 数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 ? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。 高二数学数学归纳法综 合测试题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 选修2-2 2. 3 数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 3．设f (n )＝ 1n ＋1＋1n ＋2 ＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) ＋12n ＋2 －12n ＋2 [答案] D [解析] f (n ＋1)－f (n ) ＝???? ??1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －???? ??1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1 ＝12n ＋1－12n ＋2 . 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得 ( ) A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C [解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C. 5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( ) A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题也成立 数学归纳法经典练习及 解答过程 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 第七节数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．易误提醒运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． [自测练习] 1．已知f(n)＝1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n2 ，则( ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ，故选D. 答案：D 2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1 n ＋1 ＝ 2? ???? 1n ＋2＋1n ＋4 ＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( ) A ．k ＋1 B ．k ＋2 C ．2k ＋2 D ．2(k ＋2) 解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B 考点一 用数学归纳法证明等式| 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立． 1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1? 2 . 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0 ·1×?1＋1? 2 ＝1， ∴原等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 数学归纳法习题 (一)选择题 在验证n=1成立时，左边所得的项为 [ ] A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a3 2．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…(2n-1)(n∈N)时， 从“n=k→n=k+1”两边同乘以一个代数式，它 是[ ] (二)填空题 1．用数学归纳法证明等式1+ 2+ 3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n=1左边所得的项是______；从“k→k+1”需增添的项是______． 2．用数学归纳法证明当n∈N时1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数时，当n=1 时原式为______，从k→k+1时需增添的项是______． (三)解答题 2．用数学归纳法证明：自然数m，n对任何的3≤m≤n均有 差数列． 3．求证：当n为正奇数时7n+1能被8整除． 自然数n，f(n)＞n． a3，a4，并推测出{a n}的通项公式，用数学归纳法加以证明． 求a2，a3，a4，并推测a n的表达式，用数学归纳法证明所得结论． 数学归纳法综合能力测试题(参考答案) (一)选择题1．C 2．D (二)填空题 1．1+2+3，(2k+2)+(2k+3)； 2．1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4． (三)解答题 成立． 时，多了一个顶点，该顶点与原k边形中的(k-2)个顶点可连成(k-2)条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故(k+1)边形比k边形增多了(k-1)条对角线 说明本题也可用排列组合的方法证明 4(a1-a2)(a2-a3)=(a1-a3)2 即 (a1+a3-2a2)2=0 ∴a1+a3=2a2∴命题成立； ②假设n=k(k≥3)时命题成立，即对于任何 a1，a2，…，a n成等差数列 则当n=k+1时，由归纳假设a1，a2，…，a k成等差数列，设公差为d 令 a k+1-a k=m 去分母化简得 m2+d2-2dm=0 于是m=d 即a k+1-a k=d 数学归纳法 注意事项：1.考察内容：数学归纳法 2.题目难度：中等难度 3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。 4.参考答案：有详细答案 5.资源类型：试题/课后练习/单元测试 一、选择题 1.用数学归纳法证明“)1 2...(312))...(2)(1(-???=+++n n n n n n ”从k 到1+k 左端需增乘 的代数式为 （ ） A ．12+k B ．)12(2+k C ． 112++k k D ．1 3 2++k k 2.凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形的对角线的条数(1)f n +为（ ） A ．()1f n n ++ B ．()f n n + C ．()1f n n +- D ．()2f n n +- 3.已知 11 1 ()()12 31 f n n n n n *= +++ ∈++-N ，则(1)f k +=（ ） A ．1 ()3(1)1 f k k + ++ B ．1 ()32f k k + + C ．1111 ()3233341f k k k k k +++- ++++ D ．11 ()341 f k k k +- ++ 4.如果命题()p n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立，又若()p n 对2n =成立，则下列 结论正确的是（ ） A ．()p n 对所有自然数n 成立 B ．()p n 对所有正偶数n 成立 C ．()p n 对所有正奇数n 成立 D ．()p n 对所有大于1的自然数n 成立 5.用数学归纳法证明，“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y + 整除”时，第二步归纳假设应写 成（ ） A ．假设21()n k k * =+∈N 时正确，再推证23n k =+正确 2.3数学归纳法 一、选择题(每小题 5分，共20分) 1?一个关于自然数 n 的命题，如果验证当 n = 1 时命题成立，并在假设当 n = k (k 》l 且k € N *)时命题 成立的基础上，证明了当 n =k +2时命题成立，那么 综合上述，对于( ) A. —切正整数命题成立 B. —切正奇数命题成立 C. 一切正偶数命题成立 D. 以上都不对 三、解答题(共70分) 7. ( 15分)对于n € N *，用数学归纳法证明： 1 ? n + 2?(n — 1) + 3?(n — 2) +…+ (n — 1)?2 1 + n ? 1 = ?n( n + 1)( n + 2). 111 1 2 .在数列｛ an ｝ 中, an -1 -2+3-4+…+ 冇 1 1 B ak + 2k + 2- 2k + 4 1 1 D ak + 2k +1- 耐 3. 设平面内有 k 条直线，其中任何两条不平 行，任何三条不共点，设 k 条直线的交点个数为 f (k )，则f (k + 1)与f (k )的关系是( ) A. f (k + 1) = f ( k ) +k + 1 B. f (k + 1) = f ( k ) + k - 1 C. f (k + 1) = f ( k ) + k D. f (k + 1) = f (k ) + k + 2 8. ( 20分)已知正项数列 ｛a n ｝和｛b n ｝中，a 1 = a (0 v a v 1) ， b 1 = 1 — a .当 n 》2 时，a n = a n - ’b n ， b n = b n —1 4. 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，x n + y n 能被x + y 整除”，第二步归纳假设应写成 ( ) A.假设 n = 2k + 1(k € N*)正确，再推 n =2k + 3 n = 2k — 1(k € N*)正确，再推 n =2k + 1 n = k ( k € N *)正确，再推n =k + 1正确 n = k (k > 1)正确，再推 n =k + 2正确 二、填空题(每小题5分，共10分) 5. 用数学归纳法证明 1 + 2 +3+…+ n 2=七严时, 当n = k + 1时左端在n = k 时的左端加上 __________ . 6 .利用数学归纳法证明"( n + 1)( n + 2) ???( n + n )= 2n x 1X 3X-X (2 n - 1)，n € N ” 时，从“ n = k ” 变 到“n =k +1”时，左边应增乘的因式是 _____________ . 9 . (20 分)数列｛a n ｝满足 S= 2n -a n (n € N *). 1 — a 2n -1. (1)证明：对任意 n € N*，有a n + b n = 1 ； ⑵求数列｛a n ｝的通项公式. 1 2n ， 则 a k +1=( ) A. a k + 1 2k + 1 C. 1 ak + 2k + 2 正确 B. 假设 正确 C. 假设 D. 假设 极限 数学归纳法《极限 数学归纳法》单元测试题 一、选择题（每小题8分，共48分）： 1、 下列说法正确的是（ ） （A ）19 .0< （B ）19.0≈ （C ）n n )9.0(lim ∞ →＝0 （D ）19 .0= 2、如果)(n p 对k n =成立，则它对1+=k n 也成立，现已知)(n p 对4=n 不成立，则下列结论正确的是（ ） （A ）)(n p 对*N n ∈都成立 （B ）)(n p 对1>n 且*N n ∈成立 （C ）)(n p 对4 2.3数学归纳法 第1课时数学归纳法 1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 ()．A．2 B．3 C．5 D．6 解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C. 答案 C 2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4) 2(n∈N＋)，验证n ＝1时，左边应取的项是 ()．A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 解析等式左边的数是从1加到n＋3. 当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4. 答案 D 3．设f(n)＝1＋1 2＋ 1 3＋…＋ 1 3n－1 (n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于 ()． A. 1 3n＋2 B. 1 3n＋ 1 3n＋1 C. 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 D. 1 3n＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 解析∵f(n)＝1＋1 2＋ 1 3＋…＋ 1 3n－1 ， ∵f(n＋1)＝1＋1 2＋ 1 3＋…＋ 1 3n－1 ＋ 1 3n＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 ， ∴f(n＋1)－f(n)＝1 3n＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 . 答案 D 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋… ＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________． 答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案π 6．用数学归纳法证明： 1 1×2＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 (2n－1)·2n ＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n＋n . 证明(1)当n＝1时，左边＝ 1 1×2 ＝ 1 2，右边＝ 1 2，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 1 1×2＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 (2k－1)·2k ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k. 则当n＝k＋1时， 1 1×2＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 (2k－1)·2k ＋ 1 (2k＋1)(2k＋2) ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k＋ 1 (2k＋1)(2k＋2) ＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋? ? ? ? ? 1 2k＋1 － 1 2k＋2＋ 1 k＋1 ＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＝ 1 (k＋1)＋1 ＋ 1 (k＋1)＋2 ＋…＋ 1 (k＋1)＋k ＋ 1 (k＋1)＋(k＋1) .即当n＝k＋1时， 等式成立． 根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立． 7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现 选修2-2 2. 3 数学归纳法 令狐文艳 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 [答案] B [解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2 ，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B. 3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12) (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2 D.12n ＋1－12n ＋2 [答案] D [解析] f (n ＋1)－f (n ) ＝????? ???1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －????????1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1 ＝12n ＋1－12n ＋2 . 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N * )时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( ) A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C 2019届人教A 版（文科数学） 数学归纳法 单元测试 1．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72 ，由此推算：当n ≥2时，有( ) A ．f (2n )>2n ＋12 (n ∈N *) B ．f (2n )>2(n ＋1)＋12 (n ∈N *) C ．f (2n )>2n ＋12 (n ∈N *) D ．f (2n )>n ＋22 (n ∈N *) 考点 利用数学归纳法证明不等式 题点 不等式中的归纳、猜想、证明 答案 D 解析 f (4)>2改写成f (22 )>2＋22；f (8)>52改写成f (23)>3＋22；f (16)>3改写成f (24)>4＋22；f (32)>72改写成f (25)>5＋22，由此可归纳得出：当n ≥2时，f (2n )>n ＋22 (n ∈N *)． 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋ 21－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3 D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 C 解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C. 3．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立 B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立 C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立 D ．以上说法都不正确 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N * )时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题 对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立 B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立 C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立 D ．以上说法都不正确 解析：选C.由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12 n (n －3)条时，第一步验证n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 解析：选C.因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形．故选C. 3．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2 . 假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________． 解析：观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3 . 答案：122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3 4．用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2 . 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22 ＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k 时，结论成立． 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2 ， 那么当n ＝k ＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1·k (k ＋1)2 ＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k ·(k ＋1)－k ＋2k ＋22 ＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)2. 即n ＝k ＋1时结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立． 一、选择题 数学归纳法习题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋12n －1 ＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不等式是________． 2.用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n ，则当 n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________． 3.已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3 ＋…＋12k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1等于( ) A ．S k ＋12(k ＋1) B ．S k ＋12k ＋1－1k ＋1 C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2 D ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2 3.用数学归纳法证明： 121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1) ；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 4.用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n ＋1)＝n(n ＋1)2 (n ∈N)。 2.n ∈N ，试比较2n 与(n ＋1)2的大小，并用证明你的结论。 5.已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，用数学归纳法证明你的结论． 6 .数列{a n }的通项公式a n ＝ 1 12 () n (n∈N)，设f(n)＝(1－a 1 )(1－a 2 )…(1 －a n )，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。 7 . 8.用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)． 数学归纳法经典练习及解答过程 第七节数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 易误提醒运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． [自测练习] 1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2 ＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12 ＋13 B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14 C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13 D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14 解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个数，所以 f (n )中共有n 2 －n ＋1项，且f (2)＝12＋13＋14，故选D. 答案：D 2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数 学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1 ＝2? ?? ??1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( ) A ．k ＋1 B ．k ＋2 C ．2k ＋2 D ．2(k ＋2) 解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B 考点一 用数学归纳法证明等式| 选修2-2 2. 3数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立 6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为() A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立 B．n＝1，n＝2时命题成立 C．n＝3时命题成立 D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立 8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为() A．30 B．26 C．36 D．6 9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想a n ＝() A.2 (n＋1)2 B.2 n(n＋1) C.2 2n－1 D.2 2n－1 10．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立． (2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k 精品文档 2.3数学归纳法 第1课时数学归纳法 n2＋1对于n≥>nn的自然数n1．用数学归纳法证明“2都成立”时，第一步证0明中的起始值n应取0()． A．2 B．3 C．5 D．6 n252＋132>55时，2＝时2＝>n1＋不成立，当n＝n解析当取1、2、3、4n2＋1的nn值为5，故选26，第一个能使2C. >答案C ?n＋3??n＋4?(n∈N3)＝)，验证n2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋2＋1时，左边应取的项是＝．() ＋2 B A．1 ．14 3＋D2C．1＋＋3 ．1＋2＋解析等式左边的数是从1加到n＋3. 当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4. 答案D 111(n∈N)，那么f(n＋＋＋＋…＋1)－f(n)等于13．设f(n)＝32＋1－3n()． 111 B. A.＋n31＋23n3n＋11111D.＋＋ C. ＋ n323n＋＋＋3n＋13n123n111解析∵f(n)＝，1＋＋＋…＋321n3－111111＋＋＋＋＋＋…＋，11)nf∵(＋＝ n3321n31n3＋32＋－n精品文档． 精品文档 111. ＋＋(n)＝∴f(n＋1)－f n32＋13n3n＋D 答案 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…2，则当n＝k＋1时，表达式为(k＋1)________．＋k(3k＋1)＝k2＋2)＋1)(k1)(3k ＋4)＝(k＋…＋4＋2×7k(3k＋1)＋(k＋答案1×5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案π 6．用数学归纳法证明： 111111＋＋…＋＝＋＋…＋. n＋2＋n1n?2n－1?·2＋n1×32×n4111＝，右边＝1n＝时，左边＝，等式成立．证明(1)当222×1*)时，等式成立，即N ＝k(k∈(2)假设当n111111＋＋…＋＝＋＋…＋. k22k＋kk＋2k 高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.3数学归纳法同步练习（I） 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共1题；共2分) 1. （2分） (2019高二下·佛山月考) 用数学归纳法证明，在证明等式成立时，等式的左边是（） A . B . C . D . 【考点】 二、选择题 (共7题；共14分) 2. （2分） (2016高二下·黄骅期中) 在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n?1?2?3?…?（2n﹣1）（n∈N*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（） A . 2k+1 B . 2（2k+1） C . D . 【考点】 3. （2分）用数学归纳法证明不等式(,且n>1)时，不等式在n=k+1时的形式是（） 【考点】 4. （2分）在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证n等于（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 0 【考点】 5. （2分）已知n为正偶数，用数学归纳法证明（） 时，若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（） A . n=k+1时等式成立 B . n=k+2时等式成立 C . n=2k+2时等式成立 D . n=2(k+2)时等式成立 【考点】 6. （2分）在用数学归纳法证明时，在验证当n=1时，等式左边为（） A . 1 B . 1+a C . 1+a+a2 D . 1+a+a2+a3 【考点】 7. （2分）凸 n 边形有 f(n) 条对角线，则凸 n+1 边形的对角线的条数 f(n+1) 为（） A . f(n)+n+1 B . f(n)+n C . f(n)+n-1 D . f(n)+n-2 【考点】 8. （2分） (2019高二下·丽水期末) 已知，用数学归纳法证明 时．假设当时命题成立，证明当时命题也成立，需要用到的与之间的高中数学选修2-2同步练习题库：数学归纳法(填空题：一般)
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